Lista 3 - wmiRepo

Lista Zadań Nr
3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE A2
Grzegorz Karch
12 października 2005 r.
http://www.math.uni.wroc.pl/˜karch/A2
Stabilność w sensie Lapunowa
Zadanie 23. Ustal czy rozwiazania stacjonarne x(t) ≡ 0 i x(t) ≡ 1 równania x0 = x(1−x) sa
‘
‘
stabilne czy niestabilne w sensie Lapunowa. Zrób to zadanie na dwa sposoby: bezpośrednion,
badajac rozwiazania, oraz konstruujac funkcje Lapunowa (tylko w przypadku stabilności).
‘
‘
‘
‘
Zadanie 24. Podobne polecenie dla rozwiazań x(t) ≡ 0 i x(t) ≡ 1 równania x0 = −x(1 − x).
‘
Zadanie 25. Rozważamy równanie różniczkowe x0 = x2 . Udowodnij, że wszystkie rozwiazania
‘
z warunkiem poczatkowym x(0) ≥ 0 sa niestabilne, natomiast rozwiazania z warunkiem
‘
‘
‘
poczatkowym x(0) < 0 sa stabilne w sensie Lapunowa.
‘
‘
Zadanie 26. Zbadać stabilność rozwiazania x = y = 0 ukladów:
‘
a) x0 = −y, y 0 = 2x3 ;
b) x0 = y, y 0 = sin x.
Zadanie 27. Zbadać punkty stacjonarne ukladu x0 = xy + 12, y 0 = x2 + y 2 − 25 i określić
ich stabilność.
Zadanie 28. Udowodnij, że stabilność rozwiazań dowolnego rozwiazania x̄(t) równania
‘
‘
niejednorodnego x̄0 = Ax̄+ f¯(t) jest równoważna stabilności rozwiazania stacjonarnego x̄ ≡ 0
‘
równania jednorodnego x̄0 = Ax̄.
Zadanie 29. Podać przyklad ukladu równań, do którego można zastosować Twierdzenia
Lapunowa o niestabilności:
Niech dana bedzie funkcja V (x) klasy C 1 w pewnym zbiorze Q, bedacym otoczeniam poczatku
‘
‘ ‘
‘
ukladu wspólrzednych. Jeżeli funckja V (x) spelnia warunki:
‘
i) V (0) = 0,
ii) dla każdgo ε > 0 istnieje x, taki że |x| < ε i V (x) > 0,
iii) ∇V · f > 0 dla x ∈ Q \ {0},
to rozwiazanie zerowe równania autonomicznego x0 = f (x) nie jest stabilne w sensie La‘
punowa.
Zadanie 30. Udowodnić, że rozwiazanie równania x0 = a(t)x, gdzie a(t)
jest funkcja ciagla,
R
‘
‘ ‘ ‘
jest stabilne w sensie Lapunowa wtedy i tylko wtedy, gdy lim supt→+∞ 0t a(s) ds < +∞.
Zadanie 31. Zbadać stabilność lub brak stabilności rozwiazania zerowego ukladów równań:
‘
a) x0 = x3 − y, y 0 = x + y 3 ;
b) x0 = y − x + xy, y 0 = x − y − x2 − y 3 ;
c) x0 = 2y 3 − x5 , y 0 = −x − y 3 + y 5 .
Zadanie 32. Zalóżmy, że przynajmniej jedna wartość wlasna operatora liniowego A na IRn
ma ściśle dodatnia cześć rzeczywista. Pokazać, że dla dowolnego ε > 0 istnieje rozwiazanie
‘ ‘
‘
‘
równania ẋ = Ax takie, że kx(0)k < ε oraz limt→∞ kx(t)k = ∞.
Zadanie 33. Znaleźć warunek konieczny i dostateczny na stabilność rozwiazania zerowego
‘
ukladu dwóch równań liniowych jednorodnych o stalych wspólczynnikach.
Zadanie 34. Dany jest uklad równań x00 = f (x) z niewiadoma x = (x1 , ..., xn ), gdzie
‘
f (x) = −∇Φ(x), a Φ(x) jest funkcja skalarna klasy C 2 . Sprawdzić, że funkcja U (A, B) =
‘
‘
kAk2 /2+Φ(B) spelnia tożsamość dtd U (x0 (t), x(t)) = 0 dla dowolnego rozwiazania tego ukladu.
‘
Funkcja U nazywa sie calka pierwsza tego ukladu.
‘
‘
‘
G rzegorz Karch
Stabilność rozwiazań w sensie Lapunowa
‘
Niech bedzie dane równanie
‘
m
x0 = f (x),
m
(1)
gdzie f : Q → IR oraz Q ⊂ IR jest zbiorem otwartym zawierajacym poczatek ukladu wspólrzednych.
‘
‘
‘
Zakladamy, że f jest klasy C 1 oraz spelnia warunek f (0) = 0.
Definicja.
Funkcja Lapunowa dla równania (1) nazywamy funkcje V ∈ C 1 (Q), V : Q → IR, spelnajaca warunki:
‘
‘
‘ ‘
1
1) V (x) ≥ 0;
2) V (x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = 0;
3) jeśli x(t) jest rozwiazaniem równania (1), to funkcja zlożona V (x(t)) jest nierosnaca funkcja zmiennej
‘
‘ ‘
‘
t.
d
Warunek trzeci w powyższej definicji oznacza, że dt
V (x(t)) = ∇V (x(t)) · f (x(t)) ≤ 0. Prosze zauważyć, że
‘
aby sprawdzić te nierówność nie musimy znać rozwiazania w jawny sposób.
‘
‘
Na wykladzie udowodniono podstawowe twierdzenie wyjaśniajace znaczenie funkcji Lapunowa.
‘
Twierdzenie.
- Niech f bedzie odwzorowaniem określonym na zbiorze otwartym Q, zawierajacym poczatek ukladu wspólrzednych.
‘
‘
‘
‘
- Zakladamy, że f jest klasy C 1 oraz spelnia warunek f (0) = 0.
- Zakladamy również, że istnieje funkcja Lapunowa dla równania (1).
Wówczas rozwiazanie x̄(t) ≡ 0 równania (1) jest stabilne w sensie Lapunowa.
‘
Jeżeli dodatkowo ∇V · f < 0 dla wszystkich x ∈ Q \ {0}, to rozwiazanie x̄(t) ≡ 0 równania (1) jest asympto‘
tycznie stabilne w sensie Lapunowa.
Uwaga.
Jeżeli chcemy badać przy pomocy powyższego twierdzenia stabilność rozwiazania x̄(t) innego niż tożsamościowo
‘
równe zeru, to wówczas w równaniu (1) należy dokonać podstawienia x(t) = z(t) − x̄(t). Wówczas funkcja
z(t) spelnia równanie różniczkowe: z 0 = f (z − x̄) + x̄0 .Zauważmy, że z̄ ≡ 0 jest rozwiazaniem tego nowego
‘
równania i wystarczy badać jego stabilność. Może sie okazać, że bedziemy potrzebowali tutaj ogólniejszej
‘
funkcji Lapunowa dla równań nieautonomicznych. Odpowiednia definicja oraz twierdzenie sa podane w
ksiażce A. Palczewskiego, str. 212.
‘
Stabilność rozwiazań ukladu równań liniowych
‘
Twierdzenie.
Rozważamy uklad liniowy o stalych wspólczynnikach x̄ = Ax̄.
a) Jeżeli wszystkie wartości wlasne macierzy A maja ujemna cześć rzeczywista, to rozwiazane x̃(t) ≡ 0 jest
‘
‘ ‘
‘
‘
asymptotycznie stabilne. Dodatkowo, istnieja dodatnie stale Ki α takie, że każde rozwiazanie x̄ = x̄(t) tego
‘
‘
ukladu spelnia oszacowanie kx̄(t)k ≤ Ke−αt kx(0)k.
b) Jeżeli co najmniej jedna wartość wlasna macierzy A ma dodatnia cześć rzeczywista, to rozwiazanie x̃(t) ≡ 0
‘ ‘
‘
‘
jest niestabilne.
Dowód tego Twierdzenia jest bezpośrednia konsekwencja faktu, że znane jest rozwiazanie ogólne ukladu
‘
‘
‘
równań liniowych x̄ = Ax̄, gdzie macierz A jest macierza kwadratowa o stalych wspólczynnikach.
‘
‘
Linearyzacja ukladu równań różniczkowych
Twierdzenie. Rozważamy uklad równań różniczkowych
x̄ = Ax̄ + g(x̄),
(2)
gdzie macierz A jest macierza kwadratowa o stalych wspólczynnikach, natomiast g = g(x̄) = g(x1 , ..., xn )
‘
‘
jest funkcja klasy C 1 taka, że g(0) = 0 oraz limx→0 g(x)
kxk = 0.
‘
‘
a) Jeżeli wszystkie wartości wlasne macierzy A maja ujemna cześć rzeczywistla, to rozwiazane x̃(t) ≡ 0
‘
‘ ‘
‘
ukladu (2) jest asymptotycznie stabilne. Dodatkowo, istnieja dodatnie stale K i α takie, że każde rozwiazanie
‘
‘
x̄ = x̄(t) ukladu (2) z dostatecznie malym warunkiem poczatkowym kx(0)k spelnia oszacowanie kx̄(t)k ≤
‘
Ke−αt kx(0)k.
b) Jeżeli co najmniej jedna wartość wlasna macierzy A ma dodatnia cześć rzeczywista, to rozwiazanie x̃(t) ≡ 0
‘ ‘
‘
‘
ukladu (2) jest niestabilne.
Punkt a) dowodzi sie przy pomocy równoważnego sformulowania calkowego
‘
Z t
At
x̄(t) = e x̄(0) +
eA(t−s) g(x̄(s)) ds.
0
Kluczowa role odgrywa tutaj oszacowanie rozwiazań ukladu równań liniowych zawarte w twierdzeniu poprzed‘ ‘
‘
nim. Dowód punktu b) zostal pominiety ma wykladzie.
‘
Uwaga.
Okazuje sie, że każdy nieliniowy uklad równań różniczkowych x̄0 = f (x̄), gdzie funkcja f = f (x) jest klasy C 1
‘
i spelnia f (0) = 0, może być zapisany w postaci (2). Wystarczy przyjać A = Df (0) oraz g(x) = f (x) − Ax.
‘
Wyrażenie Df (0) oznacza tutaj macierz Jacobiego odwzorowania f w punkcie x̄ = 0.
0
Linearyzacja nieliniowego ukladu x̄ = f (x̄) w pukcie równowagi x̄ ≡ 0 nazywamy uklad równań liniowych
‘
x̄0 = Ax̄, gdzie macierz A = Df (0).
2