WYKŁAD 4: UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Definicja 1. Układem
Transkrypt
WYKŁAD 4: UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Definicja 1. Układem
WYKŁAD 4: UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Definicja 1. Układem m równań liniowych o n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn , gdzie n, m ∈ N nazywamy układ równań postaci: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 , (∗) .. . = a x + a x + ... + a x = b m1 1 m2 2 mn n m gdzie aij , bj ∈ R, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Rozwiązaniem układu (∗) nazywamy dowolny ciąg n liczb naturalnych c1 , c2 , ..., cn spełniający każde z równań układu. W postaci macierzowej układ (∗) zapiszemy następująco: A · X = B, gdzie a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A = .. .. .. . . . am1 am2 . . . amn X= , x1 x2 .. . , B= xn b1 b2 .. . , bm Układy n równań liniowych o n niewiadomych Definicja 2. Układ równań liniowych postaci A · X = B, w którym A jest macierzą kwadratową nieosobliwą nazywamy układem Cramera. Rozwiązania są postaci: x1 = W1 , W x2 = W2 Wn , ..., xn = , gdzie W W W = det A, Wi - wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy A przez zastąpienie jej i - tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. 1 Przykład: 2 Rodzaje układów równań Jeżeli układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (ciąg liczb) to układ nazywamy oznaczonym. Jeżeli układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, to nazywamy go nieoznaczonym. Jeżeli układ równań nie ma rozwiązań, to nazywamy go sprzecznym. Niech w układzie równań (*) m = n (czyli macierz A jest kwadratowa). Wtedy możliwe są trzy sytuacje: 1. W 6= 0 - układ jest układem Cramera (jest oznaczony) i rozwiązania są dane wzorami Jak wyżej. 2. W = 0 i Wi 6= 0 dla pewnego i ∈ {1, 2, ..., n} - układ jest sprzeczny. 3. W = 0 i W1 = W2 = ... = Wn = 0 - układ jest nieoznaczony Przykład: 3 Układy m równań liniowych o n niewiadomych. Metoda Gaussa Metoda Gaussa polega na przekształceniu układu [A|B] −→ [E|X]. W tym celu wykonujemy następujące działania na wierszach: 1. zamiana wierszy (ozn. wi ↔ wj ), 2. mnożenie wiersza przez stałą 6= 0 (c · wi ), 3. dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza (wi + wj ), 4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer, 5. skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych, 6. ∗ zamiana miejscami dwóch kolumn przy jednoczesnej zamianie niewiadomych (ki ↔ kj ) W przypadku m równań z n niewiadomymi, wymienione wyżej działanie na wierszach doprowadzą do następującej macierzy: 1 0 . . . 0 s1 r+1 . . . s1n z1 0 1 . . . 0 s2 r+1 . . . s2n z2 .. .. , .. .. [A0 |B 0 ] = ... ... . . . . 0 0 . . . 1 sr r+1 . . . srn zr . . . 0 zr+1 0 0 ... 0 0 Możliwe są trzy sytuacje: 1. zr+1 6= 0 - układ sprzeczny, 2. zr+1 = 0 i n = r - układ jest układem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie, 3. zr+1 = 0 i n > r - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań danych za pomocą n − r parametrów. 4 Przykłady: 5