1 Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 6 Zadania zamknięte

Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 6
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania zadania
zadania odpowiedź
1.
C.
2.
B.
0,003 x = 21 ⇒ x = 7000
3.
C.
log 3 5 + log 3 45 = log 3 5 + log 3 3 2 ⋅ 5 = log 3 5 + log 3 3 2 + log 3 5 = 2a + 2
4.
B.
Są to potęgi: 9, 27, 81, 243, 729 .
5.
D.
x = 9 + 16 ⇒ x = 25 ⇒ x = 5
6.
D.
Wszystkie liczby naturalne naleŜące do zbioru A to 0, 1, 2, 3, 4 .
7.
C.
1
1
−
1
15
92 4 25 = 3⋅ ⋅ 5 =
2
2
Liczbą odwrotną do a jest liczba
1
, zatem
a
1
2 3+ 5
1
=
=
.
a
7
2 3− 5
8.
A.
Skorzystaj z interpretacji graficznej wartości bezwzględnej.
9.
B.
( x + y )2
10.
D.
Trójmian po lewej stronie nierówności nie ma miejsc zerowych, zaś
= x 2 + 2 xy + y 2 ⇒ ( x + y ) = 84 + 70 = 154
2
parabola będąca jego wykresem ma ramiona skierowane do góry.
11.
A.
Ze zbioru liczb rzeczywistych naleŜy odjąć liczby, dla których
mianowniki ułamków mają wartość 0 (równieŜ po przekształceniu).
12.
A.
Po podzieleniu stronami równania drugiego przez 4 i dodaniu równań
otrzymujemy: 0 = −1 , zatem równanie sprzeczne (a więc cały układ
sprzeczny).
13.
C.
Miejsca zerowe mianownika to liczby − 2, 2, 4 , ale liczba 2 nie
naleŜy do dziedziny równania.
14.
B.
NaleŜy skorzystać z własności wartości bezwzględnej, która dla kaŜdej
liczby rzeczywistej ma wartość nieujemną.
15.
C.
Aby zbiorem wartości funkcji był podany przedział, funkcja musi mieć
jedno miejsce zerowe. Zatem: ∆ = 0 ⇒ b 2 − 16 = 0 ⇒ b = −4 ∨ b = 4 .
1
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest przedział: (0, + ∞ ) .
16.
A.
17.
B.
a n+1 =
18.
C.
Ogólna postać liczby naturalnej, która z dzielenia przez 5 daje resztę
2(n + 1) − 3 2n − 1
=
(n + 1) + 1 n + 2
4 , to 5n + 4 . Pierwszą dwucyfrową liczbą o tej własności jest liczba
14 .
19.
A.
2 + 2n
n = 930 ⇒ n 2 + n − 930 = 0 ⇒ n1 = 30, n 2 = −31 ∉ N +
2
20.
C.
Parzysta liczba początkowych wyrazów ciągu daje zawsze 0 , a
nieparzysta
21.
D.
3.
n (n − 3)
= 4n ⇒ n − 3 = 8n ⇒ n = 11
2
Zadania otwarte
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania
22.
Wykorzystanie kwadratu sumy sinusa i cosinusa
Liczba
punktów
1
kąta:
(sin α + cos α ) 2 =
45
9
⇒ sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α = .
25
5
2
.
5
1
Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równania:
1
Obliczenie szukanej wartości: sin α cos α =
23
4a = 2πr ⇒ a =
πr
2
,
gdzie a – bok kwadratu, r – promień koła.
Porównanie pól: Pkw =
π 2r 2
4
, Pkoło = πr 2 ⇒
Pkw π
< 1 , zatem
Pkoło 4
1
większe pole ma koło.
24.
Wyznaczenie miary kąta CBD : 20 1
Wyznaczenie miary kąta CDB : 120
1
2
25.
1
a 3
a
2
Zapisanie proporcji:
= ,
x
a 3
−x
2
gdzie x – bok wpisanego kwadratu.
(
26.
27.
28.
)
Wyznaczenie boku kwadratu: x = a 2 3 − 3 .
1
Wyznaczenie długości krawędzi prostopadłościanu: 5, 7, 9 .
1
Wyznaczenie pola powierzchni całkowitej: 286 .
1
Wykazanie, Ŝe trójmian nie ma miejsc zerowych: ∆ = −23 .
1
Rozwiązanie nierówności: x ∈ R .
1
Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń
1
=
elementarnych: Ω = 12 ⋅ 11 .
Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych
1
=
sprzyjających zdarzeniu A : A = 5 ⋅ 7 + 7 ⋅ 5
i prawdopodobieństwa zdarzenia A : P ( A) =
29.
35
.
66
−
Wyznaczenie średniej arytmetycznej danych: x = 3,5 .
1
Wyznaczenie mediany: 4 .
1
Wyznaczenie odchylenia standardowego: δ ≈ 7,13 .
2 (1 punkt za
metodę i 1 za
obliczenia)
30.
Wyznaczenie środka okręgu: S = (2, − 1) .
1
Wyznaczenie promienia okręgu: r = 3 5 .
1
Zapisanie równania okręgu: ( x − 2 ) + ( y + 1) = 45 .
1
1
Zapisanie równania prostej AB : y = − x .
2
1
2
2
Wyznaczenie równania średnicy prostopadłej do średnicy
2 (w tym
AB : y = 2 x − 5 .
1 punkt za
wyznaczenie
współczynnika
kierunkowego)
3
31.
Wyznaczenie krawędzi podstawy ostrosłupa: a = 6 .
1
Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: h = 3 .
1
Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = 9 3 .
1
Wyznaczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa: H = 2 3 .
1
Wyznaczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa:
1
Pb = 18 3 .
4