Szeregi liczbowe

‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ ZADANIA
SZEREGI LICZBOWE
1. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów:
I (bez stosowania kryteriów zbie»no±ci)
a)
P+∞
n=1
P+∞
1
n=1 n(n+1) ,
q n , b)
P+∞
c)
n=1
√1 .
n
II (z denicji)
a)
1
1·4
+
1
4·7
+ ... +
1
(3n−2)(3n+1)
√
P+∞ √
√
n
+
2
−
2
n + 1 + n).
(
n=1
+ . . . , b)
III (szereg harmoniczny uogólniony)
a)
P+∞
1
n=1 2n−1 ,
P+∞
√1
n=1 n n+1 ,
b)
P+∞
c)
n=1
√
1
.
(2n−1)(2n+1)
IV (tw. Cauchy'ego)
P+∞ cos xn
P+∞ cos nx−cos(n+1)x
, b)
,
a)
n=1
n
n2
P+∞
Pn=1
+∞
1
n1
√
d)
e)
n=1 (−1) n ,
n=1
n(n+1)
c)
P+∞
1
n=1 n ,
.
V (kryteria zbie»no±ci)
a)
d)
g)
j)
1+(−1)n
,
n
n=1
P+∞ (n!)22
n=1 n2 ,
P+∞ 2 1 1
n=1 sin n tg n ,
P+∞
n2 +1
n=1 ln( n2 ),
P+∞
b)
e)
h)
k)
2+(−1)n
,
n=1
2n
P+∞ nx
n=1 (1+x2 )n ,
P+∞ 2n+1 1 n
2
n=1 ( 3n+1 ) ,
P+∞
n=1 an ,
P+∞
c)
f)
i)
√
n3 ( 2+(−1)n )n
,
n
n=1
P+∞ nn+ n13
1 n,
n=1
)
n
P+∞ 1(n+
3 n
n=1 n ( 5 ) ,
P+∞
gdzie an = n1 dla n = m2 i an = n12 dla n 6= m2 .
VI (zbie»no±¢ warunkowa i bezwzgl¦dna)
a)
d)
P+∞
n+1 1
,
n=1 (−1)
2n−1
2
P+∞
n
n+1 2
,
n=1 (−1)
n!
b)
e)
P+∞
1
n
n=1 (−1) (2n−1)2 ,
P+∞
2n
n+1
.
n=1 (−1)
( n−1 )n2
c)
P+∞
1
n+1
,
n=1 (−1)
ln(n+1)
n
+∞
+∞
2. Wykaza¢, »e je±li szeregi
P+∞ n=1 an i n=1 bn s¡ zbie»ne, to dla α, β ∈ R
zbie»ny jest szereg n=1 (αan + βbn ) oraz
P
+∞
X
P
(αan + βbn ) = α
n=1
+∞
X
an + β
n=1
+∞
X
bn ).
n=1
Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
3. Wykaza¢,
»e je±li szereg
P+∞
n=1 an .
P+∞
n=1
|an | jest zbie»ny, to zbie»ny jest te» szereg
1
+∞ 2
2
4. Pokaza¢, »e je±li szeregi +∞
n=1 an i
n=1 bn s¡ zbie»ne, to zbie»ne s¡ te»
szeregi:
P
P+∞
P+∞ |an |
2
a) +∞
n=1 |an bn |, b)
n=1 (an + bn ) , c)
n=1 n .
P
5. Pokaza¢, »e:
P
∞
∞
∞
X
xn X y n X (x + y)n
·
=
.
n! n=0 n!
n!
n=0
n=0
6. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów:
a) 1 + 12 + 13 − 14 − 51 − 61 + 17 + 18 + 19 − . . . ,
P+∞ ln100 n
P+∞ (−1) n(n−1)
2
c)
sin πn
,
b)
n
n=1
n=1
2
n
4
2
πn
√
P+∞ cos n+1
P+∞
2
2
d)
e)
n=1 ln2 n ,
n=1 sin(π n + k ).
7. Znale¹¢ kwadrat szeregu
P+∞
n=1
(−1)n+1
√
n
. Czy jest to szereg zbie»ny?
8. Pokaza¢, »e:
a)
b)
2 P
n
q n = +∞
n=0 (n + 1)q
P+∞ (−1)n
1
= 1.
n=0 n!
n!
P+∞
n=0
P+∞
n=0
CIGI I SZEREGI FUNKCYJNE
9. Zbada¢ jednostajn¡ zbie»no±¢ ci¡gu:
a) fn (x) = xn (1 − xn ), 0 ≤ x ≤ 1
1
,0<x≤1
b) fn (x) = nx
c) gn (x) = x12 , 0 < x < 1
d) hn (x) = x(1 − n1 ), 0 < x < 1
e) gn hn , gn jak w c), hn jak w d).
10. Dany jest ci¡g fn : [a; b] −→ R zbie»ny jednostajnie do f . Pokaza¢, »e
ci¡g {|fn |} zbiega jednostajnie do |f |.
11. Czy je±li ci¡g {|fn |} jest zbie»ny jednostajnie to ci¡g {fn } jest zbie»ny
jednostajnie lub punktowo?
12. Dany jest ci¡g fn : [a; b] −→ R funkcji ci¡gªych zbie»ny jednostajnie do
f . Pokaza¢, »e
∀x0 ∈[a;b] ∀{xn }⊂[a;b]
lim xn = x0 ⇒ lim (fn (xn )) = f (x0 ).
n→+∞
n→+∞
13. Poda¢ przykªad ci¡gu funkcyjnego funkcji ci¡gªych zbie»nego punktowo
do f i ci¡gu xn → x0 takiego, »e limn→+∞ (fn (xn )) 6= f (x0 ).
2
14. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych:
√
q
a) fn (x) = n( x + n1 − x), x ∈ (0; +∞)
b) fn (x) = arctan nx, x ∈ R
√
c) fn (x) = n 1 + xn , x ∈ [0; +∞)
d) fn (x) = nx(1 − x)n , x ∈ [0; 1]
√
√
e) fn (x) = x + n + 1 − x + n, x ∈ R+
f) fn (x) = xn (1 − xn ), x ∈ [0; 1]
15. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:
P
1
a) +∞
n=1 x2 +n2 , x ∈ R
(−1)n
n=1 x+2n
b)
P+∞
c)
P+∞
d)
P+∞
e)
f)
g)
n=1
, x ∈ (−2; +∞)
sin(nx)
√
n n
,x∈R
,
n
x∈
n=0 (1 − x)x
P+∞ x2
n=1 n4 +x4 x ∈ R
P+∞ xn
n=1 n x ∈ [0; 1)
P+∞ 1
n=1 x2 −n2 x ∈ R
[0; 1]
,
,
,
+∞
16. Pokaza¢,
P+∞ »e je±li fn : (a; b) −→ R, n=1 |fn (x)| jest zbie»ny jednostajnie,
to n=1 fn (x) jest zbie»ny jednostajnie.
P
17. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci szeregu pot¦gowego, zbada¢ zbie»no±¢ na
ko«cach przedziaªu:
P
xn
a) +∞
n=1 n
n n n
b) +∞
n=1 (2 + (−1) ) x
P
xn
c) +∞
n=1 n2
P
d)
P+∞
n=1 (n
− 1)3n−1 xn−1
3