Pobierz PDF

Ściąga eksperta
Krzywa stopnia drugiego - elipsa
Dzięki metodom geometrii analitycznej możemy znajdować zbiory punktów na płaszczyźnie spełniające określone warunki.
Apoloniusz z Pergi zwany „Wielkim Geometrą”, żyjący w III w. p.n.e. w swoim traktacie o przecięciach stożkowych opisał i nadał nazwy takim
krzywym jak elipsa, parabola, hiperbola
Krzywe stopnia drugiego to zbiory punktów na płaszczyźnie spełniające określone warunki.
Rozważmy okrąg, którego wykres przechodzi przez punkt P=(x,y), w wyniku pewnego przekształcenia punktu P otrzymujemy punkt P’=(x,ky),
gdzie k jest liczbą stałą. Obrazem naszego przekształcenia jest elipsa.
Elipsa to figura złożona z punktów, dla których suma odległości od pewnych dwóch punktów F1 i F2 zwanych ogniskami jest stała i wynosi 2a.
Liczbę 2a nazywamy długością osi wielkiej elipsy.
Jeżeli a>b>o równanie x2/a2 +y2/b2 =1 jest równaniem elipsy o środku S=(0,0)
o ogniskach F1=(-c,0) i F2=(c,0), gdzie c=√(a2-b2)
Przykład 1.
Narysuj elipsę o równaniu 2x2+8y2 -8=0
Przekształcamy równanie do postaci x2/a2 +y2/b2 =1
2x2+8y2 -8=0 /+8
2x2+8y2 =8 /:8
x2/4+y2/1=1
x2/22 +y2/12 =1
Zaznaczamy na płaszczyźnie wierzchołki elipsy czyli punkty:
A1=(-a,0), A2=(a,0), B1=(0, -b), B2=(0,b), i zakreślamy łuk.
A1=(-2,0), A2=(2,0), B1=(0,-1), B2=(01)
Wyznaczamy ogniska F1 i F2, c=√(22-12 )=√3
Zatem F1=(-√3,0) i F2=(√3,0).
Jeśli w równaniu elipsy x2/a2 +y2/b2 =1 b>a to równanie jest równaniem elipsy o ogniskach F1=(0,-c) i F2=(0,c) gdzie c=√(b2-a2 ) .Wówczas
długość osi wielkiej wynosi 2b, a długość osi małej 2a.
Przykład 2.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A=(2,1) i ognisko elipsy o równaniu x2/9+y2/5=1
c=√(a2-b2 ) ⇔ c2=a2-b2=9-5=4
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/2
Ściąga eksperta
c=2 lub c=-2
stąd F1=(-2,0) F2=(2,0)
ze wzoru na prostą przechodząca przez dwa punkty A=(2,1) i F1=(-2,0):
y – 0=(0-1)/(-2-2) (x-2) y =1/4 (x-2)
y =1/4 x - 1/2
Jeżeli S=(xs, ys) to równanie elipsy wyrażamy wzorem:
(x-xs)2
/a2 + (y-ys)2/b
2 =1 gdzie a>0 i b>0
Wówczas F1=(xs-c,ys), F2=(xs+c,ys)
Przykład 3.
Znajdź równanie stycznej do elipsy o równaniu: x2/9+y2/4=1 w punkcie P=(1, (4√2)/3)
Skorzystamy ze wzoru:
(xp x)/a2 +(yp y)/b2 =1 gdzie P=(x ,y ) jest punktem styczności
p
p
1x/9+((4√2)/3 y)/4=1
Po przekształceniu otrzymujemy: y=-√2/6 x+(3√2)/2
Równanie elipsy o środku w punkcie S=(x0, yo) wyraża się wzorem:
(x-x0)2/a2 +(y-y0)2/b2 =1
Powyższy wzór ma związek z przekształceniem o pewien wektor równania hiperboli postaci x2/a2 +y2/b2 =1 . Translacje inaczej
przekształcenia zostaną omówione w późniejszym wykładzie.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 2/2