Układy równań liniowych

Układy równań liniowych
1
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
można zapisać jako równanie macierzowe





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 
 
 
·
 
x1
x2
...
xn






=


b1
b2
...
bm





2
Przyjmując oznaczenia



A=

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn






, b = 


b1
b2
...
bm






, x = 


x1
x2
...
xn





możemy dany układ zapisać w postaci
Ax = b,
gdzie A ∈ Matm×n(R) i b ∈ Rm są dane, zaś x ∈ Rn jest „szukane”.
3
Macierz A nazywamy macierzą układu równań.



A=

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn





4
Macierz [A|b] nazywamy macierzą rozszerzoną układu równań.



[A|b] = 

a11 a12 . . .
a21 a22 . . .
...
...
am1 am2 . . .

a1n b1
a2n b2 

... ... 

amn bm
5
Przekształceniami elementarnymi wierszy macierzy nazywamy:
– pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,
– zamianę dwóch wierszy,
– dodanie do wiersza innego pomnożonego przez liczbę.
6
Metoda eliminacji Gaussa.
Za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy macierz
rozszerzoną [A|b] do zredukowanej postaci górnoschodkowej.
Przy przekształceniach elementarnych tej macierzy nie zmienia
się zbiór rozwiązań układu równań Ax = b.
7
Postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej



















0
0
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
0
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
0
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
∗
∗
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
∗
∗
...
0
0
0
...
0
∗
∗
∗
∗
...
∗
0
0
...
0
... ∗
... ∗
... ∗
... ∗
. . . ...
... ∗
... 0
... 0
. . . ...
... 0
Elementy ∗ są różne od zera.
8
∗
∗
∗
∗
...
∗
?
0
...
0



















Zredukowana postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej














0
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
1
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
0
1
0
...
0
0
0
...
0
∗
∗
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
0
...
0
0
0
...
0
0
0
1
...
0
0
0
...
0
∗
∗
∗
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
∗
...
0
0
0
...
0
0
0
0
...
1
0
0
...
0
∗
∗
∗
...
∗
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
9
∗
∗
∗
...
∗
0
0
...
0
∗
∗
∗
...
∗
?
0
...
0














Minorem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy wyznacznik jej
podmacierzy kwadratowej:
ai1j1 ai1j2 . . .
ai j ai j . . .
2 1
2 2
...
...
aik j1 aik j2 . . .
ai1jk ai2jk ... ,
aik jk gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.
Rzędem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy największy stopień
jej niezerowego minora.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
10
Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja krótka)
Układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(A) = rank[A|b].
Uwaga: "posiada rozwiązanie" oznacza "posiada co najmniej jedno rozwiązanie".
11
Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja długa)
Rozważmy układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm,
x ∈ Rn .
a) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = n, to układ równań ma dokładnie
jedno rozwiązanie.
b) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = r < n, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie zależy od n − r parametrów.
c) Jeśli rank(A) 6= rank[A|b], to układ równań nie ma rozwiązań.
12
Co to znaczy, że rozwiązanie zależy od n − r parametrów?
Wszystkie rozwiązania układu Ax = b są postaci
x = x0 + c1v 1 + . . . + cn−r v n−r
dla dowolnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r ∈ R,
gdzie x0, v 1, . . . , v n−r ∈ Rn.
Dla różnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r otrzymujemy różne
rozwiązania x.
13
Rozwiązania układu jednorodnego Ax = 0 są wówczas postaci
x = c1v 1 + . . . + cn−r v n−r
dla c1, . . . , cn−r ∈ R.
14
Niech x0 będzie pewnym rozwiązaniem układu równań Ax = b.
Wówczas wszystkie rozwiązania tego układu są postaci
x = x0 + v,
gdzie v jest dowolnym rozwiązaniem układu Ax = 0.
Dowód. Jeśli Ax0 = b i Av = 0, to
A(x0 + v) = Ax0 + Av = b + 0 = b.
Jeśli Ax0 = b i Ax = b, to dla v = x − x0 mamy
Av = Ax − Ax0 = b − b = 0.
15
Twierdzenie. Dla macierzy kwadratowej A ∈ Matn×n(R) następujące warunki są równoważne:
– macierz A jest odwracalna,
– det(A) 6= 0,
– rank(A) = n.
16
Niech A ∈ Matn×n(R), det(A) 6= 0, b ∈ Rn.
Układ równań
Ax = b
ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem
x = A−1b.
17
Wzory Cramera:
x1 =
W1
Wn
, . . . , xn =
,
W
W
gdzie W = det A 6= 0,
Wi - wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez zamianę i-tej kolumny na kolumnę b:
a
11 . . .
a
...
Wi = 21
...
a
n1 . . .
b1 . . .
b2 . . .
...
bn . . .
a1n a2n ... .
ann 18