Liga Matematyczna IM UJ, grudzie« 2010 stycze« 2011 I Liga Liga

Projekt wspóªnansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.
Liga Matematyczna IM UJ, grudzie« 2010stycze« 2011
I Liga
1.
Niech
f
b¦dzie rosn¡c¡ funkcj¡ nieparzyst¡. Poka», »e dla dowolnych
niaj¡cych
a+b+c=0
a, b, c
speª-
zachodzi nierówno±¢
2.
f (a)f (b) + f (b)f (c) + f (c)f (a) 6 0.
4 −3
1 0
Niech A =
oraz I =
. Znajd¹ ci¡gi liczb caªkowitych (an )n∈N
1 0
0 1
i (bn )n∈N takie, »e An = an A + bn I oraz uzasadnij, »e ten wzór zachodzi.
Czy analogiczny fakt jest prawdziwy dla dowolnej macierzy A?
3.
Znajd¹ wszystkie pary liczb caªkowitych dodatnich
b2
(a, b)
speªniaj¡cych równo±¢
(a, b)
speªniaj¡cych równo±¢
a
a =b .
Liga Mistrzów
1.
Znajd¹ wszystkie pary liczb caªkowitych dodatnich
b2
a = ba .
2.
Dla
n∈N
znajd¹ kompletn¡ charakteryzacj¦ wszystkich zbiorów
»e dowolne
n+1
ró»nych punktów z
S
stanowi wierzchoªki
S ⊂ Rn
takich,
n-sympleksu
o
n-
obj¦to±ci 1.
3.
A b¦dzie rzeczywist¡ macierz¡ symetryczn¡ wymiaru n × n. Niech x b¦dzie
ustalonym wektorem jednostkowym, ρ = hx, Axi, ε = k(A − ρIn )xk (iloczyn
skalarny i norma Euklidesowe). Niech (a, b) b¦dzie odcinkiem zawieraj¡cym ρ
i tylko jedn¡ warto±¢ wªasn¡ α macierzy A. Udowodnij, »e
ε2
ε2
6α6ρ+
.
ρ−
b−ρ
ρ−a
Niech