Geometria analityczna pªaszczyzny

1
A. Mróz
Geometria analityczna pªaszczyzny - elipsa
1. Uªó» równanie elipsy w najprostszej postaci wiedz¡c, »e:
(a) póªosie równaj¡ si¦ odpowiednio 4 i 2,
(b) odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami równa si¦ 6, a dªugo±¢ póªosi wielkiej równa si¦ 5,
(c) dªugo±¢ póªosi wielkiej równa si¦ 10, a mimo±ród
(d) dªugo±¢ póªosi maªej równa si¦ 3, a mimo±ród
(e) suma dªugo±ci póªosi równa si¦
2. Dane jest równanie elipsy
8,
e = 0, 8,
e=
√1 ,
2
a odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami wynosi równie» 8.
25x2 + 169y 2 = 4225.
Wyznacz dªugo±ci jej osi, wspóªrz¦dne ognisk
i mimo±ród.
3. Zbadaj poªo»enie punktów
(3, −2)
wzgl¦dem elipsy 8x2
A1 = (−2, 3), A2 = (2, −2), A3 = (−1, 3), A4 = (−4, −3)
+ 5y 2 = 77.
4. Napisz równania prostych przechodz¡cych przez punkt
A = (2, − 53 )
i ogniska elipsy
i
A5 =
5x2 + 9y 2 =
45.
5. Napisz równanie
elipsy maj¡cej ogniska na osi
√
mo±ród
e=
Ox,
znaj¡c równania jej kierownic
x = ±8
i mi-
2
2 .
π
6. Znajd¹ mimo±ród elipsy wiedz¡c, »e o± maª¡ wida¢ z ko«ca osi wielkiej pod k¡tem 3 .
7. Znajd¹ mimo±ród elipsy wiedz¡c, »e odlegªo±¢ mi¦dzy jej kierownicami jest cztery razy wi¦ksza
od odlegªo±ci mi¦dzy ogniskami.
9x2 + 5y 2 = 45.
8. Dana jest elipsa o równaniu
9. Dana jest elipsa o równaniu
Znajd¹ mimo±ród tej elipsy i równania jej kierownic.
12x2 + 16y 2 = 192.
Znajd¹ odlegªo±¢ ogniska od kierownicy.
10. Orbita kuli ziemskiej jest elips¡ o póªosi wielkiej dªugo±ci
0, 017.
a ≈ 150 · 106 km
i mimo±rodzie
e=
Wiedz¡c, »e Sªo«ce znajduje si¦ w ognisku tej elipsy znajd¹ o ile najkrótsza odlegªo±¢
Ziemi od Sªo«ca (ok. 2 stycznia) jest krótsza od najdªu»szej (ok. 2 lipca).
11. Wierzchoªek trójk¡ta maj¡cego nieruchom¡ podstaw¦ porusza si¦ w ten sposób, »e obwód trójk¡ta
zachowuje staª¡ wielko±¢. Znajd¹ równanie toru wierzchoªka przy zaªo»eniu, »e dªugo±¢ podstawy
trójk¡ta równa si¦ 24 cm a dªugo±¢ obwodu równa si¦ 50 cm.
299
12. Poªudnik ziemski ma ksztaªt elipsy; stosunek jej osi równa si¦ 300 . Wyznacz mimo±ród poªudnika
ziemskiego.
x2
13. Na elipsie 30
+
y2
24
=1
znajd¹ punkt odlegªy od jej osi maªej o
14. Elipsa przechodzi przez punkty
5.
√
A = ( 3, −2) i B = (−2 3, 1), a
√
osie wspóªrz¦dnych s¡ osiami
symetrii elipsy. Znajd¹ równanie tej elipsy.
x2
15. Znajd¹ punkty przeci¦cia elipsy 36
x2
16. Przez ognisko elipsy a2
dªugo±¢ ci¦ciwy.
x2
+
y2
b2
= 1
+
y2
12
=1
z prost¡
2x − y − 9 = 0.
poprowadzono ci¦ciw¦ prostopadª¡ do osi wielkiej.
Znajd¹
y2
17. Dana jest elipsa 16 + 9 = 1. Znajd¹ dªugo±¢ ±rednicy skierowanej wzdªu» dwusiecznej k¡ta
zawartego mi¦dzy osiami wspóªrz¦dnych.
18. Dana jest elipsa
4x2 + 15y 2 = 60.
Przez punkt
A = (1, 32 )
poprowadzono ±rednic¦ tej elipsy.
Znajd¹ równanie ±rednicy sprz¦»onej.
19. Pod jakim k¡tem pozostaj¡ wzgl¦dem siebie dowolne dwie sprz¦»one ±rednice okr¦gu?
2
20. Znajd¹ równanie prostej przechodz¡cej przez ±rodki ci¦ciw
2x − y + 7 = 0,
elipsy
2x − y − 1 = 0
64x2 + 100y 2 = 6400.
21. Znajd¹ równanie tej ci¦ciwy elipsy
22. Znajd¹ równanie stycznej do elipsy
36x2 + 100y 2 = 3600,
18x2 + 32y 2 = 576
której ±rodkiem jest punkt
w punkcie
A = (5, 3).
A = (4, 3).
23. Znajd¹ równanie stycznych do elipsy
(a)
12x2 + 16y 2 = 192
(b)
9x2 + 16y 2 = 144
równolegªych do prostej
równolegªych do prostej
x − 2y = 0,
x + y − 1 = 0.
24. Znajd¹ równania stycznych do elipsy
16x2 + 25y 2 = 400 przechodz¡cych przez punkt A = (10, 4).
25. Dobierz tak warto±¢ wspóªczynnika
m,
x2
9
+
y2
4
aby prosta
mx − 2y + 5 = 0
byªa styczna do elipsy
= 1.
26. Dane s¡ dwie elipsy
x2 y 2
+
= 1,
15
9
x2 y 2
+
= 1.
19
3
Znajd¹ równania stycznych do pierwszej elipsy przechodz¡cych przez ogniska drugiej elipsy.
27. Dana jest elipsa o równaniu
(x−4)2
25
+
(y−2)2
16
= 1.
Znajd¹ jej ogniska.
28. Dana jest elipsa o równaniu
(x−2)2
16
+
(y+4)2
12
= 1.
Znajd¹ równania kierownic tej elipsy.
29. Elipsa jest styczna do osi
Ox
w punkcie
A = (7, 0)
a do osi
Oy
w punkcie
B = (0, 4).
Napisz
równanie tej elipsy wiedz¡c, »e jej osie s¡ równolegªe do osi ukªadu wspóªrz¦dnych.
30. Elipsa jest styczna do osi
(7, 0).
Oy
w punkcie
31. Znajd¹ warunek, przy którym prosta
32. Prosta
A = (0, 3) i przecina o± Ox w punktach B = (3, 0) i C =
Znajd¹ równanie tej elipsy wiedz¡c, »e jej osie s¡ równolegªe do osi ukªadu wspóªrz¦dnych.
Ax + By + C = 0 jest styczna do elipsy b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 .
x−y−5 = 0 jest styczna do elipsy, której ogniska s¡ w punktach F1 = (−3, 0) i F2 = (3, 0).
Znajd¹ równanie tej elipsy.
33. Znajd¹ wspólne styczne do elips o równaniach
4x2 + 5y 2 = 20, 5x2 + 4y 2 = 20.
34. Znajd¹ równanie elipsy maj¡cej ogniska na osi
stycznej do dwóch prostych
Ox symetrycznie
3x − 2y − 20 = 0, x + 6y − 20 = 0.
wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu
35. Znajd¹ równanie elipsy maj¡cej ogniska na osi
wiedz¡c, »e przechodzi ona przez punkt
Ox symetrycznie wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu
A = (4, −1) i jest styczna do prostej x + 4y − 10 = 0.
36. Znajd¹ równanie okr¦gu, którego ±rednic¡ jest wspólna ci¦ciwa elipsy
x2
x2 + 5y 2 = 36
i paraboli
= 8y .
x2
37. Znajd¹ miejsce geometryczne punktów, z których elips¦ a2
x2
+
y2
b2
=1
wida¢ pod k¡tem prostym.
y2
38. W elips¦ a2 + b2 = 1 wpisano trójk¡t ABC , którego jeden bok AB pokrywa si¦ z osi¡ wielk¡.
Wierzchoªek C porusza si¦ po elipsie. Znajd¹ tor, po którym porusza si¦ ±rodek ci¦»ko±ci trójk¡ta
ABC .
39. Dookoªa pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych obraca si¦ pr¦t
a dokoªa punktu
punktu
Q
P
obraca si¦ drugi pr¦t
PQ
dªugo±ci
q
OP
dªugo±ci
p
z pr¦dko±ci¡ k¡tow¡
wiedz¡c, »e w chwili pocz¡tkowej obydwa pr¦ty pokrywaªy si¦ z
znajdowaª si¦ mi¦dzy
O i Q.
ω,
−ω . Znajd¹ tor
osi¡ Ox, a punkt P
z pr¦dko±ci¡ k¡tow¡