Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe
Transkrypt
Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe
Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe – rozwiązania 6 luty 2017 Zadanie 1 Alojzy udał się do sklepu i kupił jeden ananas, 2 banany, cytrynę oraz 3 drożdżówki. Następny w kolejce, Bonifacy zakupił 2 ananasy, 3 banany oraz 4 cytryny. Natomiast zakupy Cezarego, to ananas, banan, 4 cytryny oraz 3 drożdżówki. Stojący za nimi w kolejce do kasy łakomczuch Doroteusz ma w koszyku 2 ananasy, banana, 15 cytryn i aż 30 drożdżówek. Doroteusz nie zapamiętał cen poszczególnych produktów, ale widzi, że Alozjy, Bonifacy i Cezary za swoje zakupy zapłacili odpowiednio 18, 29 i 18 PLN. Nudząc się w kolejce, próbuje obliczyć, ile dokładnie pieniędzy zapłaci za swoje zakupy. Czy jest w stanie to wyliczyć? Jeśli tak, to jaką kwotę musi przygotować? Zadanie rozwiąż sprawdzając, czy odpowiedni układ równań nie jest sprzeczny – sprawdź, czy odpowiedni wektor jest kombinacją liniową pozostałych. Zatem rozmawiamy o następujących wektorach odpowiadającym zakupom poszczególnych osób: α = (1, 2, 1, 3), β = (2, 3, 4, 0), γ = (1, 1, 4, 3) oraz δ = (2, 1, 15, 30). Doroteusz będzie w stanie policzyć wartość swoich zakupów, jeśli δ jest kombinacją liniową wektorów α, β, γ. Zatem układ równań to: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 2 − 2w1 , w3 − w1 , w4 − 3w1 0 −1 −1 −3 w2 · (−1) 1 4 4 15 w −−−−−−→ 0 2 3 13 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 3 0 3 30 0 −6 0 24 1 0 0 0 2 1 2 −6 1 2 1 1 2 0 1 1 1 3 w3 − 2w2 , w4 + 6w2 3 13 −− −−−−−−−−−−−−→ 0 0 1 0 24 0 0 6 1 2 0 −5 1 0 1 0 −4 0 1 − 2w2 0 0 1 7 w −−−−−−→ 0 0 0 6 42 0 2 3 w1 − w3 , w2 − w3 , w4 − 6w1 7 −− −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 42 0 0 3 1 0 −4 . 0 1 7 0 6 42 A zatem rzeczywiście δ jest taką kombinacją liniową α, β, γ. Oraz: δ = 3α − 4β + 7γ. Zatem Doroteusz zapłaci 3 · 18 − 4 · 29 + 7 · 18 = 64 PLN. Zadanie 2. Zbadać dla jakich wartości s, t ∈ R następujący układ równań: x + y + z = 1 3 + (2 − t)y + 7z = s + 3 −2x − 3y = −3 jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich sprzeczny. W przypadku, gdy s = −1, t = 0 podać jego rozwiązanie. Podać przykład takiej bazy przestrzeni R3 , że wektor ten ma w niej współrzędne 1, 1, 0. 1 Rozwiązuję zadany układ równań (zapisuje zmienne w kolejności x, z, y): 1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 −t + 2 s + 3 w2 − 3w1 , w3 + 2w1 0 4 −t − 1 s w2 ↔ w3 −−−−−−→ −−−−−−−−−−−−−−→ 0 2 −3 −1 −2 0 −3 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 −1 −1 w3 − 2w2 0 2 −1 −1 . −−−−−−→ 0 4 −t − 1 s 0 0 −t + 1 s + 2 I mamy postać schodkową, z której widać, że: • układ jest sprzeczny, jeśli t = 1, s 6= −2, • układ jest oznaczony, jeśli t 6= 1, • układ jest nieoznaczony, jeśli t = 1 oraz s = −2. Pracujemy dalej dla s = −1, t = 0: 1 1 1 1 1 1 0 0 2 −1 −1 w1 − w3 , w2 + w3 0 2 0 −−−−−−−−−−−−→ 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 w2 · 1/2 0 1 0 1 −−−−−→ 0 0 1 0 1 0 w1 − w2 0 −−−−−→ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 . 1 A zatem szukane rozwiązanie to (0, 1, 0). Przykładowa baza R3 , w której ten wektor ma współrzędne 1, 1, 0, to na przykład (1, 2, 0), (−1, −1, 0), (0, 0, 1) bo oczywiście te wektory są liniowoniezależne oraz (0, 1, 0) = (1, 2, 0) + (−1, −1, 0). Zadanie 3. Dane są w przestrzeni R4 podprzestrzeń Vt rozwiązań układu równań: ( x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0 2x1 − 2x2 + 2x3 + tx4 = 0 oraz Ws = lin((1, 2, 1, 0), (1, 2s − 2, −1, s2 − 1)). • znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni Vt w zależności od t ∈ R. • uzupełnij znalezioną bazę dla t = 1 do bazy całej przestrzeni R4 . • oblicz w znalezionej bazie R4 współrzędne wektora (2, 0, 1, 7) • dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws ⊆ Vt (każdy wektor przestrzeni Ws jest w przestrzeni Vt )? • a dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws = Vt ? A zatem zaczynamy od rozwiązania układu równań na Vt : 1 1 −1 1 2 0 w2 − 2w1 2 −2 2 t 0 −−−−−−→ 0 −1 0 1 2 0 t−4 0 0 A zatem w drugim wierszu mamy schodek tylko gdy t 6= 4. Czyli mam dwa przypadki: • t = 4, to dim Vt = 3 i baza to (1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−2, 0, 0, 1) • t 6= 4, to dim Vt = 2 i baza to (−1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0). Widać, że dodając do tej bazy wektory (1, 0, 0, 0) oraz (0, 0, 0, 1) dostajemy bazę R4 . Zapisując wektory (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) bardzo łatwo sprowadzić ją do postaci schodkowej i nie będzie tam wiersza zerowego. Bardzo łatwo też wyliczyć odpowiednie współrzędne, więc: (2, 0, 1, 7) = 3 · (1, 0, 0, 0) + 0 · (1, 1, 0, 0) + 1 · (−1, 0, 1, 0) + 7 · (0, 0, 0, 1) – czyli szukane współrzędne to 3, 0, 1, 7. Aby Vt ⊆ Ws , wektory Ws muszą spełniać równania na Vt . Z pierwszym wektorem nie ma problemu. Jeśli t = 4, to mamy tylko jedno równanie, z którego otrzymujemy, że 2s(s − 1) = 0. Zatem w tym przypadku s = 0 lub s = 1. Jeśli t 6= 4, to dodatkowo s2 − 1 = 0, czyli jedyna opcja to s ∈ {−1, 1} ∩ {0, 1}, czyli s = 1. Aby Vt = Ws , dodatkowo muszą się jeszcze zgadzać wymiary, co ma miejsce, wtedy i tylko wtedy gdy t 6= 4 ∧ s = 1, bo wtedy dim Vt = dim Ws = 2. 2 Zadanie 4. Znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni przestrzeni R3 rozpiętej na wektorach (1, 2, −1, 2, −1), (2, 5, −2, 5, 3) oraz (3, 7, −3, 7, 2). Następnie znaleźć układ równań jednorodnych opisujący tę podprzestrzeń. Znajdujemy bazę: 1 2 −1 2 −1 1 2 −1 2 −1 1 2 −1 2 −1 2 5 −2 5 3 w2 − 2w1 , w3 − 3w1 0 1 0 1 5 w3 − w2 0 1 0 1 5 −−−−−→ −−−−−−−−−−−−−−→ 0 1 0 1 5 3 7 −3 7 2 0 0 0 0 0 A zatem baza to (1, 2, −1, 2, −1), (0, 1, 0, 1, 5), a wymiar badanej podprzestrzeni to 2. Kontynuujemy tym razem rozwiązywanie układu równań na współczynniki szukanego układu równań: 1 2 −1 2 −1 1 0 −1 0 −11 w1 − 2w2 . 0 1 0 1 5 5 −−−−−−→ 0 1 0 1 A zatem baza przestrzeni współczynników to (1, 0, 1, 0, 0), (0, −1, 0, 1, 0), (11, −5, 0, 0, 1) a zatem odpowiadający jej szukany układ równań to: x1 + x3 = 0 −x2 + x4 = 0 11x1 − 5x2 + x5 = 0 3