Całki potrójne

Budownictwo, semestr II
rok ak. 2008/2009
Matematyka
Lista VIII.
Całki potrójne
8.1. Obliczyć podane całki potrójne:
Z1
(a)
dx
−1
dy
0
ZZZ
(c)
Z1
Z2
2
2
2
(x + y + z )dz;
(b)
0
Z1
0
π
dz
Z4
dy
0
Z2
x cos ydx;
0
(2x − y + 3z)dxdydz, gdzie V = [−1, 1] × [0, 1] × [2, 4] ;
V
ZZZ
(d)
V
ZZZ
(e)
x
dxdydz, gdzie V = [0, 1] × [1, 2] × [2, 3] ;
yz
yx2 sin zdxdydz, gdzie V = [0, 1] × [−1, 1] × 0,
V
ZZZ
(f )
π
;
2
e2z+y−x dxdydz, gdzie V = [0, ln 2] × [0, ln 3] × [0, 1] .
V
8.2. Całki potrójne
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar V ograniczony
V
jest powierzchniami:
(a) 2x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0; (c) x2 + y 2 = R2 , z = 0, z = 8 − x2 − y 2 ;
(b) y =
√
x2 + z 2 , y = 1;
(d) x2 + y 2 + z 2 = 25, z = 4 (z ­ 4).
8.3. Obliczyć podane całki:
(a)
ZZZ
zdxdydz, gdy V jest obszarem ograniczonym płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x +
V
y + z = 1;
(b)
ZZZ
q
z x2 + y 2 dxdydz gdy V – obszar ograniczonym płaszczyznami współrzędnych oraz
V
powierzchniami x2 + y 2 − 2z = 0 i x2 + y 2 + z 2 − 3 = 0 x ­ 0, y ­ 0, z ­ 0;
(c)
ZZZ
4z 3 dxdydz gdy V – obszar ograniczony powierzchniami x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 i x2 + y 2 +
V
2
z − 2z = 0;
(d)
ZZZ
xydxdydz, gdy V – obszar ograniczonym powierzchniami y = 0, y = x, x =
V
15
√
9 − z2;
Budownictwo, semestr II
(e)
(f )
ZZZ
V
ZZZ
Matematyka
rok ak. 2008/2009
ydxdydz, gdy V – obszar ograniczony powierzchniami z = y, z = 0, y = 1 − x2 ;
(x2 + y 2 )dxdydz, gdy V – obszar ograniczony powierzchniami z = y 2 − x2 , x = 0, y = 1,
V
y = x i z = 0;
(g)
ZZZ
V
z
cos dxdydz, gdy V – obszar ograniczony powierzchniami y = π6 , y = x, x = π2 , z = xy,
y
z = 0;
(h)
(i)
(j)
(k)
ZZZ
V
ZZZ
V
ZZZ
V
ZZZ
x2 dxdydz, gdy V – obszar ograniczony powierzchniami z = 9 − x2 − y 2 , z = 0;
√
(x2 + y 2 )dxdydz, gdy V – obszar ograniczony powierzchniami z = 2 x2 + y 2 , z = 8;
z 2 dxdydz, gdy V – obszar ograniczony powierzchniami z =
xyzdxdydz, gdy V – obszar ograniczony powierzchnią x2 + y 2 + z 2 = 4.
V
8.4. Obliczyć objętości obszarów ograniczonych powierzchniami:
(a) 3x + 6y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0;
(b) y = x2 , y + z = 4, x = 0, z = 0;
(c) y 2 + z 2 = 1, y = x, x = 0;
(d) x2 + y 2 + z 2 = 16, x2 + y 2 = 4x;
(e) x2 + y 2 + z 2 = 9, z =
(f )
√
√
8 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 ;
√
x2 + y 2 ;
z = 4x2 + y 2 , z = 4 − 3y 2 .
16