Macierze, wyznaczniki, układy równań
Transkrypt
Macierze, wyznaczniki, układy równań
(−3) · 6 −9 −3 −2 3 √1 √ = −3π 0 −3 2 π 0 2 −1 4 1 −3 0 1 3 0 + − 21 −5 = 2 21 −5 2 1 4 11 6 12 TRANSPOZYCJA: T −2 3 √1 = π 0 2 T −2 π 3 √0 1 2 1 2 3 1 4 7 4 5 6 = 2 5 8 3 6 9 7 8 9 Macierz symetryczna T 1 3 5 1 3 5 3 5 7 = 3 5 7 5 7 9 5 7 9 Macierz antysymetryczna T 0 −1 −2 0 1 2 1 0 −1 = −1 0 1 2 1 0 −2 −1 0 −2 1 2 2 −1 3 c11 ··· ··· ··· ··· 1 2 −1 c21 C= .. .. .. .. · .. 1 2 −1 c12 ··· c22 .. .. .. .. · .. −1 .. 3 .. 3 .. c13 .. ··· · c23 .. 2 4 −1 c14 · · · c24 (2, −1, 3) · (−2, 1, 2) (2, −1, 3) · (1, 2, −1) (2, −1, 3) · (−1, 3, 3) (2, −1, 3) · (2, 4, −1) (1, 2, −1) · (−2, 1, 2) (1, 2, −1) · (1, 2, −1) (1, 2, −1) · (−1, 3, 3) (1, 2, −1) · (2, 4, −1) 2 · (−2) + (−1) · 1 + 3 · 2 1 · (−2) + 2 · 1 + (−1) · 2 2 · 1 + (−1) · 2 + 3 · (−1) 2 · (−1) + (−1) · 3 + 3 · 3 1 · 1 + 2 · 2 + (−1) · (−1) 1 · (−1) + 2 · 3 + (−1) · 3 = 2 · 2 + (−1) · 4 + 3 · (−1) 1 · 2 + 2 · 4 + (−1) · (−1) 1 −3 4 −3 −2 6 2 11 1 0 I5 = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 MACIERZOWY ZAPIS UKLADU RÓWNAŃ przyk lad: x+z−t = 1 2x − y + z + 3t = 4 3x + y + z − 2t = 2 Ukladowi przypisujemy trzy macierze: A wspólczynniki przy niewiadomych, B wyrazy wolne, X niewiadome. , , . x 1 0 1 −1 1 y A = 2 −1 1 3 B = 4 X = z 3 1 1 −2 2 t Symboliczny zapis ukladu: A · X = B = Wyznaczniki 12 −7 4 21 33 0 21 50 −11 25 0 0 111 48 73 = 12 · 21 · 111 · 54 · 69 0 0 0 54 −920 0 0 0 0 69 MNOŻENIE WYZNACZNIKÓW: WNIOSEK: Gdy |AB| = |A| · |B|. |A| = 0 macierz A nie ma odwrotnej T . TRANSPOZYCJA Kolejne wlasności nawet jeśli sformulowane dla wierszy sa sluszne także dla kolumn. ‘ A = |A| OPRACJE ELEMENTARNE DLA WIERSZY −7 21 21 2 41 12 −7 4 21 33 4 21 33 5 21 50 −11 25 50 −11 25 73 333 144 219 = 3 · 3 7 111 48 17 2 17 54 −920 17 54 −920 23 41 501 77 69 501 77 69 12 5 9 17 23 12 −7 4 21 33 12 −7 4 21 33 5 21 50 −11 25 23 41 501 77 69 3 7 111 48 73 = − 3 7 111 48 73 17 2 17 54 −920 17 2 17 54 −920 23 41 501 77 69 5 21 50 −11 25 12 5 3 9 23 −7 21 7 21 41 4 21 33 50 −11 25 111 48 73 = 0 333 144 219 501 77 69 20 −8 24 −4 22 −15 6 −18 0 −9 −20 8 −25 10 −14 5 −8 7 −4 0 5 −2 6 −1 4 0 0 0 0 6 I ↔ V −4V II ↔ IV 0 0 0 −3 3 +3V = +4V = 0 0 −1 6 2 0 −6 1 −3 −4 −V 5 −2 6 −1 4 5 −2 6 −1 4 0 −6 1 −3 −4 0 0 −1 6 2 = −540 0 0 0 −3 3 0 0 0 0 6 2na2) a b = ad − bc c d 2 −1 3 2 −1 3na3) 1 4 −5 1 4 = −3 1 2 −3 1 2 · 4 · 2 + (−1) · (−5) · (−3) + 3 · 1 · 1 −((−3) · 4 · 3 + 1 · (−5) · 2 + 2 · 1 · (−1)) DOPE LNIENIA ALGEBRAICZNE: |A11 |, −|A12 |, −|A |, |A22 |, 21 .. .. . . DA = i+1 i+2 (−1) |A |, (−1) |Ai2 |, i1 .. .. . . (−1)n+1 |An1 |, (−1)n+2 |An2 |, Gdzie macierz ··· ··· .. . (−1)1+j |A1j |, (−1)2+j |A2j |, .. . ··· ··· .. . ··· .. . ··· (−1)i+j |Aij |, .. . · .. (−1)n+j |Anj |, · . (−1)1+n |A1n | (−1)2+n |A2n | .. . (−1)i+n |Ain | .. . |Ann | Aij powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j -tej kolumny. Uklady Cramera A·X =B Uklad równań nazywamy ukladem Cramera jeżeli ma tyle samo równań co niewiadomych, oraz wyznacznik z macierzy A wspólczynników przy niewiadomych jest różny od zera. Twierdzenie Cramera Uklad Cramera posiada dokladnie jedno rozwiazanie dane wzorami: ‘ xj = |Aj | |A| , dla j = 1, 2, . . . , n, A gdzie macierz j powstaje przez zasta‘pienie kolumny wspólczynników przy niewiadomej wyrazów wolnych. Rozpatrzmy przykladowy uklad równań: 3x − y − 2z = 30 x−y+z = 11 x + y − 2z = 90 xj przez kolumne‘ 3 −1 −2 3 −1 |A| = 1 −1 1 1 −1 = −4 1 1 −2 1 1 powiedzmy, że chcemy wyznaczyć niewiadoma ‘ y: 3 30 −2 3 30 |Ay | = 1 11 1 1 11 = −404 1 90 −2 1 90 y= −404 −4 = 101 Operacje elementarne na wierszach Przyklad 3r3n, poprzedni uklad: 2 −5 −3 3 −1 −2 30 −3II 0 = 1 −1 1 11 U = 1 −1 1 11 1 1 −2 90 −II 0 2 −3 79 −I 0 2 −5 −3 I ↔ II 1 11 −III 1 −1 = 1 −1 1 11 = 0 2 −5 −3 +5III 0 0 2 82 /2 0 0 1 41 1 −1 0 −30 1 −1 0 −30 +II = 0 2 0 202 /2 = 0 1 0 101 0 0 1 41 0 0 1 41 71 1 0 0 = 0 1 0 101 0 0 1 41 x = 71, y = 71, z = 41. Zbadać dla jakich p ∈ ℝ uklad x + py − z = 1 2x + y + pz = −3 3x + 3y + z = −5 ma jednoznaczne rozwiazanie spelniajace warunek x ¬ 0. ‘ ‘ 1 p −1 1 p |A| = 2 1 p 2 1 = 3p2 − 5p − 2 3 3 1 3 3 p1 = −1/3, p2 = 2 Rozwiazanie jednoznaczne dla p ∈ ℝ \ {−1/3, 2} ‘ 1 p −1 1 p |A1| = −3 1 p −3 1 = 5 − 5p2 −5 3 1 −5 3 x= |A1 | |A| = 5(1−p)(p+1) 3(p+1/3)(p−2) x ¬ 0 gdy 5(1 − p)(p + 1)3(p + 1/3)(p − 2) ¬ 0 i p ∈ D p ∈ (−∞, −1] ∪ [−1/3, 1] ∪ [2, ∞) oraz p ∈ ℝ \ {−1/3, 2} ODPOWIEDŻ: p ∈ (−∞, −1] ∪ (−1/3, 1] ∪ (2, ∞) Przyklad 4r3n x + 2y − z 2x + y + 2z 3x − 3y + 5z 4x + 5y = = = = 2 5 5 9 2 −1 2 1 1 2 5 −2I 2 U = 5 5 −3I 3 −3 4 5 0 9 −4I 2 0 1 1 −3 0 0 −3 −/3 0 −/4 −4 0 −4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 −1 2 −.25III 1 +III 4 1 0 −3 0 0 −4 −4 0 0 0 0 2 −1 2 1 4 1 0 −3 0 −9 −3II −1 8 −II 0 −3 4 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 1 −2II 1 1 0 0 −1 0 1 1 1 0 0 x = −1, y = 1, z = 1. Przyklad 3r5n x + 2y − 3z + 5t − u = −4 3x − 4y + 5z + −5t + 5u = 1 2x − y + z + 2u = 4 1 2 −3 5 −1 −4 U = 3 −4 5 −5 5 1 −3I 2 −1 1 0 2 4 −2I 2 −3 5 −1 −4 1 2 −3 5 −1 −4 1 0 −10 14 −20 8 13 −2III = 0 0 0 0 0 −11 0 −5 7 −10 4 12 0 −5 7 −10 4 12 SPRZECZNOŚĆ Zbadać ilość rozwiazań ukladu : ‘ 3x − y + pz = 6 x + py + z = 7 x + 2y − 3z = −5 w zależności od wartości p ∈ ℝ 3 −1 p 3 −1 |A| = 1 p 1 1 p = −p2 − 7p − 10 1 2 −3 1 2 p1 = −5, p2 = −2 p = −5 3 −1 −5 6 −3II 1 −5 1 7 1 2 −3 −5 −II 0 14 −8 −15 −2III 7 1 −5 1 0 7 −4 −12 0 0 0 9 7 1 −5 1 0 7 −4 −12 SPRZECZNOŚĆ 3 −1 −2 6 −3II 1 7 p = −2 1 −2 1 2 −3 −5 −II 0 5 −5 −15 /5 1 −2 1 7 0 4 −4 −12 −4I 0 1 −1 −3 0 1 −1 −3 1 −2 1 7 +2I = 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Uklad po przejściach x = z + 1, y = z − 3 Odp: dla p ∈ ℝ \ {−5, −2} dokladnie 1 rozwiazanie ‘ dla p = −2 ∞ wiele rozwiazań zależnych od 1 parametru ‘ dla p = −5 uklad sprzeczny. Macierz odwrotna bezwyznacznikowo: 1 −3 −1 A = 2 −1 1 1 1 3 |A| = 8 6= 0 macierz odwrotna istnieje 1 −3 −1 1 0 0 (A|I) = 2 −1 1 0 1 0 −2I 1 1 3 0 0 1 −I 1 0 0 +3II 1 −3 −1 1 0 0 1 −3 −1 0 5 3 −2 1 0 −III 0 1 −1 −1 1 1 0 4 4 −1 0 1 −4II 0 4 4 −1 0 1 1 0 −4 −2 3 −3 +0.5III 0 1 −1 −1 1 1 +0.125III 0 0 8 3 −4 5 1 0 0 −1/2 1 −1/2 0 1 0 −5/8 1/2 −3/8 0 0 8 3 −4 5 0.125 1 0 0 −1/2 1 −1/2 0 1 0 −5/8 1/2 −3/8 0 0 1 3/8 −1/2 5/8 x + 2y + 3z y + 2z Υ1 : 0 0 = 4 = 3 = 1 = 0 x + 2y + 3z y + 2z Υ2 : z 0 = 4 = 3 = 1 = 0 x + 2y + 3z z Υ3 : 0 0 = 4 = 1 = 0 = 0 3 2 0 0 4 3 1 0 r(A1 ) = 2 r(U1 ) = 3 1 2 3 0 1 2 U2 = 0 0 1 0 0 0 4 3 1 0 r(A2 ) = 3 r(U2 ) = 3 4 1 0 0 r(A3 ) = 2 r(U3 ) = 2 1 0 U1 = 0 0 2 1 0 0 1 2 3 0 0 0 U3 = 0 0 0 0 0 0 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7 Υ4 : x5 + 2x6 + 3x7 0 = 8 = 6 = 4 = 1 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7 Υ5 : x5 + 2x6 + 3x7 0 = 8 = 6 = 4 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7 Υ6 : 0 0 1 2 3 4 5 6 7 = 8 0 0 1 2 3 4 5 = 6 U6 = 0 0 0 0 0 0 0 = 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7 Υ7 : 0 0 = 8 = 6 = 0 = 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 U4 = 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 U5 = 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 U7 = 0 0 2 0 0 0 3 1 0 0 4 2 0 0 5 3 0 0 6 4 0 0 7 5 0 0 8 6 4 1 r(A4 ) = 3 r(U4 ) = 4 8 6 4 0 r(A5 ) = 3 r(U5 ) = 3 8 6 1 0 8 6 0 0 r(A6 ) = 2 r(U6 ) = 3 r(A7 ) = 2 r(U7 ) = 2 Przyklad1: Zbadać ilość rozwiazań ukladu ‘ x1 − 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 5 2x1 − 4x2 + 6x3 − x4 + ax5 = 6 3x − 6x + 9x − 3x + 4x 1 2 3 4 5 = b w zależności od wartości a, b ∈ ℝ 1 −2 3 1 2 5 U = 2 −4 6 −1 a 6 3 −6 9 −3 4 b A niezerowa i tylko 3 wiersze wiec 1 ¬ rA ¬ rU ¬ 3 ‘ Kolumny pierwsza druga i trzecia sa równolegle wiec zeruje sie każdy wyznacznik ‘ ‘ ‘ zawierajacy dwie z nich Minor 2na2 Iw,IIw i Ik,IVk : M= 1 1 = −3 6= 0 → 2 ¬ rA ¬ rU ¬ 3 2 −1 1 1 2 Obliczmy minor 3na3 Ik,IVk,Vk : Ma = 2 −1 a = 6a − 18 3 −3 4 Dla a 6= 3 niezależnie od wartości b, rA = rU = 3 = k < n = 5 i mamy ∞ wiele rozwiazań zależnych od n − k = 5 − 3 = 2 parametrów ‘ Dla a = 3, rA = 2 i badamy jak wartość wplywa na rzad U ‘ 1 1 5 Minor 3na3 Ik,IVk,VIk Mb = 2 −1 6 = −3b + 21 3 −3 b Dla a = 3 i jednocześnie b = 7, rA = rU = 2 = k < n = 5 i mamy ∞ wiele rozwiazań zależnych od n − k = 5 − 2 = 3 parametrów ‘ Dla a = 3 i jednocześnie b 6= 7 rA = 2 < 3 = rU sprzeczność 0 rozwiazań ‘ Przyklad2: Zbadać ilość rozwiazań ukladu ‘ x + 2y + 3z 2x + 3y + 4z 3x + y + az 2x − y − 4z = 4 = 5 = −3 = b w zależności od wartości a, b ∈ ℝ 2 3 4 1 3 4 5 2 z rozmiaru 1 ¬ rA ¬ 3, 1 ¬ rU ¬ 4 U = 1 a −3 3 2 −1 −4 b 1 2 = −1 6= 0 → 2 ¬ rA ¬ rU Weźmy minory : M2 = 2 3 1 2 3 M3 = 2 3 4 = −12 + 16 − 6 + 16 − 18 + 4 = 0 2 −1 −4 1 2 3 Rzad A zależy od a, bierzemy Ma = 2 3 4 = −a − 1 ‘ 3 1 a 2 dla a = −1 rA = 3 dla a 6= 1 Dla ustalenia jak a, b wplywaja na rzad B jeszcze dwa minory ‘ ‘ 1 2 4 M = 2 3 5 = −9 + 8 + 30 + 12 − 5 − 36 = 0, 3 1 −3 1 2 4 oraz Mb = 2 3 5 = −b − 7. 2 −1 b Na koniec |U | = −(a + 1)(b + 7) Odpowiedź: 1) a = −1 b = −7 → rA = rU = 2 = od n − k = 3 − 2 = 1 jednego parametru 2) a 6= −1 b = −7 → dokladnie jedno rozwiazanie ‘ 3) a = −1 b 6= −7 → k < 3 = n ∞ wiele rozwia‘zań zależnych rA = rU = 3 = k = 3 = n rA = 2 < rU = 3 SPRZECZNOŚĆ 4) a 6= −1 b 6= −7 → rA = 3 < rU = 4 SPRZECZNOŚĆ