ekonometria przestrzenna - Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA
Wstęp – podstawy ekonometrii
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, 2012
1
EKONOMETRIA – wybrane definicje
• (Osińska) Ekonometria – dziedzina ekonomii
wykorzystująca modele i sposoby
wnioskowania statystyki matematycznej do
opisu i analizy zjawisk ekonomicznych;
głównym celem ekonometrii jest analiza
zjawisk w aspekcie teoretycznym oraz
empirycznym
2
EKONOMETRIA – wybrane definicje
• (Maddala) Ekonometria – zastosowanie metod
statystycznych i matematycznych do analizy
danych ekonomicznych w celu nadania
teoriom ekonomicznym kontekstu
empirycznego oraz ich potwierdzenia bądź
odrzucenia
3
Podział ze względu na aspekt
wykorzystywanych metod
• teoria ekonometrii (metody dostosowane do
potrzeb badań ilościowych w ekonomii)
• ekonometria stosowana (zastosowania do
konkretnych badaniach na podstawie danych
statystycznych )
4
Podział ze względu na charakter
wykorzystywanych danych
• ekonometria danych przekrojowych (obserwacje
dotyczące wielu jednostek w jednym okresie
czasowym)
• ekonometria dynamiczna (dane szeregów czasowych,
zależności w czasie opisane najczęściej za pomocą
układów równań różnicowych)
• ekonometria panelowa (powtarzane w czasie
obserwacje tych samych jednostek)
• ekonometria przestrzenna (wykorzystanie informacji
przestrzennej dotyczącej położenia obiektu)
5
Podział ze względu na obszar
zastosowań
•
•
•
•
mikroekonometria
makroekonometria
ekonometria finansowa
badania operacyjne (dziedzina pokrewna)
6
Podział ze względu na procedurę
wnioskowania
• wnioskowanie klasyczne (częstościowe –
frequentist approach)
• wnioskowanie bayesowskie (Bayesian
Econometrics)
7
EKONOMETRIA PRZESTRZENNA
• Modele przestrzenne są rozszerzeniem
klasycznych modeli ekonometrycznych.
• Wykorzystują one dane GIS (Geographic
Information System) dotyczące geograficznego
położenia jednostki.
• W modelach uwzględniane są efekty
przestrzenne: przestrzenna zależność i
przestrzenna heterogeniczność.
8
Przykłady analiz przestrzennych
• przestrzenna analiza rozwoju społeczno-gospodatczego jednostek
terytorialnych (np. poziomu bezrobocia, wydatków itd.)
• przestrzenna analiza cen (np. nieruchomości),
• przestrzenna analiza wyników matur
Przykładowe narzędzia (modele ekonometryczne) wykorzystywane w
analizach przestrzennych:
• model autoregresji przestrzennej (SAR - Spatial autoregressive model)
• model VAR (vector autoregressive model) oraz VECM (vector error
correction model)
• metody analizy skupień (taksonometrii)
9
KLASYCZNY MODEL REGRESJI
LINIOWEJ
10
Klasyczny model regresji liniowej
(KMRL)
• KMRL opisuje dla rozważanej populacji liniową
zależność zmiennej zależnej (objaśnianej) Y
od:
1) jednej zmiennej niezależnej (objaśniającej,
regresora) X – w przypadku prostej regresji
liniowej:
Y   0  1 X  
11
Klasyczny model regresji liniowej
(KMRL)
przy czym
•  0 jest wyrazem wolnym modelu
• 1 jest parametrem kierunkowym modelu
•  jest składnikiem losowym modelu (o
rozkładzie normalnym – KMNRL)
12
Klasyczny model regresji liniowej
(KMRL)
2) wielu zmiennych niezależnych Xj (j=1,2,…,k) - w
przypadku wielorakiej regresji liniowej:
Y  0  1 X 1  ...   k X k  
przy czym
•  0 jest wyrazem wolnym modelu
• 1 ,...,  k są parametrami kierunkowymi
odpowiadającymi poszczególnym regresorom
modelu
•  jest składnikiem losowym modelu
13
Regresja wieloraka – zapis skalarny
• rozważmy zbiór obiektów i=1,2,…,n (np.
przedsiębiorstw, powiatów itd.),
• zależność liniową warunkowego rozkładu
zmiennej zależnej Yi dla i-tego obiektu,
opisanego przez wartości Xij (j=1,2,…,k)
zmiennych niezależnych można zapisać:
Yi  0  1 X i1  ...   k X ik  i
i  1,2,..., n
14
Regresja wieloraka – zapis macierzowy
y  Xβ  ξ
 y1 
y 
y   2

 
 yn  n1
1 x11
1 x
21
X
 

1 xn1
 x1k 
0 
 
 x2 k 
β   1
 
  

 
 xnk  nk 1
  k  k 11
1 
 
ξ   2

 
 n  n1
15
Regresja wieloraka – zapis
macierzowy
• gdzie
• y – wektor (nx1) zmiennej zależnej
• X – macierz (nx(k+1)) zmiennych
objaśniających
• β – wektor ((k+1)x1) parametrów modelu
• ξ – wektor (nx1) składników losowych (w
skrócie wektor losowy)
16
Warunkowa wartość oczekiwana
zmiennej zależnej
• przy założeniu, że E i   0 (i=1,2,…,n), mamy
E Yi   E Y X i1  xi1 ,..., X ik  xik   0  1 xi1  ...   k xik
(i=1,2,…,n),
• warunkowa wartość oczekiwana (wartość
przeciętna) zmiennej objaśnianej E(Yi) zależy
liniowo od wartości przyjmowanych przez
zmienne objaśniające dla i-tego obiektu, tzn.
xi1,…,xik
17
Twierdzenie Gaussa-Markowa o KMRL
• Założenia (w skrócie):
• 1) niezmienniczość modelu Yi=fi(Xi1,…,Xik) ze
względu na kolejne obserwacje i=1,2,…,n, tzn.
f1=f2=…=fn=f,
• 2) model jest liniowy względem parametrów:
Yi  0  1 X i1  ...   k X ik  i
i  1,2,..., n
• lub w zapisie macierzowym: y  Xβ  ξ
• 3) zmienne objaśniające Xj (j=1,…,k) są nielosowe,
w związku z czym są niekorelowane ze
składnikiem losowym: EX T ξ   X T Eξ   0
18
Twierdzenie Gaussa-Markowa o
KMRL
• Założenia c.d.
• 4) macierz zmiennych objaśniających ma pełny rząd
kolumnowy rz(X)=k+1
• 5) wektor losowy jest sferyczny, tzn. charakteryzuje się
wielowymiarowym rozkładem normalnym ξ ~ N0,  2 I n 
gdzie In macierzą jednostkową n-tego stopnia, co jest
równoznaczne z istnieniem heteroskedastyczności
składników losowych oraz brakiem ich autokorelacji
• 6) informacje zawarte w próbie są jedynymi
informacjami, będącymi jedyną podstawą estymacji
modelu
19
Teza twierdzenia Gaussa-Markowa
o KMRL
• Jeżeli spełnione są założenia schematu
Gaussa-Markowa, to
• Teza
1 T
T
ˆ
• Estymator KMNK β  X X X y jest najlepszym
nieobciążonym estymatorem liniowym (BLUE
– best linear unbiased estimator) parametrów
modelu β
20
Założenia KMRL – ujęcie graficzne
21
Estymator Klasycznej Metody
Najmniejszych Kwadratów (KMNK)
• Wartość estymatora odpowiada wartości minimalizującej błąd
średniokwadratowy (funkcję celu S):
T
βˆ  arg min S β   y  Xβ  y  Xβ 
β
• WK istnienia minimum lokalnego funkcji S (zerowanie się
gradientu funkcji celu):



1 T
T
ˆ
ˆ
S β  0  β  X X X y
• WW istnienia minimum lokalnego (dodatnia określoność
hesjanu w punkcie stacjonarnym):
• Hβ  2XT X jest dodatnio określony w całej dziedzinie, więc
w β̂ istnieje globalne minimum funkcji celu S
22
Idea KMNK - minimalizacja sumy
kwadratów odchyleń:   y  yˆ     y      x 
n
i 1
2
i
i
n
i 1
i
0
1 i
23
2
Wykres rozrzutu danych empirycznych w
przypadku istnienia zależności liniowej
24
Weryfikacja założeń po oszacowaniu
modelu
• Spełnienie założeń schematu Gaussa-Markowa
weryfikuje się po oszacowaniu modelu
• Brak ich spełnienia skłania do respecyfikacji
modelu (bądź też w szczególnych przypadkach
do zachowania bieżącego modelu i
zastosowania estymatorów odpornych
macierzy kowariancji w celach wnioskowania
na temat wielkości parametrów w populacji)
25
Procedura budowy KMRL
• 1) dobór zmiennych objaśniających modelu (m.in.
metoda optymalizacji kryterium informacyjnego
AIC lub BIC, metody krokowe – postępująca lub
wsteczna)
• 2) weryfikacja założeń modelu KMRL (przy braku
ich spełnienia ewentualna jego respecyfikacja)
• 3) badanie istotności wpływu regresorów oraz
ocena stopnia dopasowania oszacowanego
modelu do danych empirycznych
• 4) analiza merytoryczna wartości oszacowań
parametrów modelu
26
Wykorzystanie zbudowanego KMRL
• Opis zależności warunkowej wartości zmiennej
objaśnianej w zależności od wartości cech
objaśniających zaobserwowanych dla
obiektów należących do zbioru służącego za
podstawę estymacji modelu
• Prognozowanie na podstawie modelu (liniowa
ekstrapolacja zależności dla innych obiektów
nie wchodzących w skład próby użytej przy
estymacji)
27
Oprogramowanie ekonometryczne
• gretl
• STATISTICA
• R – język i środowisko programowania dla
obliczeń statystycznych
• Eviews
• MATLAB
• GAUSS
• MS Excel + dodatki + VBA
28
Przykład – analiza regresji stopy
bezrobocia w powiatach
Obiektami analizy są powiaty województwa
małopolskiego oraz śląskiego (tworzących
region południowy w ramach klasyfikacji
NUTS). Dane dla roku 2010 zaczerpnięto z
Banku Danych Lokalnych GUS.
n=58 – liczba obiektów (powiatów)
Zmienna zależna:
Y - stopa bezrobocia (w %)
29
Przykład – analiza regresji stopy
bezrobocia w powiatach
• Potencjalne regresory modelu:
• X1 – województwo (zmienna zero-jedynkowa: 1 –
małopolskie, 0 – śląskie)
• X2 – przeciętne wynagrodzenie (w PLN)
• X3 – udział osób zatrudnionych w rolnictwie (w %)
• X4 – liczba jednostek gospodarczych przypadających
na 10 tys. mieszkańców
• X5 – inwestycje jednostek gospodarczych
przypadające na 1 mieszkańca (w PLN)
30
Analiza w STATISTICA
• Wykorzystujemy moduł Regresja wieloraka z
menu Statystyka
31
Analiza w STATISTICA
• W tym celu można również wykorzystać moduł
Ogólne modele regresji z menu Statystyka podmenu
Zaawansowane modele liniowe i nieliniowe
32
Analiza w STATISTICA
• Przydatny w wizualizacji wyników analiz
przestrzennych pomocny może być dodatek
STATISTICA Mapy
33
Analiza w gretl
• Wykorzystujemy funkcję Klasyczna metoda
najmniejszych kwadratów z menu Model
34
Wykorzystanie danych GIS
• Rozszerzenie analizy bezrobocia z
wykorzystaniem danych przestrzennych (dane
GIS w układzie xy):
• Artykuł: Müller-Frączek I., Pietrzak M.B.,
Analiza stopy bezrobocia w Polsce z
wykorzystaniem przestrzennego modelu MESS
• Dane GIS: geoportal
35
Literatura – podstawy ekonometrii
(m.in. KMRL)
• Literatura podstawowa:
• Kukuła K. (red.), Wprowadzenie do ekonometrii
• Welfe A., Ekonometria. Metody i ich zastosowanie
(KMRL – rozdział 1 i 2)
• Górecki B., Podstawowy kurs nowoczesnej
ekonometrii
• Literatura dodatkowa:
• Goldberger G.A., Teoria ekonometrii
• Greene W.H., Econometric analysis, (wydanie szóste
lub nowsze) (rozdziały 1-7 w wydaniu szóstym)
36
Literatura – podstawy ekonometrii
(m.in. KMRL)
• Analizy ekonometryczne z wykorzystaniem oprogramowania
gretl:
• Osińska M. (red.), Ekonometria współczesna
• Kufel T., Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem
programu GRETL
• Analizy ekonometryczne z wykorzystaniem programu
STATISTICA:
• Kot S.M., Jakubowski J., Sokołowski A., Statystyka
37
Literatura – ekonometria
przestrzenna
• Literatura podstawowa:
• Suchecki B., Ekonometria przestrzenna. Metody i modele
analizy danych przestrzennych
•
•
•
•
Literatura dodatkowa:
LeSage J.P., Spatial Econometrics
LeSage J.P., The Theory and Practice of Spatial Econometrics
Suchecki B., Ekonometria przestrzenna II. Modele
zaawansowane
38
Literatura – ekonometria
przestrzenna
• Analizy przestrzenne z wykorzystaniem
programu statystycznego R:
• Kopczewska K., Ekonometria i statystyka
przestrzenna z wykorzystaniem programu R
• CRAN Task Views: Spatial analysis
39
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
40