Twierdzenie o zamianie zmiennych w R Współrzędne walcowe i
Transkrypt
Twierdzenie o zamianie zmiennych w R Współrzędne walcowe i
Twierdzenie o zamianie zmiennych w Współrzędne walcowe i sferyczne. R 3 . 1. Podane obszary zapisać za pomocą współrzędnych walcowych: (i) walec o promieniu r > 0, którego osią jest Oz, ograniczony płaszczyznami z = a, z = b, gdzie a < b; √ (ii) stożek ograniczony powierzchnią stożkową z = k x2 + y 2 oraz płaszczyzną z = a, gdzie k > 0, a > 0; (iii) bryła ograniczona powierzchnią paraboloidy obrotowej z = a(x2 + y 2 ) i płaszczyzną z = b, gdzie a > 0, b > 0; (iv) kula o środku w początku układu i promieniu r > 0. 2. Podane obszary zapisać za pomocą współrzędnych sferycznych: (i) kula o środku w poczatku układu i promieniu r > 0; (ii) czasza kulista ograniczona powierzchnią sfery x2 + y 2 + z 2 = r 2 i płaszczyzną z = a, gdzie 0 < a < r; √ (iii) stożek ograniczony powierzchniami z = k x2 + y 2 , z = a, gdzie k > 0, a > 0; (iv) kula o środku (r, 0, 0) i promieniu r > 0; (v) kula o środku (0, r, 0) i promieniu r > 0; (vi) kula o środku (0, 0, r) i promieniu r > 0; (vii) górna półkula wydrążona o środku w poczatku układu, promieniu wewnętrznym r1 i prmomieniu zewnętrznym r2 , gdzie 0 < r1 < r2 ; (viii) wycinek kuli o środku w poczatku układu i prmoeniu r ograniczony półpłaszczyznami przechodzącymi przez oś Oz i tworzącymi kąty α i β z dodatnią częścią osi Ox, gdzie 0 α < β < 2π oraz r > 0; (ix) walec ograniczony powierzchniami x2 + y 2 = r 2 , z = 0, z = h, gdzie r, h > 0. 3. Obliczyć całki U f (x, y, z) dxdydz (wykorzystując współrzedne walcowe), gdzie obszar U jest ograniczony podanymi powoerzchniami: (i) f (x, y, z) = x2 , U : z = 9 − x2 , z = 0; √ (ii) f (x, y, z) = x2 + y 2 , U : z = 2 x2 + y 2, z = 8; √ √ (iii) f (x, y, z) = z 2 , U : z = 8 − x2 − y 2, z = x2 + y 2; (iv) f (x, y, z) = xyz, U : x2 + y 2 + z 2 = 4; √ (v) f (x, y, z) = x2 + y 2 , U : z = x2 + y 2 , z = 1, z = 4; (vi) f (x, y, z) = 1, U : z = x2 + y 2 , z = 4x. 4. Obliczyć całki U f (x, y, z) dxdydz (wykorzystując współrzedne sferyczne), gdzie obszar U jest ograniczony podanymi powoerzchniami: √ √ (i) f (x, y, z) = z 2 x2 + y 2 + z 2 , U : z = 4 − x2 − y 2 , z = 0; Arkusz 1 (ii) f (x, y, z) = 1 , x2 +y 2 +z 2 2 2 U: z= √ √ 1 − x2 − y 2 , z = 12 ; √ 9 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 ; (iii) f (x, y, z) = x + y , U : z = (iv) f (x, y, z) = √ 2 1 2 2 , U : x2 + y 2 + z 2 = 4, x2 + y 2 + z 2 = 16; √ x +y +z (v) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , U : x2 + y 2 + z 2 − z = 0; (vi) f (x, y, z) = xyz, U : x2 + y 2 + z 2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (I oktant); √ (vii) f (x, y, z) = x2 + y 2, U : x2 + y 2 = 4, z = x2 + y 2 , z = 0. sferyczne lub walcowe, obliczyć 5. Stosujac twierdzenie o zamianie zmiennych na współrzedne ace całki: nastepuj √ (i) V x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie V ⊂ R3 ograniczony jest powierzchnia x2 + y 2 + z 2 = z, √ (ii) V x2 + y 2 dxdydz, gdzie V ⊂ R3 ograniczony jest powierzchniami: x2 + y 2 = z 2 , z = 1, x2 a2 y2 b2 z2 c2 x2 a2 2 2 + yb2 + zc2 1}, a, b, c = 0, √ (iv) V z dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 1, x2 + y 2 < z}. (iii) V 1− − − dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : Arkusz 2