Lista 1 (Estymacja parametrów)

Lista 1 (Estymacja
parametrów)
1. Wyznacz pochodne funkcji:
y = ln(x2 ),
f (x) = cos(x) + sin(x) − tan(x),
f (t) =
√
8 + t,
f (t) = exp{t3 − x + 2}
2. Wyznacz eksterema funkcji:
(a)
f (x) = x3 − 3x2 − 9x − 15
(b)
f (µ) =
(c)
f (λ) =
P10
e−nµ
µ i=1 ti
t1 !t2 !···t10 !
P
λ − ni=1 xi ln(λ)
3. Niech b¦d¡ dane dwie symetryczne kostki do gry:
biaª¡ ±ciank¡ oraz
K2
z
1
czerwon¡ ±ciank¡ i
5
K1
z
5
czerwonymi ±ciankami i 1
biaªymi ±ciankami. Losujemy jedn¡ z
kostek i rzucamy ni¡ a» do momentu wyrzucenia po raz pierwszy ±cianki czerwonej. T¡
sam¡ kostk¡ powtarzamy ten eksperyment jeszcze dwa razy. Zaªó»my, »e wyniki tych
eksperymentów wygladaj¡ w nast¦puj¡cy sposób:
•
Pierwszy eksperyment - czerwona ¡cianka pojawiªa si¦ po raz pierwszy w trzecim
rzucie
•
Drugi eksperyment - czerwona ±cianka pojawiªa si¦ po raz pierwszy w piatym
rzucie
•
Trzeci eksperyment - czerwona ±cianka pojawiªa si¦ po raz pierwszy w czwartym
rzucie
Wyznacz prawdopodobie«stwa z jakimi pojawiaj¡ si¦ takie wyniki.
4. W pewnym kraju pi¦ciu m¦»czyzn na
100 oraz dwie kobiety na 1000 nie rozró»nia kolo-
rów. Spo±ród par maª»e«skich tego kraju wylosowano osob¦, która okazaªa si¦ daltonist¡. Jakie byªo prawdopodobie«stwo takiego wyniku? Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e t¡ wylosowan¡ osob¡ jest kobieta?
5. Rozpatrzmy do±wiadczenie polegaj¡ce na niezale»nych rzutach dwiema monetami. Dla
P ({orzeª}) = u natomiast dla drugiej P ({orzeª}) = w. Oznaczmy
odpowiednio przez p0 = P ({wypadªo zero orªów}), p1 = P ({wypadª jeden orzeª}),
p2 = P ({wypadªy dwa orªy}). Czy mo»na tak dobra¢ warto±ci w i u aby p0 = p1 = p2 ?
jednej z nich
1