Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe
Transkrypt
Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe
Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe 6 luty 2017 Ogólne informacje Za kolokwium można dostać maksymalnie 4 punkty, ale za każde zadanie można dostać maksymalnie 1, 2 punktu, co oznacza, że jeśli ktoś zdobędzie w sumie powyżej 4 punktów jego ostateczny wynik z kolokwium wyniesie równo 4 punkty. Za każde zadanie można dostać następującą liczbę punktów: • 0 – za mniej niż pół zadania, • 0,4 – za co najmniej pół zadania • 1 – za całe zadanie z drobnymi usterkami (np. błędami rachunkowymi) • 1,2 – za całe zadanie Nie wolno korzystać z urządzeń elektronicznych! Napotkane układy równań rozwiąż sprowadzając macierze do postacie schodkowej zredukowanej. Zadanie 1 Zadanie 3. Alojzy udał się do sklepu i kupił jeden ananas, 2 banany, cytrynę oraz 3 drożdżówki. Następny w kolejce, Bonifacy zakupił 2 ananasy, 3 banany oraz 4 cytryny. Natomiast zakupy Cezarego, to ananas, banan, 4 cytryny oraz 3 drożdżówki. Stojący za nimi w kolejce do kasy łakomczuch Doroteusz ma w koszyku 2 ananasy, banana, 15 cytryn i aż 30 drożdżówek. Doroteusz nie zapamiętał cen poszczególnych produktów, ale widzi, że Alozjy, Bonifacy i Cezary za swoje zakupy zapłacili odpowiednio 18, 29 i 18 PLN. Nudząc się w kolejce, próbuje obliczyć, ile dokładnie pieniędzy zapłaci za swoje zakupy. Czy jest w stanie to wyliczyć? Jeśli tak, to jaką kwotę musi przygotować? Zadanie rozwiąż sprawdzając, czy odpowiedni układ równań nie jest sprzeczny – sprawdź, czy odpowiedni wektor jest kombinacją liniową pozostałych. Dane są w przestrzeni R4 podprzestrzeń Vt rozwiązań układu równań: x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0 2x1 − 2x2 + 2x3 + tx4 = 0 oraz Ws = lin((1, 2, 1, 0), (1, 2s − 2, −1, s2 − 1)). • znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni Vt w zależności od t ∈ R. • uzupełnij znalezioną bazę dla t = 1 do bazy całej przestrzeni R4 . • oblicz w znalezionej bazie R4 współrzędne wektora (2, 0, 1, 7) Zadanie 2. • dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws ⊆ Vt (każdy wektor przestrzeni Ws jest w przestrzeni Vt )? Zbadać dla jakich wartości s, t ∈ R następujący układ równań: x + y + z = 1 3 + (2 − t)y + 7z = s + 3 −2x − 3y = −3 • a dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws = Vt ? Zadanie 4. Znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni przestrzeni R3 rozpiętej na wektorach (1, 2, −1, 2, −1), (2, 5, −2, 5, 3) oraz (3, 7, −3, 7, 2). Następnie znaleźć układ równań jednorodnych opisujący tę podprzestrzeń. jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich sprzeczny. W przypadku, gdy s = −1, t = 0 podać jego rozwiązanie. Podać przykład takiej bazy przestrzeni R3 , że wektor ten ma w niej współrzędne 1, 1, 0. 1