ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
Transkrypt
ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA - LISTA 5 Wyznaczniki, macierz odwrotna i uklady równań 1. Wyjaśnić (na podstawie definicji), które spośród podanych iloczynów i z jakim znakiem wystepuj a, w wyznaczniku odpowiedniego stopnia: , a) a13 a22 a31 a46 a55 a64 , b) a31 a13 a52 a45 a24 , c) a34 a21 a46 a17 a73 a54 a62 . 2. W wyznaczniku x x 1 x 1 x 2 1 2 3 1 2 x 3 2 2x znaleźć wyrazy zawierajace x4 i x3 . , 3. Liczby calkowite 1798 = 31 · 58, 2139 = 31 · 69, 3255 = 31 · 105, 4867 = 31 · 157 dziela, sie, przez 31. Uzasadnić, że wyznacznik 1 7 9 8 2 1 3 9 3 2 5 5 4 8 6 7 również dzieli sie, przez 31, nie obliczajac , go. 4. Obliczyć podane wyznaczniki stosujac , operacje elementarne na wierszach i kolumnach oraz rozwiniecie Laplace’a: , 1 2 −1 0 3 i 0 −1 −2 2 1 2 3 4 4 5 1 −6 2i −3i 5 5i −7 −3 2 2 −5 13 3 0 −2 , −1 2 2i 10 −1 . 1 −2 10 4 , −1 −2 −2 −2 1 −1 1 2 −2 −i −10 1 −2 9 −8 25 2 4 −2 0 3 0 4i 2 −5i 3 5. Za pomoca, zależności rekurencyjnych obliczyć 2 1 0 ... 0 1 2 1 ... 0 0 1 2 ... 0 , .............. 0 0 0 ... 2 nastepuj ace wyznaczniki: , , 3 2 0 . . . 0 1 3 2 . . . 0 0 1 3 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 3 6. Oblicz macierz odwrotna, do podanych macierzy stosujac , (i) metoda, wyznacznikowa,, (ii) metoda, bezwyznacznikowa:, 0 0 2 4 3 2 cos φ − sin φ 1 2 0 , 1 0 2 , sin φ cos φ 2 4 1 −1 1 3 0 1 0 7. Niech A, B, C ∈ Mn (K), A, B - macierze nieosobliwe. Znaleźć macierzy: A O A C A O , , . O B O B C B 8. Zbadać czy uklady równań: 2x + 3y + 11z + 2x − y − z = 4 x + y + 5z + 3x + 4y − 2z = 11 , 2x + y + 3z + 3x − 2y + 4z = 11 x + y + 3z + 3 1 . 2 1 macierze odwrotne do 5t 2t 2t 4t = 2 = 1 = −3 = −3 sa, ukladami Cramera. Jeżeli tak, to rozwiazać je stosujac , , wzory Cramera. 9. Rozwiazać uklad równań nad cialem C , (2 + i)x1 − (3 + i)x2 = i . (3 + i)x1 + (2 − i)x2 = i Czy jest to uklad Cramera? 10. Znaleźć rzedy podanych macierzy wskazujac , niezerowe minory maksymalnych stopni: , 1 0 1 0 1 0 1 1 2 3 1 5 1 0 1 6 1 2 1 −2 , 1 0 1 7 1 0 1 . 4 5 4 1 8 1 0 1 9 1 1 3 4 1 0 1 0 1 0 1 11. Rozwiazać uklady równań: , x − y + 4z = 2x − y − z = 5x − 3y + 2z = 8x − 5y + 5z = 1 0 , 1 2 x x 4x 5x + y − z − t − 2u + 4y − 3z − 3t − 5u − 5y + 2z + 2t + u − 2y + t − 6u 12. Zbadać i rozwiazać, w zależności od parametru , λx1 + x2 + x3 x1 + λx2 + x3 x1 + x2 + λx3 x1 + x2 + x3 2 λ, uklad równań: + x4 + x4 + x4 + λx4 = = = = 1 1 . 1 1 = 0 = −1 . = 3 = 5