Pobierz artykuł PDF

Transkrypt

Pobierz artykuł PDF

SZCZEGÓLNE CHARAKTERYSTYKI NIEZWODNOCIOWE SZEREGOWYCH
SYSTEMÓW MECHATRONICZNYCH
ZBIGNIEW MATUSZAK
Streszczenie
W pracy scharakteryzowano podstawowe rozkłady uszkodzeĔ elementów wchodzących w skład urządzeĔ mechatronicznych: wykładniczy, Weibulla, normalny, logarytmo-normalny. Rozpatrzono pewne szczególne przypadki, gdy czasy zdatnoĞci
elementów systemu mechatronicznego mają powyĪsze cztery rozkłady, a sam system
urządzenia mechatronicznego tworzą trzy elementy o strukturze szeregowej i róĪnych
typach rozkładów czasów zdatnoĞci elementów. KolejnoĞü elementów nie ma znaczenia. W koĔcowej czĊĞci przedstawiono przypadek, gdy w systemie o strukturze szeregowej pracują cztery elementy, których czasy zdatnoĞci mają róĪne typy rozkładów.
Słowa kluczowe: rozkłady uszkodze elementów, system mechatroniczny, rozkłady uszkodze
systemów wieloelementowych
1. Wprowadzenie
Połczenie elementów mechanicznych, elektrycznych, elektronicznych, pneumatycznych w jeden spójny działajcy system techniczny w ostatnich latach nazywane jest urzdzeniem (systemem)
mechatronicznym. Kady z tych elementów charakteryzuje si specyficznym charakterem trwałoci, uszkadzalnoci i niezawodnoci. Niezawodno urzdze i elementów składowych urzdzenia
mechatronicznego opisuj modele matematyczne – rozkłady zmiennych losowych, a szczegółowiej
charakterystyki niezawodnociowe, które w bezporedni sposób wpływaj na charakterystyki niezawodnociowe urzdzenia mechatronicznego, w którego skład wchodz.
Najczciej stosowane modele matematyczne w badaniach niezawodnociowych urzdze
technicznych to takie rozkłady zmiennych losowych jak: wykładniczy, Weibulla, normalny, logarytmo-normalny, normalny ucity w zerze, gamma, dwumianowy (Bernoulliego), Poissona, hipergeometryczny, geometryczny, oraz procesy: Poissona, normalny, Markowa i semi-Markowa. Rozkłady s modelami probabilistycznymi, natomiast procesy – stochastycznymi [6], [7], [8], [9], [10].
Poniewa w opisie najłatwiej mona posługiwa si modelami najprostszymi i najczciej spotykanymi, w dalszej czci analizy przyjto, e elementy rozpatrywanych systemów mechatronicznych maj rozkład wykładniczy, Weibulla, normalny lub logarytmo-normalny.
Wieloletnie badania eksploatacyjne i dostpne bazy o uszkodzeniach elementów i urzdze
technicznych wskazuj, e okrelonym elementom i urzdzeniom mona przypisa charakterystyczne dla nich rozkłady charakterystyk niezawodnociowych (tabela 1). Równie typowe rodzaje
uszkodze charakteryzuj si okrelonymi rozkładami charakterystyk niezawodnociowych [2],
[3], [4], [5] (tabela 2).
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 45, 2011
177
Tabela 1. Funkcje intensywnoĞci uszkodzeĔ wybranych elementów i urządzeĔ
Element, urzdzenie
drobne elementy gumowe, np. uszczelnienia, membrany,,,
elementy i urzdzenia uszkodzone przez czynniki
zewntrzne
elementy elektroniczne
urzdzenia z dominujc liczb elementów ruchomych
Rozkład funkcji intensywnoci uszkodze
Weibulla
Wykładniczy
Wykładniczy
Weibulla
ródło: Opracowanie własne.
Tabela 2. Funkcje intensywnoĞci uszkodzeĔ dla typowych rodzajów uszkodzeĔ
Rodzaj uszkodzenia
katastroficzne
starzeniowe
bardzo wolne zuycie
szybkie zuycie
zuycie korozyjne
Rozkład funkcji intensywnoci uszkodze
Wykładniczy
Weibulla, gamma
Wykładniczy
Normalny, logarytmo-normalny
Gamma
ródło: Opracowanie własne.
W prezentowanej analizie załoono, e urzdzenie mechatroniczne składa si z n elementów.
Czas zdatnoci i-tego elementu jest zmienn losow τ i o rozkładzie okrelonym nastpujcymi
charakterystykami:
– niezawodnoci elementu
Ri (t ) = P{τ i ≥ t} = 1 − Fi (t ) ,t ≥ 0,i = 1,2,..., n ,
(1)
– gstoci prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu
dF ( t )
fi ( t ) = i
,t ≥ 0 ,i = 1,2,..., n ,
dt
(2)
– intensywnoci uszkodze elementu
d
f (t )
f (t )
λi (t ) = − [ln Ri (t )] = i
= i , t ≥ 0 , i = 1,2,..., n ,
dt
1 − Fi (t ) Ri (t )
(3)
– oczekiwanym czasem zdatnoci elementu
∞
Ti = E [τ i ] = ³ Ri (t )dt , i = 1,2,..., n.
0
(4)
W dalszej czci opracowania scharakteryzowano cztery rozkłady, a nastpnie przedstawiono
wybrane charakterystyki niezawodnociowe mieszanin (kompozycji) elementów urzdze mechatronicznych. W prezentowanym materiale ograniczono si do przedstawienia rozkładów mieszanin
dla dwóch elementów.
178
Zbigniew Matuszak
Szczególne charakterystyki niezawodnoĞciowe szeregowych systemów mechatronicznych
2. Charakterystyka rozkładów niezawodnoci
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy jest przydatny do badania niezawodnoci takich urzdze, których
uszkodzenia s wynikiem oddziaływania obcie udarowych (tak zwanych bodców skokowych).
Rozkład wykładniczy moe by zastosowany do badania niezawodnoci urzdze i elementów
gdy:
• zmiany stanu technicznego i wynikajce z nich uszkodzenia s nieodwracalne,
• poziom wytrzymałoci (odpornoci na zuycie) jest stały, co oznacza brak uszkodze powstałych w wyniku starzenia (pochodzcych od wymusze kumulujcych si),
• uszkodzenia s wynikiem zewntrznych lub wewntrznych udarowych oddziaływa przypadkowych (bodców skokowych).
Charakterystyki czasu zdatnoci
– niezawodno elementu
τi
(i=1,2,...,n) elementu s nastpujce :
Ri ( t ) = e − λi t ,t ≥ 0 ,
(5)
– gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu
f i ( t ) = λi e − λi t ,t ≥ 0 ,
(6)
λi ( t ) = λi = const ,
(7)
– intensywno uszkodze elementu
– oczekiwany czas zdatnoci elementu
Ti = E [τ i ] =
1
λi .
(8)
Rozkład Weibulla
Rozkład Weibulla opisuje czas poprawnej pracy takich urzdze, w których wystpujce
uszkodzenia s niezalene, kade z uszkodze powoduje utrat stanu zdatnoci urzdzenia, co
oznacza, e obiekty te musz posiada szeregow struktur niezawodnociow, kade urzdzenie
składa si z wystarczajco duej liczby jednorodnych elementów.
( α , β )( i = 1,2,..., n )
Element ma rozkład Weibulla o parametrach i i
, gdy jego charakterystyki
przyjmuj posta :
[
]
Ri ( t ) = exp − β i t α i ,t ≥ 0 ,
[
(9)
]
(10)
λi ( t ) = α i β i t α i −1 ,t ≥ 0 ,
(11)
f i ( t ) = α i β i t α i −1 exp − β i t α i ,t ≥ 0 ,
179
Nr 45, 2011
§
1
Ti = E [τ i ] = Γ ¨¨1 +
α
i
©
· −1
¸ β i α i ,t ≥ 0 .
¸
¹
(12)
α = 2.
Szczególnym przypadkiem rozkładu Weibulla jest rozkład Rayleigha, w którym parametr i
Rozkład normalny
Rozkład normalny jest modelem niezawodnociowym dowolnego obiektu technicznego,
w którym zachodz uszkodzenia wynikajce z procesów starzenia, w tym równie zuycia. Jest
przydatny, gdy zmienna losowa nim opisywana zaley od wielu zjawisk i przyczyn, z których adna nie moe by uznana za dominujc.
Czas zdatnoci elementu
τ i ma rozkład normalny, gdy gsto prawdopodobiestwa ma posta
fi ( t ) =
ª (t − Ti )2 º
exp «−
,− ∞ < t < ∞ ,
2 »
2π
«¬ 2σ i »¼
1
σi
(13)
a jego dystrybuanta
Fi ( t ) =
przy czym
Ti
t
ª ( x − Ti )2 º
»dx ,− ∞ < t < ∞ ,
³ exp «−
2π − ∞
2σ i 2 ¼»
¬«
1
σi
(14)
2
jest oczekiwanym czasem zdatnoci elementu, a
σ i jego wariancj.
τ
Rozkład normalny jest okrelony dla wszystkich t ∈ R , natomiast zmienna losowa i okrelajca czas zdatnoci elementu przyjmuje jedynie wartoci nieujemne. Mona godzi si na tak nieP{τ i < 0}
adekwatno modelu, gdy prawdopodobiestwa
s pomijalnie małe, nie wiksze ni błdy pomiarowe.
W celu prostszego i wygodniejszego zapisu charakterystyk czasu zdatnoci elementu o
rozkładzie normalnym skorzystano z charakterystyk rozkładu normalnego N(0,1) o gstoci prawdopodobiestwa
§ t2 ·
1
f0 ( t ) =
exp¨ − ¸ ,t ∈ R ,
¨ 2¸
2π
©
¹
(15)
i dystrybuancie
§ x2 ·
1 t
F0 ( t ) =
³ exp¨¨ − ¸¸dx ,t ∈ R .
2π − ∞
© 2 ¹
(16)
Mona wówczas charakterystyki elementów systemu zapisa w postaci:
1 § t − Ti ·
¸ ,t ∈ R ,
fi ( t ) =
f0 ¨
σ i ¨© σ i ¸¹
(17)
180
Zbigniew Matuszak
§ t − Ti
Ri ( t ) = 1 − F0 ¨¨
© σi
·
¸
¸
¹
(18)
§ t − Ti ·
¸
f 0 ¨¨
σ i ¸¹
©
λi ( t ) =
ª
§ t − Ti
σ i «1 − F0 ¨¨
«¬
© σi
·º
¸¸»
¹»¼
P{τ i < 0}
(19)
W przypadku, gdy nie mona przyj załoenia, e prawdopodobiestwa
s pomijalnie małe, naley posłuy si rozkładem normalnym ucitym, w którym czas poprawnej pracy
τ ≥ 0.
elementu przyjmuje tylko wartoci nieujemne i
W tym przypadku charakterystyki niezawodnociowe elementów maj posta:
§ t − Ti ·
1 § t − Ti ·
¸ f 0 ¨¨
¸
f ¨
σ i 0 ¨© σ i ¸¹
σ i ¸¹
©
fi ( t ) =
=
,t ≥ 0 ,
§ Ti ·
§ Ti ·
1 − F0 ¨¨ − ¸¸ σ i F0 ¨¨ ¸¸
© σi ¹
©σi ¹
(20)
§ t − Ti ·
§ T ·
§ t − Ti ·
§T −t ·
¸¸ − F0 ¨¨ − i ¸¸ 1 − F0 ¨¨
¸¸ F0 ¨¨ i
¸
F0 ¨¨
σi ¹
σi ¹
σi ¹
σ i ¸¹
©
©
©
©
Ri ( t ) = 1 −
=
=
§ T ·
§T ·
§T ·
1 − F0 ¨¨ − i ¸¸
F0 ¨¨ i ¸¸
F0 ¨¨ i ¸¸
σ
σ
i ¹
©
© i¹
© σi ¹
(21)
§ t − Ti ·
§ t − Ti ·
¸¸
¸
f 0 ¨¨
f 0 ¨¨
σ i ¸¹
σi ¹
©
©
λi ( t ) =
=
,t ≥ 0 .
ª
§ Ti − t ·
§ t − Ti ·º
¸¸
¸¸» σ i F0 ¨¨
σ i «1 − F0 ¨¨
© σi ¹
«¬
© σ i ¹»¼
(22)
Rozkład logarytmo-normalny
Rozkład logarytmo-normalny w teorii niezawodnoci charakteryzuje na podstawie bada empirycznych, wytrzymało elementów metalowych na zmczenie, wytrzymałoci metali poddanych
długotrwałym napreniom, a take realizacje czasu poprawnej pracy elementów elektronicznych.
τ
Y = lnτ i
Czas pracy elementu i ma rozkład logarytmo-normalny, gdy zmienna losowa
ma
N (Ti ,σ i )
rozkład normalny z parametrami
. Korzystajc z gstoci prawdopodobiestwa i dystry-
181
Nr 45, 2011
buanty rozkładu normalnego N(0,1) charakterystyki niezawodnociowe elementu o rozkładzie logarytmo-normalnym mona zapisa w postaci:
ª (ln t − Ti )2 º
§ ln t − Ti ·
1
1
¸ ,t > 0 ,
fi ( t ) =
exp «−
f 0 ¨¨
»=
2
¸
tσ i 2π
2σ i
«¬
»¼ tσ i © σ i ¹
(23)
§ ln t − Ti ·
§ T − ln t ·
¸ = F0 ¨ i
¸,
Ri ( t ) = 1 − F0 ¨¨
¸
¨ σ
¸
i
© σi ¹
©
¹
(24)
λi ( t ) =
1
tσ i 2
F0
f0
(
(
σi
ln t − Ti
σi
Ti − ln t
)
)
,
(25)
σ 2
E [τ i ] = exp§¨ Ti + 2i ·¸
©
¹
(26)
W urzdzeniach mechatronicznych wystpuj elementy o rónym rozkładzie uszkodze.
W dalszej czci przedstawiono charakterystyki dla trzech elementów o rónych rozkładach.
Ze wzgldu na spotykan najczciej szeregow struktur niezawodnociow elementów tych
urzdze, rozpatrywano elementy o takiej zalenoci,
Elementy tworzce system techniczny urzdzenia mechatronicznego s niezalene, to znaczy,
τ
e pracuj i uszkadzaj si niezalenie od siebie. Zatem zmienne losowe i dla i=1,2,...,n opisujce czasy zdatnoci elementów systemu s niezalene.
Stan i-tego elementu systemu mona okreli za pomoc funkcji
0, gdy i − ty element jest zdatny w chwili t,
xi (t ) = ®
¯1, gdy i − ty element jest niezdatny w chwili t.
(27)
Stan wszystkich elementów systemu mona wówczas okreli za pomoc wektora zerojedynkowego
= [x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )].
x(t)
(28)
Stan systemu jest opisany przez funkcj
Φ (t ) = ϕ
= ϕ [x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )],
[x(t)]
(29)
przy czym funkcja ta moe przyjmowa tylko dwie wartoci zero i jeden
0, gdy system w chwili t jest zdatny,
Φ (t ) = ®
¯1, gdy system w chwili t jest niezdatny.
(30)
W zbiorze wektorów zero-jedynkowych przyjmuje si czciowy porzdek:
= [x1 , x2 ,..., xn ] < = [x1 ' , x2 ' ,..., xn '],
x
x'
(31)
182
Zbigniew Matuszak
x ≤ xi '.
jeeli dla wszystkich i jest i
ϕ
Rozpatrywane systemy s monotoniczne, tzn. e funkcja (x) okrelajca stan systemu jest
niemalejca w sensie wyej przyjtego porzdku. Oznacza to, e dla dowolnych x i x' spełniony
jest warunek:
ϕ
x < x'
(x) ≤ ϕ (x')
(32)
Monotoniczno systemu umoliwia rozbicie zbioru stanów systemu X={x} na dwa podzbiory:
ϕ
X + ={x : (x)=0} – zbiór stanów zdatnoci systemu,
ϕ
X − ={x : (x) = 1 } – zbiór stanów niezdatnoci systemu.
Oznaczajc przez τ zmienn losow okrelajc czas bezawaryjnej pracy urzdzenia mechatronicznego poszukiwane s nastpujce charakterystyki niezawodnociowe:
– niezawodno systemu (prawdopodobiestwo bezawaryjnej pracy systemu do chwili t)
R(t ) = P{τ ≥ t} = 1 − F (t ) ,t ≥ 0,
(33)
– gsto prawdopodobiestwa czasu bezawaryjnej pracy systemu
d
f (t ) = F (t ) ,t ≥ 0,
dt
(34)
– intensywno uszkodze systemu
d
f (t )
f (t )
λ (t ) = − [ln R(t )] =
=
,t ≥ 0,
dt
1 − F (t ) R (t )
(35)
– oczekiwany czas pracy systemu
∞
T = E [τ ] = ³ R(t )dt .
0
(36)
Prawdopodobiestwo bezawaryjnej pracy urzdzenia mechatronicznego mona zapisa w postaci
R(t ) = P{τ ≥ t} = ¦ P{x},
x∈X +
(37)
Gdzie:
n
P( x) = ∏ Ri1− xi (t )Fi xi (t ) ,
0
(przyjto 0 = 1 ),
jest prawdopodobiestwem tego, e system znajduje si w stanie x.
i =1
(38)
W dalszych rozwaaniach bdzie okrelana struktur niezawodnociowa systemu, co oznacza,
e okrelany bdzie zbiór stanów zdatnoci systemu X+, których elementy pracuj do pierwszego
uszkodzenia.
183
Nr 45, 2011
3. Charakterystyki rozkładów systemów szeregowych trzyelementowych
Poniej rozpatrzono pewne szczególne przypadki, gdy czasy zdatnoci elementów systemu
maj rozkłady omówione w poprzednim rozdziale, a sam system urzdzenia mechatronicznego
tworz trzy elementy o strukturze szeregowej i rónych typach rozkładów czasów zdatnoci elementów. Kolejno elementów nie ma znaczenia.
Pierwszy element ma czas zdatnoci o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ , drugi –
(α , β )
(T ,σ )
rozkład Weibulla z parametrami
, a trzeci rozkład normalny z parametrami
, przy
P{τ 3 < 0}
czym prawdopodobiestwo
jest pomijalnie małe. Charakterystyki systemu przyjmuj
posta:
– niezawodno systemu
R(t ) = exp − λt + βt α F0 Tσ−t ,
(39)
– gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu
f (t ) = exp − λt + βt α λ + αβ t α −1 F0 Tσ−t + σ1 f 0 Tσ−t ],
(40)
λ + αβ t α −1 F0 Tσ−t + σ1 f 0 Tσ−t
λ (t ) =
F0 Tσ− t
(41)
Jeeli trzeci element ma czas zdatnoci o rozkładzie normalnym ucitym w zerze, to charakterystyki systemu przyjmuj posta:
1 − F0 t σ−T
R(t ) = exp − λt + βt α
,t ≥ 0,
F0 σT
(42)
exp − λt + βt α λ + αβ t α −1 F0 Tσ− t + σ1 f 0 Tσ−t
f (t ) =
F0 σT
(43)
– intensywno uszkodze
λ + αβ t α −1 F0 Tσ− t + σ1 f 0 Tσ−t
,t ≥ 0
λ (t ) =
F0 Tσ−t
(44)
(α , β )
rozkład Weibulla z parametrami
, a trzeci – rozkład logarytmo-normalny z parametrami
(T ,σ )
. Charakterystyki systemu przyjmuj posta:
R(t ) = exp − λt + βt α F0 T −σln t ,t > 0,
(45)
[(
[(
)] ( )
)][(
) ( )
[(
) ( )
[(
( )
( )
[(
( )
( )
)]
)][(
(
()
) ( )
( )
[(
( )
)] (
) ( )
( )
)
( )]
184
Zbigniew Matuszak
f (t ) = exp − λt + βt α λ + αβ t α −1 F0
[(
)][(
) (
(λ + αβ tα )F (
−1
λ (t ) =
) + t1σ f0 (T −σln t )],
T − ln t
σ
(46)
) + t1σ f0 (T −σln t ).
F0 (T −σln t )
T − ln t
0
σ
(47)
(T ,σ )
P{τ 2 < 0}
rozkład normalny z parametrami 2 2 , przy czym prawdopodobiestwo
jest pomijalnie małe, a trzeci – rozkład logarytmo-normalny z parametrami
mu przyjmuj posta:
R(t ) = e −λt F0
( )F (
T3 − ln t
T2 − t
0
σ2
σ3
[ ( )F ( )+
T2 − t
T3 − ln t
1
σ3
σ2
0
σ2
f0
( )F (
0
σ2
)+
T3 − ln t
T2 − t
. Charakterystyki syste-
),
f (t ) = e − λt λF0
(T3 ,σ 3 )
σ3
(48)
1
tσ 3
F0
( )f (
T3 − ln t
T2 − t
σ2
0
σ3
)],
(49)
( ) + f( )
λ (t ) = λ +
)
σ F ( ) tσ F (
f0
ln t −T3
t −T2
0
σ2
σ3
T2 − t
T3 − ln t
2 0 σ2
3 0
σ3
(50)
Jeeli drugi element ma czas zdatnoci o rozkładzie normalnym ucitym w zerze z parametra(T ,σ )
mi 2 2 , to charakterystyki systemu maj posta:
R (t ) =
e − λt F0
( )F (
F( )
T3 − ln t
T2 − t
0
σ2
σ3
T2
0 σ2
),
(51)
f (t ) =
[ ( )F (
e − λt λF0
T3 − ln t
T2 − t
σ2
0
σ3
)+
1
σ2
f0
( )F (
F( )
0
σ2
)+
T3 − ln t
T2 − t
σ3
1
tσ 3
F0
( )f (
T3 − ln t
T2 − t
σ2
0
σ3
)]
T2
0 σ2
λ (t ) = λ +
(52)
( ) + f( )
)
σ F ( ) tσ F (
f0
t −T2
σ2
ln t −T3
0
T2 − t
2 0 σ2
σ3
T3 − ln t
3 0
σ3
Pierwszy element ma czas zdatnoci o rozkładzie Weibulla z parametrami
(53)
(α , β )
, drugi –
185
Nr 45, 2011
P{τ 2 < 0}
i małym prawdopodobiestwem
, a trzeci –
(T , σ )
rozkład logarytmo-normalny z parametrami 3 3 . Charakterystyki systemu przyjmuj wówczas
posta:
(T2 ,σ 2 )
rozkład normalny z parametrami
] ( )F (
[
T3 − ln t
T2 − t
R(t ) = exp − βt α F0
0
σ2
σ3
)
(54)
][
[
( )F ( )+
)+ F ( )f ( )],
T2 − t
f (t ) = exp − βt α αβ t α −1F0
+ σ1 f 0
2
( )F (
T3 − ln t
T2 − t
0
σ2
λ (t ) = αβ t
α −1
σ3
T3 − ln t
0
σ2
σ3
T3 − ln t
T2 − t
1
tσ 3
0 σ2
0
σ3
(55)
( ) + f( )
+
σ F ( ) tσ F (
)
f0
T3 − ln t
T2 − t
0
σ2
σ3
T2 − t
T3 − ln t
2 0 σ2
3 0
σ3
(56)
Jeeli drugi element ma czas zdatnoci o rozkładzie normalnym ucitym w zerze, to charakterystyki systemu maj posta:
R(t ) = e
F0
− βt α
( )F ( )
F( )
,t > 0,
T3 − ln t
T2 − t
0
σ2
σ3
T2
0 σ2
(57)
α
f (t ) =
[
( )F ( )] +
F( )
[ f ( )F ( )+ F ( )f (
F( )
T2 − t
e − βt αβ t α −1F0
σ2
T3 − ln t
0
σ3
T2
0 σ2
+
e − βt
α
1
σ2
T2 − t
0 σ2
T3 − ln t
0
σ3
1
tσ 3
T2 − t
0 σ2
T3 − ln t
0
σ3
)]
T2
0 σ2
λ (t ) = αβ t
α −1
( ) + f( )
+
σ F ( ) tσ F (
)
f0
ln t −T3
t −T2
σ2
0
T2 − t
2 0 σ2
(58)
σ3
T3 − ln t
3 0
σ3
(59)
Poniej przedstawiono jeszcze przypadek, gdy w systemie o strukturze szeregowej pracuj
cztery elementy, których czasy zdatnoci maj róne typy rozkładów.
Dla pierwszego elementu jego czas zdatnoci bdzie zmienn losow o rozkładzie wykładni(α , β )
czym z parametrem λ , dla drugiego – o rozkładzie Weibulla z parametrami
, dla trzeciego
(T3 , σ 3 )
P{τ 3 < 0}
i małym prawdopodobiestwem
a dla
– o rozkładzie normalnym z parametrami
186
Zbigniew Matuszak
(T , σ )
czwartego – o rozkładzie logarytmo-normalnym z parametrami 4 4 . Kolejno wymienionych
elementów nie ma znaczenia. Charakterystyki niezawodnociowe systemu przyjmuj wówczas posta:
)] ( σ )F ( σ ),
[(
T3 − t
R(t ) = exp − λt + βt α F0
3
T4 − ln t
0
4
(60)
f (t ) = e − (λt + βt
1
+ σ f0
3
α
[
( )F (
T3 − t
σ3
T4 − ln t
0
σ4
λ (t ) = λ + αβ t
( )F ( )+
F ( )f (
)] ,
) (λ + αβ tα −1 )F
α −1
)+
T3 − t
0 σ3
T4 − ln t
0
T3 − t
1
tσ 4
0 σ3
σ4
T4 − ln t
0
σ4
(61)
( ) + f( )
+
)
σ F ( ) tσ F (
f0
t −T3
σ3
ln t −T4
0
T3 − t
3 0 σ3
σ4
T4 − ln t
4 0
σ4
(62)
W przypadku systemów liczniejszych ni czteroelementowe postpuje si analogicznie posługujc si przedstawion metodologi. Mona równie dokona dekompozycji systemu o wikszej
liczbie elementów na podsystemy trzy – lub czteroelementowe, które jako nowe obiekty take tworz szeregow struktur niezawodnociow.
Jako uzupełnienie, mona przytoczy analiz n-elementowego systemu o równoległej strukturze niezawodnociowej. Stosowane s te same oznaczenia, które okrelone zostały wczeniej. Załoono, e elementy s niezalene, a system mechatroniczny pracuje bezawaryjnie do chwili
uszkodzenia si wszystkich elementów. W takim przypadku charakterystyki przyjmuj posta:
– dystrybuanta czasu zdatnoci systemu
n
F ( t ) = P{τ < t} = P{τ 1 < t ,τ 2 < t ,...,τ n < t} = ∏ Fi ( t ),
i =1
(63)
n
R( t ) = 1 − ∏ Fi ( t ),
i =1
(64)
n
f ( t ) = ¦ f i ( t ) ∏ F j ( t ),
i =1
j =1
j ≠i
(65)
n
¦ fi ( t )∏ F j ( t )
i =1
λ( t ) =
j =1
j ≠i
n
1 − ∏ Fi ( t )
i =1
(66)
Oczekiwany czas zdatnoci systemu o równoległej strukturze niezawodnociowej jest równy
187
Nr 45, 2011
∞
ª n
º
T = E [τ ] = ³ «1 − ∏ Fi ( t )» dt
i =1
¼
0¬
(67)
Oczekiwany czas zdatnoci systemu rzadko mona obliczy w jawnej postaci. Nawet dla prostych rozkładów oczekiwany czas zdatnoci systemu jest do skomplikowany.
W szczególnym przypadku wszystkie elementy systemu mog mie jednakowe rozkłady czasu
zdatnoci. Zachodzi to zwykle wtedy, gdy kilka elementów spełnia jedn i t sam funkcj. Dla jej
spełnienia wystarcza jeden element, dlatego pozostałe elementy stanowi rezerw gorc i w takiej
F ( t ) = F1( t ) dla i = 1,2,..., n
sytuacji najczciej i
. Wówczas dla systemu o strukturze równoległej
złoonej z jednakowych elementów charakterystyki niezawodnociowe maj posta:
– dystrybuanta czasu zdatnoci systemu
F ( t ) = F1n ( t ) ,
(68)
R( t ) = 1 − F1n ( t ) = 1 − [1 − R1( t )]n ,
(68)
f ( t ) = nf1( t )F1n −1( t ),
(70)
λ( t ) =
nf1 ( t )F1n −1( t )
1− F1n ( t )
,
(71)
– oczekiwany czas pracy systemu
∞
[
]
T = E [τ ] = ³ 1 − F1n ( t ) dt
0
.
(72)
4. Uwagi kocowe
W klasycznych problemach teorii niezawodnoci wyznaczaniu charakterystyk probabilistycznych niezawodnoci obiektów towarzyszy poszukiwanie modelu rozkładu czasu zdatnoci badanego obiektu. Najczciej jako model rozkładu czasu zdatnoci obiektu przyjmuje si rozkłady najprostsze, opisane wczeniej w opracowaniu.
W urzdzeniach mechatronicznych wystpuj równie systemy o strukturze szeregoworównoległej. W wikszoci opracowa dotyczcych niezawodnoci tych systemów wprowadza si
pojcie cieki minimalnej lub maksymalnego przekroju.
A = {i1 ,i2 ,...,ik }
Zbiór elementów takiego systemu
nazywany jest minimaln ciek, gdy:
1)
system jest zdatny, jeli zdatne s wszystkie elementy z tego zbioru niezalenie od stanu
pozostałych elementów,
2)
aden podzbiór zbioru A nie ma tej własnoci.
Kadej minimalnej ciece odpowiada graniczny stan systemu e, w którym uszkodzenie
dowolnego elementu powoduje uszkodzenie systemu.
188
Zbigniew Matuszak
{A , A ,..., Am } . Zdarzenie polegajce na tym,
Zbiorem wszystkich minimalnych cieek jest 1 2
A
A
e wszystkie elementy minimalnej cieki j s zdatne, oznacza si t sam liter j . Wówczas
niezawodno systemu mona wyrazi wzorem:
m
½ m
R( t ) = P ® A j ¾ = ¦ P( Ai ) − ¦ P( Ai ∩ Ak ) +
i<k
¯ j =1 ¿ i =1
(
)
+ ¦ P Ai ∩ Ak ∩ A j − ... + (− 1)m +1 P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Am )
i<k < j
(73)
Kade z prawdopodobiestw po prawej stronie powyszej zalenoci mona okreli jako:
P Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Ais = Rs1 ( t )Rs2 ( t )...Rsl ( t ) ,
(
)
(74)
A , A ,..., Ais
s , s ..., sl
gdzie 1 2 ,
s wskanikami elementów tworzcych minimalne cieki i1 i2
, (cieki te mog mie czci wspólne, wówczas kady element uwzgldnia si jeden raz).
B = { j1 , j2 ,..., jl }
Zbiór elementów
nazywany jest minimalnym przekrojem, gdy:
1)
system jest niezdatny, jeli niezdatne s wszystkie elementy z tego zbioru, niezalenie
od stanu pozostałych elementów,
2)
aden podzbiór zbioru B nie ma tej własnoci.
{B1 , B2 ,..., Bs } . Zdarzenie polegajce
Zbiorem wszystkich minimalnych przekrojów jest
na tym, e wszystkie elementy przekroju B s niezdatne, oznacza si t sam liter
Wówczas dystrybuanta czasu zdatnoci systemu ma posta:
m
½ m
F ( t ) = P ® B j ¾ = ¦ P(Bi ) − ¦ P(Bi ∩ Bk ) +
i<k
¯ j =1 ¿ i =1
(
Bi .
)
+ ¦ P Bi ∩ Bk ∩ B j − ... + (− 1)m +1 P(B1 ∩ B2 ∩ ... ∩ Bm )
i<k < j
(75)
Z powyszego wzoru mona otrzyma oszacowanie prawdopodobiestwa uszkodzenia systemu z dowoln, zadan z góry, dokładnoci.
W szczególnym przypadku:
s
s
¦ P(Bi ) − ¦ P(Bi ∩ Bk ) ≤ F ( t ) ≤ ¦ P(Bi )
i =1
i<k
i =1
(76)
Nierówno ta daje na ogół dostatecznie dokładne oszacowanie dystrybuanty czasu zdatnoci
systemu. Przy badaniu duych, złoonych obiektów mechatronicznych moe si okaza, e aden
z wymienionych rozkładów nie jest wystarczajco dobrym modelem rozkładu czasu zdatnoci
obiektu. Przyczyn tego jest sumowanie si wielu rónych strumieni uszkodze elementów badanego obiektu, z których kady moe mie zupełnie inne charakterystyki probabilistyczne. W takim
przypadku zaleca si poszerzenie liczby wariantów modeli matematycznych czasu zdatnoci o mieszaniny rozkładów lub kompozycje rozkładów [1]. Zagadnienia te s bardzo złoone i interesujce,
lecz wykraczaj znacznie poza zakres niniejszego opracowania ze wzgldu na swoj objto mimo i powstały na bazie zaprezentowanej analizy.
189
Nr 45, 2011
%LEOLRJUDILD
[1] Chybowski L.M., Matuszak Z.R.: Examples of Distribution of Technical Object and System Up-States. Risk, Quality and Reliability, VSB – Technical University of Ostrava, Ostrava 2007, s. 83–88.
[2] Matuszak Z.: Charakterystyki niezawodnociowe wieloelementowych struktur mieszanych
i odnawialnych. Collection of research papers of the Baltic Association of Mechanical Engineering Experts No 4, Mechanical Engineering of the Baltic Region, Kaliningrad State
Technical University, Kaliningrad 2004, p. 146–148.
[3] Matuszak Z.: Charakterystyki niezawodnociowe kilkuelementowych systemów technicznych o strukturze szeregowej i równoległej o rónych rozkładach czasów zdatnoci. Collection of research papers of the Baltic Association of Mechanical Engineering Experts No 4,
Mechanical Engineering of the Baltic Region, Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad 2004, pp. 149–153.
[4] Matuszak Z.: Selected safety models of elements and systems in the engine room. International Scientific Journal „Problems of applied mechanics”. Georgian Committee of International Federation for the Machines and Mechanics, Tbilisi (Gruzja) 2004, No 1(14)/2004, s.
30–39.
[5] Nowakowski T.: Bazy wiedzy w badaniach niezawodnoci maszyn. Materiały Konferencji
Naukowej "Metody dowiadczalne w budowie i eksploatacji maszyn roboczych, technologicznych oraz rodków transportu", Wyd. Politechniki Wrocławskiej, Wrocław-Szklarska
Porba 1993, s. 219–225.
[6] Praewska M. (red.): Niezawodno urzdze elektronicznych. WKiŁ, Warszawa 1987.
[7] Rausand M., Høyland A.: System Reliability Theory: Models, Statistical Methods, and Applications. Second edition. New Jersey: Wiley, Interscience 2004.
[8] Saleh J. H., Marais K.: Reliability: How much is it worth? Beyond its estimation or prediction, the (net) present value of reliability. Reliability Engineering and System Safety Vol.
91, 2006, pp. 665–673.
[9] Sotskow B.S.: Niezawodno elementów i urzdze automatyki. WNT, Warszawa 1973.
[10] Wayska-Fiok K., Jawiski J., Niezawodno systemów technicznych. PWN, Warszawa
1990.
190
Zbigniew Matuszak
PARTICULAR RELIABILITY CHARACTERISTICS
OF SERIAL MECHATRONICS SYSTEMS
Summary
The paper presents basic failures distributions of mechatronics devices components: exponential, Weibull, normal, log-normal. Some particular cases when
up state time of system components have four listed distributions are considered.
Three components that have serial structure and different types of distribution
of components up state time build mechatronic device system. Order of elements
is negligible. Case when in serial structure system operate four elements that have
different up state time is presented in the end of the paper.
Keywords: components failures distributions, mechatronics system, multi-component systems
failures distributions
Zbigniew Matuszak
Akademia Morska w Szczecinie
Instytut Eksploatacji Siłowni Okrtowych
ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
e-mail: [email protected]

Pobierz artykuł PDF

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadania różne

Lista 1 (Estymacja parametrów)

Cypr - Bar-Tur

Cimstar MB 604 - omnibus

Rozdział 1.