Stateczność - wersja komputerowa 24

Rok akademicki 2010/2011
Wykonał:
Piotr Firlej KB1
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
Ćwiczenie nr 2
STATECZNOŚĆ RAM
– WERSJA KOMPUTEROWA
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Dla układu przedstawionego na rysunku naleŜy:
- dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych w prętach od zadanego
obciąŜenia jednoparametrowego
- zbudować globalne macierze: sztywności i geometryczną przez agregacje macierzy
elementowych
- obliczyć wartości obciąŜenia krytycznego i narysować postać utraty stateczności
- obliczyć przemieszczenia i siły przekrojowe uwzględniając siły osiowe dla obciąŜenia
odpowiadającego połowie obciąŜenia krytycznego (wykonać jedną iteracje)
Schemat konstrukcji
Dane:
E = 205 GPa
Nr pręta
Przekrój
A
I
EA
EI
1
I240
46,1 cm2
4250,0 cm4
945050 kN
8712,5 kNm2
2
I220
39,6 cm2
3060,0 cm4
811800 kN
6273,0 kNm2
2
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Określenie SGN:
MACIERZE SZTYWNOŚCI POSZCZEGÓLNYCH PRĘTÓW:
~
K = TT K T
A) Macierz sztywności lokalna dla pręta obustronnie utwierdzonego
B) Macierz sztywności lokalna dla pręta z przegubem po lewej stronie:
3
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
C) Macierz sztywności lokalna dla pręta z przegubem po prawej stronie:
Macierz transformacji pręta:
Aby składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, zapisane
w lokalnym układzie współrzędnych, odnosiły się do przyjętego dla całej
konstrukcji, globalnego układu współrzędnych, naleŜy je odpowiednio
przetransformować. W tym celu wykorzystuje się macierz transformacji [T]:
Numery przemieszczeń prętów w układach lokalnych.
Pręt nr 1 – z przegubem z lewej strony:
Pręt w układzie lokalnym:
Kąt pomiędzy układami: α=-90°
Długość pręta wynosi 5m
4
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym
Macierz transformacji pręta
Macierz sztywności pręta w układzie globalnym
Pręt nr 2 – obustronnie utwierdzony:
Pręt w układzie lokalnym:
Kąt pomiędzy układami: α=0°
Długość pręta wynosi 5m
5
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym
Macierz transformacji pręta
Macierz sztywności pręta w układzie globalnym
Pręt nr 3 – obustronnie utwierdzony:
Pręt w układzie lokalnym:
Kąt pomiędzy układami: α=0°
Długość pręta wynosi 4m
6
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym
Macierz transformacji pręta
Macierz sztywności pręta w układzie globalnym
TABELA POWIĄZAŃ
Przemieszczenia w lokalnym układzie prętów
Nr elementu
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
4
5
6
7
8
9
3
7
8
9
10
11
12
7
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
MACIERZ SZTYWNOŚCI DLA 1 PRĘTA:
MACIERZ SZTYWNOŚCI DLA 2 PRĘTA
MACIERZ SZTYWNOŚCI DLA 3 PRĘTA
8
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
MACIERZ SZTYWNOŚCI DLA CAŁEGO UKŁADU:
(macierz uwzględnia już sztywność sprężyny =( 1/6)*A1*E=157508,3 [kN/m] , którą dodano do
komórki o adresie 8x8 )
Macierz sztywności układu:
Po uwzględnieniu warunków brzegowych – bc=[1 2 10 11 12] czyli warunków
podparcia, które eliminują możliwość przemieszczenia, zmienia się macierz
sztywności całego układu (wykreślam zatem rzędy i kolumny zawarte w wektorze
bc, które na rys. oznaczone są kropką)
Fakt istnienia przegubu na lewym końcu 1. elementu powoduje, że należy zredukować
w macierzy sztywności 3. wiersz i 3. kolumnę (oznaczone kwadratem na rysunku).
W konsekwencji otrzymujemy macierz K (12x12), która ma niezerowe elementy tam,
gdzie nie ma warunków brzegowych oraz nie dokonano redukcji:
9
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Obliczenie wektora P:
P = PW – R 0
PW = obciążenie zewnętrzne
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 10 10
0 60 60
60
!
"#$
0 0 0 0 W
P %&&&&&&&&&&&&&' 0 0 0 0 0 4 4 4 2,67
2,67
0
2,67
0 0 0 0 0 4 4 0 0 2,67 2,67
0 Po rozwiązaniu układu ( · * otrzymujemy wektor przemieszczeń węzłowych:
10
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Wektory przemieszczeń globalne dla poszczególnych prętów:
Pręt nr 1
Pręt nr 2
Pręt nr 3
q (1)
q ( 2)
q ( 3)
0.
- 0.0001118
- 0.0000497
0.
0.0003156
0.0000241
0.
- 0.0001072
0.0002161
- 0.0001118
- 0.0000497
0.
0.0003156
0.0000241
0.
- 0.0001072
0.0002161
0.
Wektory przemieszczeń lokalne dla poszczególnych prętów q~ ( e ) = T ⋅ q ( e ) :
Pręt nr 1
Pręt nr 2
Pręt nr 3
q~ (1)
q~ ( 2)
q~ ( 3)
0.
- 0.0001118
- 0.0000497
0.
0.0003156
0.0000241
0.
- 0.0001072
0.0002161
- 0.0003156
- 0.0000497
0.
- 0.0001118
0.0000241
0.
- 0.0001072
0.0002161
0.
~
~
~
Wektory reakcji węzłowych R ( e ) = K ( e ) ⋅ q~ ( e) + R0( e) :
Pręt nr 1
Pręt nr 2
Pręt nr 3
R1
R2
R3
59.660473
- 10.088654
- 10.088654
- 0.0886537
0.3395274
- 3.4632889
0.
0.4432687
- 1.2543686
- 59.660473
10.088654
10.088654
0.0886537
- 0.3395274
- 4.5367111
- 0.4432687
1.2543686
3.4012131
11
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Siły normalne w poszczególnych elementach układu ramowego (wyznaczone w
programie Sci-lab:):
N=[R1(4); R2(4); R3(4)]
N =
- 59.660473
10.088654
[kN]
10.088654
Siły normalne w poszczególnych elementach układu ramowego (wyznaczone w
programie Rm-Win):
N1= - 59,660kN;
N2= N3=10,089kN
MACIERZE SZTYWNOŚCI POSZCZEGÓLNYCH PRĘTÓW:
Dla elementu 1 wykorzystano macierz geometryczną dla elementu z przegubem na
lewym końcu:
12
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Dla elementów 2 i 3 korzystam z macierzy geometrycznej dla elementu obustronnie
utwierdzonego.
Po podstawieniu danych i wyliczeniu otrzymuję:
Macierz geometrycznej sztywności elementu pierwszego w układzie lokalnym:
./
+,(
0. 0.
0.
0. - 14.318513
0. 0.
0.
0. 0.
0.
0. 14.318513
0. - 11.932095
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0. 14.318513 - 11.932095
0.
0.
0.
0.
0. - 14.318513 11.932095
0. 11.932095 - 59.660473
Macierz geometrycznej sztywności elementu pierwszego w układzie globalnym:
./
./
+,(,- 0- 1 · (
· 0- - 14.318513
0.
0.
0.
0.
14.318513
0.
0.
- 11.932095
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0. 14.318513
0.
0. 0.
0.
0. 0.
0. - 14.318513
0.
0. 0.
0. 11.932095
0. - 11.932095
0.
11.932095
0. - 59.660473
Macierz geometrycznej sztywności elementu drugiego w układzie lokalnym:
./
+,2
(
0.
0.
0.
0. 2.4212769 1.0088654
0. 1.0088654 6.7257692
0.
0.
0.
0. - 2.4212769 - 1.0088654
0. 1.0088654 - 1.6814423
0.
0.
0.
0. - 2.4212769 1.0088654
0. - 1.0088654 - 1.6814423
0.
0.
0.
0. 2.4212769 - 1.0088654
0. - 1.0088654 6.7257692
Macierz geometrycznej sztywności elementu drugiego w układzie globalnym:
./
./
+,2
(,2 02 1 · (
· 02 0.
0.
0. 2.4212769
0. 1.0088654
0.
0.
0. - 2.4212769
0. 1.0088654
0.
1.0088654
6.7257692
0.
- 1.0088654
- 1.6814423
0.
0.
0.
0. - 2.4212769 1.0088654
0. - 1.0088654 - 1.6814423
0.
0.
0.
0. 2.4212769 - 1.0088654
0. - 1.0088654 6.7257692
13
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Macierz geometrycznej sztywności elementu trzeciego w układzie lokalnym:
./
+,3
(
0. 0.
0. 3.0265961
0. 1.0088654
0. 0.
0. - 3.0265961
0. 1.0088654
0.
1.0088654
5.3806153
0.
- 1.0088654
- 1.3451538
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 3.0265961 1.0088654
- 1.0088654 - 1.3451538
0.
0.
3.0265961 - 1.0088654
- 1.0088654 5.3806153
Macierz geometrycznej sztywności elementu trzeciego w układzie globalnym:
./
./
+,3
(,3 03 1 · (
· 03 0. 0.
0. 3.0265961
0. 1.0088654
0. 0.
0. - 3.0265961
0. 1.0088654
0.
1.0088654
5.3806153
0.
- 1.0088654
- 1.3451538
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 3.0265961
- 1.0088654
0.
3.0265961
- 1.0088654
0.
1.0088654
- 1.3451538
0.
- 1.0088654
5.3806153
Teraz moŜna przedstawić globalne macierze sztywności elementów w globalnej macierzy
sztywności układu:
./
(,- ./
(,2 14
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
./
(,3 (wartości z pól nakładających się zostały dodane)
Po agregacji (czyli sumie trzech powyŜszych macierzy) macierz przyjmuje następującą
postać:
./
(, 15
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Po uwzględnieniu warunków brzegowych – bc=[1 2 10 11 12] czyli warunków
podparcia, które eliminują możliwość przemieszczenia, zmienia się macierz
sztywności geometrycznej całego układu (wykreślam zatem rzędy i kolumny
zawarte w wektorze bc, które na rys. oznaczone są kropką)
Fakt istnienia przegubu na lewym końcu 1. elementu powoduje, że należy zredukować
w macierzy sztywności geometrycznej 3. wiersz i 3. kolumnę (oznaczone kwadratem na
rysunku).
W konsekwencji otrzymujemy macierz (,./ (7x7), która ma niezerowe elementy tam,
gdzie nie ma warunków brzegowych oraz nie dokonano redukcji. Można zauważyć, że
powyższa macierz ma w komórkach 3x3 i 7x7 (w układzie globalnym) wartości
zerowe, które uniemożliwią rozwiązanie problemu własnego. Dlatego wprowadzam w
te komórki wartość 1:
./
Ostatecznie macierz K 5 przyjmie postać:
TakŜe macierz sztywności ( musi ulec redukcji wg warunków brzegowych:
(
Zagadnienie problemu własnego przybiera postać:
1
./
6(, 7 9 (: v 0
8
Rozwiązanie jest następujące:
8
Najmniejsza wartość mnoŜnika jest krytyczną lambdą:
<=> 185,93917
16
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Globalne przemieszczenia całego układu przedstawia wektor:
*
Przemieszczenia elementu nr 1 w układzie globalnym i lokalnym:
*- *C- 0- · *- Przemieszczenia elementu nr 2 w układzie globalnym i lokalnym:
*2 *C2 02 · *2 Przemieszczenia elementu nr 3 w układzie globalnym i lokalnym:
*3 *C3 03 · *3 Aby znaleźć przemieszczenia oraz kształt układu w chwili utraty stateczności obliczam
przemieszczenia w zadanych punktach dzieląc pręty na odpowiednia liczbę odcinków:
-
Poziome przemieszczenia: uC qC- · N- G qC H · NH
Pionowe przemieszczenia: IC *C2 · N2 G *C3 · N3 G *CJ · NJ G *CK · NK
17
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Postać utraty stateczności dla <=> LMN, OPOLQ wygląda następująco:
Obliczenie przemieszczeń i sił przekrojowych uwzględniając siły osiowe dla
obciąŜenia odpowiadającego połowie obciąŜenia krytycznego
ObciąŜenie krytyczne:
59,66
11093.22
./
R# 8# · R ./ 185,94 · S 10,09 T S 1875.88 T
10,09
1875.88
Zadane obciąŜenie:
0.50 ·
./
R#
11093.22
5546.61
0.50 · S 1875.88 T S 937.94 T
1875.88
937.94
18
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
1. ITERACJA
Elementowe macierze sztywności geometrycznej:
Macierz geometrycznej sztywności pręta nr 1 w układzie lokalnym:
./
+,(
0 0
0
0 36
0
./
0.50 · R#,- 0 0
0
0
0
30V
0
0 36 0
0 6V 0
./
+,(
0
0
0
0 36 6V 0
0
0 0
0
0 0
36 6V
0 6V 6V2 Macierz geometrycznej sztywności pręta nr 1 w układzie globalnym:
./
./
+,(,- 0- 1 · (
· 0- Macierz geometrycznej sztywności pręta nr 2 w układzie lokalnym:
0 0
0
0
0
0
0 36 3V
0 36 3V .[/ 2
.J·WXY,Z
./
0 3V V2 ,
+,2
0 3V 4V
(
3\
0
0
0
0
0 0
0 36 3V 0 36 3V
0 3V V2 0 3V 4V2 ./
+,2
(
19
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Macierz geometrycznej sztywności pręta nr 2 w układzie globalnym:
./
./
+,2
(,2 02 1 · (
· 02 Macierz geometrycznej sztywności pręta nr 3 w układzie lokalnym:
0 0
0
0
0
0
0 36 3V
0 36 3V .[/ 2
.J·W
./
0 3V V2 ,
+,3
(
3\XY,] 0 3V 4V
0
0
0
0
0 0
0 36 3V 0 36 3V
0 3V V2 0 3V 4V2 ./
+,3
(
Macierz geometrycznej sztywności pręta nr 3 w układzie globalnym:
./
./
+,3
(,3 03 1 · (
· 03 Teraz moŜemy przedstawić macierze sztywności poszczególnych elementów w globalnej
numeracji układu:
./
(,- 20
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
./
(,2 ./
(,3 Po zsumowaniu (agregacji) globalna macierz sztywności geometrycznej ma postać:
./
(, ./
Suma macierzy sztywności elastycznej ( i geometrycznej macierzy sztywności (, :
./
( G (, 21
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Po uwzględnieniu warunków brzegowych – bc=[1 2 10 11 12] czyli warunków podparcia,
które eliminują moŜliwość przemieszczenia, zmienia się macierz sztywności geometrycznej
całego układu
Fakt istnienia przegubu na lewym końcu 1. elementu powoduje, Ŝe naleŜy zredukować w
macierzy sztywności geometrycznej 3. wiersz i 3. kolumnę.
./
( G (, Globalny wektor sił:
0
0
0
0
0
0
929.69587 929.69587 5578.1752 !
5578.1752 "#$
0
0
%&&&&&&&&&&&&&' 0.508# · 0.508# · 0
0
371.87835 371.87835 247.9189 247.9189 0
0
371.87835 0
247.9189 0
./
Rozwiązaniem równania ^( G (, _ · * .-/ 0.508# · jest globalny wektor
przemieszczeń:
* .-/ 22
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Przemieszczenia poszczególnych elementów w globalnych i lokalnych układach:
Przemieszczenia pręta nr 1
*- .-/ Przemieszczenia pręta nr 2
*2 .-/ Przemieszczenia pręta nr 3
*3 .-/ *C- .-/ 0- · *- .-/ *C2 .-/ 02 · *2 .-/ *C3 .3/ 03 · *3 .-/ Wektor reakcji dla elementu nr 1:
.-/
./
`- ^( G (, _ · *- .-/ 23
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Wektor reakcji dla elementu nr 2:
.-/
./
`2 ^( G (, _ · *2 .-/ Wektor reakcji dla elementu nr 3:
.-/
./
`3 ^( G (, _ · *3 .-/ Uzyskane wartości sil normalnych w pierwszej iteracji:
5551,4523
R .-/ S 940,34073 T
940,34073
Wyniki analizy statycznej dla : a, N · <=> 92,97
Iteracja
0.
1.
2.
Notacja
Wartość siły normalnej [kN]
(, , 0, 0.50 · R#
./
(, b 0, R .-/
./
(, b 0, R .2/
.-/
Element 1
Element 2
Element 3
- 5546,6095
937,93797
937,93797
- 5551,4523
940,34073
940,34073
- 5551,4526
940,33642
940,33642
Wyniki analizy statycznej dla : a, QN · <=> 141,71
Iteracja
0.
1.
2.
Notacja
Wartość siły normalnej [kN]
K 5 , 0, 0.75 · Ncd
./
K 5 b 0, N .-/
./
K 5 b 0, N .2/
.-/
Element 1
Element 2
Element 3
- 8319.9142
1406.907
1406.907
- 8351.6439
1394.5876
1394.5876
- 8352.6823
1393.9376
1393.9376
24
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Potwierdzenie poprawności obliczeń:
Wykres sil normalnych z programu Rm-Win potwierdzający poprawność obliczeń dla sił pomnoŜonych przez współczynnik
0,5 · λcd 92,97
Wykres sil normalnych z programu Rm-Win potwierdzający poprawność obliczeń dla sił pomnoŜonych przez współczynnik
0,75 · λcd 141,71
25
Piotr Firlej KBI
Stateczność ram- wersja komputerowa
Wnioski i spostrzeżenia:
Można zauważyć, iż wartości obliczone w pierwszej i drugiej iteracji (zarówno dla 0,75 ·
λcd 141,71 jak i dla 0,5 · λcd 92,97 ) są do siebie zbliżone. Zatem przerwanie iterowania
jest słuszne. Ponadto można zauważyć, że dokładność w obliczonych siłach normalnych jest
nieznacznie większa dla mniejszego współczynnika, jakim mnożymy λcd
Zwiększenie poprawności uzyskanych wyników można polepszyć poprzez np. podzielenie
każdego z prętów na większą liczbę elementów ( w naszym przypadku były to 4).
26