Dla danego pola przemieszczeń wyznaczyć w punkcie A: tensor

Dla danego pola przemieszczeń wyznaczyć w punkcie A: tensor odkształceń, odkształcenie liniowe włókna
równoległego do wektora a
u1 = 1 + 0,01 x1 x2 + 0,005 x3
u2 = 0,5 - 0,005 x1 + 0,01 x2 x3
u3 = 1 - 0,01 x1 x2 x3
Uwaga dotycząca jednostek: Lewe strony równań to przemieszczenia a one są wyrażane w metrach [m]. W
tych samych jednostkach powinny być prawe strony równań. Współrzędne położenia punktu xi są też w [m].
Aby uporządkować jednostki, niektóre człony powyższych równań należałoby pomnożyć przez [m] w
odpowiedniej potędze. Po uporządkowaniu jednostek równania określające pole przemieszczeń wyglądają
następująco:
u1 = 1m + 0,01 x1 x2 /m + 0,005 x3
u2 = 0,5m - 0,005 x1 + 0,01 x2 x3 /m
u3 = 1m - 0,01 x1 x2 x3 /m2
Pamiętając o tym że u oraz x wyrażone są w metrach można stosować pierwszą postać równań (bez
jednostek).
0,5
 3


Współrzędne p. A:  − 1
wektor a =  4
 0 
0
Rozwiązanie:
Pole odkształceń (dla każdego punktu) określamy wykorzystując równania geometryczne Cauchy’ego
ε11 = ∂u1/∂x1 = 0,01 x2
ε22 = ∂u2/∂x2 = 0,01 x3
ε33 = ∂u3/∂x3 = - 0,01 x1 x2
ε12 =0,5 ( ∂u1/∂x2 + ∂u2/∂x1 ) = 0,5 ( 0,01 x1 - 0,005 )
ε13 =0,5 ( ∂u1/∂x3 + ∂u3/∂x1 ) = 0,5 ( 0,005 - 0,01 x2 x3 )
ε23 =0,5 ( ∂u2/∂x3 + ∂u3/∂x2 ) = 0,5 ( 0,01 x2 - 0,01 x1 x3 )
Wstawiając do powyższych równań współrzędne punktu A, określimy w tym punkcie stan odkształceń
reprezentowany przez tensor : Tε .
ε11 = - 0,01
ε22 = 0
ε33 = 0,005
ε12 = 0,5 ( 0,01*0,5 - 0,005 ) =0
ε13 = 0,5 ( 0,005 ) = 0,0025
ε23 = 0,5 ( 0,01*(-1) ) = -0,005
0
0,0025 
 − 0,01
Tε =  0
0
− 0,005
0,0025 − 0,005 0,005 
Wektor a określa kierunek który można związać z nowym układem współrzędnych x’
Wersor równoległy do nowej osi x1’ to unormowany wektor a
 3 / 5
 α11 


v1=  4 / 5 = α12 
 0 
α13 
Odkształcenie liniowe włókna równoległego do wektora a, jest odkształceniem liniowym włókna
równoległego do nowej osi x1’ , czyli jest to ε11‘
ε11‘= α1i α1j εij =
α11 α11 ε11 + α11 α12 ε12 + α11 α13 ε13 +
α12 α11 ε21 + α12 α12 ε22 + α12 α13 ε23 +
α13 α11 ε31 + α13 α12 ε32 + α13 α13 ε33 +
Powyżej zastosowano wzór transformacyjny dla tensora 2-go rzędu
Po wykonaniu rachunków otrzymamy:
ε11‘= α112 ε11 = (9/25)*(-0,01) = -3,6*10-3