POTĘGA PUNKTU WZGLĘDEM OKRĘGU

13
TEMAT NUMERU
Wojciech Tomalczyk
POTĘGA PUNKTU
WZGLĘDEM OKRĘGU
Od najdawniejszych lat okrąg był uważany za figurę idealną. Jego doskonały kształt
zachwycał nie tylko matematyków, ale i filozofów, fizyków czy astronomów. Myśl, że
orbity planet mogłyby nie być okręgami, nie
miała racji bytu aż do odkrycia Keplera.
Ciekawe własności okręgu są treścią wielu
interesujących zadań geometrycznych. Tutaj
omówimy jedną z nich, będącą jednocześnie
nowym zagadnieniem w podstawie programowej dla zakresu rozszerzonego.
2. Odległości punktów styczności od
punktu P są równe.
3. Okrąg, którego średnicą jest odcinek
łączący punkt P ze środkiem danego
okręgu, przecina dany okrąg w punktach
styczności.
Podstawowe pojęcia i twierdzenia
Prostą, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem,
nazywamy styczną do okręgu.
Twierdzenie 1
Podstawowe własności stycznej do okręgu:
1. Z każdego punktu P leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dokładnie dwie styczne do niego.
MAGENTA BLACK
Twierdzenie 2 (Euklides)
1. Jeśli prosta przechodząca przez punkt
P leżący na zewnątrz okręgu o środku
w punkcie O i promieniu r przecina go
w punktach A i B, to
|PA| · |PB| = |PO|2 − r 2
(ml30 – zam. 711) str. 13
14
TEMAT NUMERU
2. Jeśli prosta przechodząca przez punkt
P leżący wewnątrz okręgu o środku
w punkcie O i promieniu r przecina go
w punktach A i B, to
|PA| · |PB| = r 2 − |PO|2
Dowód
1. Oznaczmy przez X i Y punkty przecięcia
prostej PO z okręgiem o środku w punkcie
O i promieniu r .
2. Dowód w tym wypadku jest analogiczny do poprzedniego, należy tylko zauważyć,
że teraz |P X| · |P Y | = (r + |P O|)(r − |P O|) =
= r 2 − |P O|2
Wnioski
1. Jeśli prosta przechodząca przez punkt P
jest styczna w punkcie X do okręgu o środku w punkcie O i promieniu r , to
|PX|2 = |PO|2 − r 2
Zauważmy, że trójkąty BXP i Y AP są podobne. Rzeczywiście – kąty przy wierzchołkach
B i Y są równe, ponieważ są wpisane w okrąg
i oparte na tym samym łuku, a kąt przy
wierzchołku P jest wspólnym kątem tych
trójkątów. Stąd mamy równości
|P X| : |P B| = |P A| : |P Y |
|P A| · |P B| = |P X| · |P Y |
2. Jeżeli punkt P leży wewnątrz okręgu i poprowadzimy dowolne dwie cięciwy przechodzące przez ten punkt, to iloczyn długości
odcinków, na które są podzielone cięciwy,
jest wielkością stałą:
|PA| · |PB| = |PX| · |PY |
Z drugiej strony wiemy, że
|P X| · |P Y | = (|P O| + r )(|P O| − r ) =
= |P O|2 − r 2 ,
więc
|P A| · |P B| = |P O|2 − r 2
MAGENTA BLACK
(ml30 – zam. 711) str. 14
15
TEMAT NUMERU
3. Iloczyn odległości punktu P leżącego
na zewnątrz okręgu od punktów przecięcia
z okręgiem przechodzących przezeń siecznych jest wielkością stałą:
3. W okręgu o promieniu 8 poprowadzono
cięciwę o długości 4. Punkt P dzieli cięciwę
w stosunku 1 : 3. Oblicz odległość punktu P
od środka okręgu.
|PA| · |PB| = |PX| · |PY |
4. Dany jest prostokąt ABCD, w którym bok
AB ma długość 12 cm, a przekątna AC ma
18 cm. Punkt E dzieli bok AB w stosunku 2 : 1. Znajdź długość odcinka łączącego
punkt E z punktem przecięcia się przekątnych prostokąta.
Dowód
Ad. 1 Ponieważ promień poprowadzony do
punktu styczności jest prostopadły do stycznej, to z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
|P O|2 = r 2 + |P X|2 .
Wnioski 2 i 3 wynikają bezpośrednio z dowodu twierdzenia.
Potęgą (stopniem) punktu P względem okręgu o środku w punkcie
O
i promieniu
r nazywamy liczbę
|P O|2 − r 2 .
Zadania
1. Wykaż, że jeśli dwa okręgi przecinają się
w punktach A i B, a punkt X należy do
prostej AB i nie należy do odcinka AB, to
długości odcinków stycznych poprowadzonych z punktu X do tych okręgów są równe.
2. Dany jest okrąg o promieniu 5 i punkt P
odległy o 3 od środka okręgu. Przez punkt
P poprowadzono cięciwę okręgu. Oblicz, ile
wynosi iloczyn długości odcinków, na które
dzieli cięciwę punkt P .
MAGENTA BLACK
5. Dane są dwa różne okręgi współśrodkowe
o promieniach r i R (r < R). Wykaż, że stopień dowolnego punktu jednego z tych okręgów względem drugiego jest równy R 2 − r 2 .
6. Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie w punkcie A. Prosta p jest styczna do
obu tych okręgów i przechodzi przez punkt
A. Wykaż, że dowolny punkt tej prostej ma
ten sam stopień względem każdego z tych
okręgów. Czy istnieje punkt poza tą prostą,
mający tę własność?
7. Znajdź stopnie wierzchołków trójkąta
równobocznego o boku a względem okręgu
wpisanego w ten trójkąt.
8. Na płaszczyźnie dana jest prosta p i punkt
P należący do tej prostej. Mając dany odcinek AB skonstruuj okrąg o środku leżącym
na prostej p i promieniu AB tak, aby stopień
punktu P względem tego okręgu był równy
4 |AB|2 .
Literatura
W. W. Prasołow, Zadania z geometrii, cz. 1
i 2, 1986.
H. Coxeter, S. Greitzer, Nowe spotkania
z geometrią, 1988.
(ml30 – zam. 711) str. 15