3. Rachunek wektorowy i geometria analityczna

3. Rachunek wektorowy i geometria analityczna
1. Niech 𝑎⃗ = (3,2), 𝑏⃗⃗ = (1,6), 𝑣⃗ = (7,2) :
a) wyznaczyć wektory 𝑎⃗ + 2𝑏⃗⃗ oraz 3𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ ;
b) wyznaczyć liczby 𝛼 i 𝛽 takie, że 𝑣⃗ = 𝛼𝑎⃗ + 𝛽𝑏⃗⃗ .
2. Niech 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗ będą wektorami wodzącymi odpowiednio punktów 𝐴 i 𝐵, tzn. przy ustalonym
punkcie 𝑂: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑎⃗ i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 = 𝑏⃗⃗ . Wyznaczyć wektor wodzący :
a) środka odcinka 𝐴𝐵 ;
b) punktu 𝑃 , który dzieli odcinek 𝐴𝐵 w stosunku 1:2 .
3. Wykazać, że w dowolnym czworokącie środki kolejnych boków są wierzchołkami
równoległoboku.
4. Punkty 𝐴 = (2,3,6), 𝐵 = (3,4,6) i 𝐶 = (3,5,7) są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta
foremnego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków.
5. Wyznaczyć kąt między wektorami 𝑥⃗ = (2,3,6) oraz 𝑦⃗ = (8,5,3).
6. Wykazać, że trójkąt o wierzchołkach 𝐴 = (1,2, −1), 𝐵 = (3,5, −2) i 𝐶 = (2,3,4) jest
prostokątny.
7. Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach 𝑢
⃗⃗ = (3,1,2) i 𝑣⃗ = (1,2,3).
8. Wyznaczyć wektor o długości 2016, prostopadły do wektorów 𝑢
⃗⃗ = (0,1,2) i 𝑣⃗ = (1,0,2).
9. Napisać równanie parametryczne, ogólne i kierunkowe prostej 𝑙 przechodzącej przez punkty
𝑃 = (1,3) i 𝑄 = (3,2). Wyznaczyć punkty przecięcia tej prostej z osiami układu
współrzędnych. Narysować prostą 𝑙.
10. Wyznaczyć obraz punktu 𝑃 = (−2,1) przez symetrię względem prostej 𝑙: 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0.
11. Dane są punkty 𝐴 = (−1,0) i 𝐵 = (3,2). Na prostej 𝑙: 𝑥 = 3𝑡 − 4, 𝑦 = 𝑡 + 1, 𝑡 ∈ ℝ, znaleźć
taki punkt 𝐶, aby trójkąt 𝐴𝐵𝐶 był prostokątny.
12. Dane są punkty 𝐴 = (0, −7) i 𝐵 = (6,1). Na paraboli 𝑦 = 𝑥 2 znaleźć taki punkt 𝐶, aby pole
trójkąta 𝐴𝐵𝐶 było równe 25.
13. Wyznaczyć równanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐴 = (7,8) i jest styczny do osi 𝑂𝑋
w punkcie 𝐵 = (3,0).
14. Wyznaczyć równanie okręgu, który przechodzi przez punkty 𝐴 = (3, −1) i 𝐵 = (7,1), a
którego środek leży na prostej 𝑦 = 𝑥 − 2.
15. Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 = 0 przechodzącej przez punkt:
a) (0,0);
b) (3,2).
16. Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny:
a) przechodzącej przez punkty 𝑃 = (1,0, −1), 𝑄 = (4,2,4) i 𝑅 = (2,1,3);
b) będącej symetralną odcinka o końcach 𝐴 = (2,1,4) i 𝐵 = (8,3,10);
c) zawierającej oś 𝑂𝑌 i przechodzącej przez punkt 𝑃 = (7,2,8).
17. Wyznaczyć równanie parametryczne prostej:
a) przechodzącej przez punkty 𝐴(1, −1,5) i 𝐵 = (−2,1,1);
b) będącej częścią wspólną płaszczyzn 𝜋1 : 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0 i 𝜋2 : 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0;
c) prostopadłej do osi 𝑂𝑋 i przechodzącej przez punkt 𝑃 = (3,4,5).
18. Znaleźć punkt wspólny:
a) płaszczyzn 𝜋1 : 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0, 𝜋2 : 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1 i 𝜋3 : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 10.
b) prostych 𝑙1 : 𝑥 = 1 + 𝑡, 𝑦 = 7 − 𝑡, 𝑧 = 2 + 3𝑡 i 𝑙2 : 𝑥 = 4 + 𝑠, 𝑦 = 3 − 2𝑠, 𝑧 = 9 + 𝑠.
19. Wyznaczyć punkty przecięcia prostej 𝑙 ∶
𝑥−1
2
=
𝑦+3
−1
=
𝑧−4
5
z płaszczyznami układu
współrzędnych.
20. Wyznaczyć rzut prostokątny punktu 𝑃 = (10,7,2) :
a) na płaszczyznę 𝜋: 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 − 5 = 0 ;
b) na prostą 𝑙: 𝑥 = 5 + 𝑡, 𝑦 = 6 − 𝑡, 𝑧 = 7 − 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ.
21. Obliczyć odległość punktu 𝑆 = (3,5, −8) od prostej 𝑙: 𝑥 = 8 + 4𝑡, 𝑦 = 4 − 3𝑡, 𝑧 = −5 + 𝑡,
𝑡 ∈ ℝ.
22. Obliczyć odległość między prostymi skośnymi 𝑙1 : 𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 3 + 4𝑡, 𝑡 ∈ ℝ
oraz 𝑙2 : 𝑥 = 3 + 2𝑠, 𝑦 = 1, 𝑧 = 2 + 𝑠, 𝑠 ∈ ℝ.
23. Obliczyć wysokość czworościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷, gdzie 𝐴 = (1,0,2), 𝐵 = (2,3,4), 𝐶 = (3, −1,1) oraz
𝐷 = (4,1,4), opuszczoną z wierzchołka 𝐷.
24. Sprawdzić, czy punkty 𝑃 = (2,3,4) i 𝑄 = (3, −1,2) leżą po tej samej stronie płaszczyzny
𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0.
25. Promień światła wychodzący z punktu 𝑃 = (8,6,2) po odbiciu w zwierciadle leżącym w
płaszczyźnie 𝜋: 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 12 = 0 trafił do punktu 𝑄 = (2,0,8). W jakim punkcie
nastąpiło odbicie?