Relaksacja punktowa i globalna, nadrelaksacja
Transkrypt
Relaksacja punktowa i globalna, nadrelaksacja
Relaksacja punktowa i globalna, nadrelaksacja ∗ Rozwi¡»emy równanie Poissona ∇2 φ = −ρ (1) w dwóch wymiarach na pudle (i, j) ∈ [−50, 50] × [−50, 50] z krokiem ∆x = ∆y = 1. Na brzegu kªadziemy potencjaª równy 0 (uziemione metalowe pudªo). G¦sto±¢ ªadunku jest równa : ρij = 1 dla (i, j) ∈ [−10, 10]×[−10 : 10] i 0 w pozostaªych punktach siatki. Na starcie iteracji przyjmiemy zerowy potencjaª wsz¦dzie. Zastosujemy przepis iteracyjny: w p¦tli po i oraz j wyliczymy now¡ warto±¢ potencjaªu w punkcie (i, j) φij := (1 − ω)φij + ω φ(i+1)j + φ(i−1)j + φi(j+1) + φi(j−1) + ρij dx2 . 4 (2) Poni»ej, przez 'jedn¡ iteracj¦' rozumie¢ b¦dziemy peªen obieg p¦tli po i oraz j. (I.) Wzór (2) odpowiada punktowej podrelaksacji, relaksacji (metoda Gaussa-Seidla) i nadrelaksacji dla odpowiednio ω < 1, ω = 1 oraz ω > 1. Przedyskutowa¢ zbie»no±¢ funkcjonaªu Z ( a= " # ) 1 ∂φ 2 ∂φ ( ) + ( )2 − ρφ dxdy 2 ∂x ∂y (3) w funkcji ω . Przy dyskretyzacji gradientu pod caªk¡ dziaªania u»y¢ symetrycznego ilorazu ró»nicowego pochodnej. Uznajemy »e zbie»no±¢ zostaªa uzyskana je±li a z iteracji na iteracj¦ przestaje si¦ zmienia¢ w znacz¡cy sposób. Znale¹¢ optymaln¡ warto±¢ ω , dla której zbie»no±¢ osi¡gana jest po najmniejszej liczbie ∗ Laboratorium z in»ynierskich metod numerycznych, Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH 2009/2010. [email protected] 1 2 iteracji (30 punktów za udokumentowany rysunkami wybór parametu ω ). Narysowa¢ wykres konturowy potencjaªu (20 punktów). (II.) Odwracamy równanie Poissona: znamy potencjaª i chcemy z niego wydoby¢ g¦sto±¢ ªadunku. Wyliczy¢ ρ = −∇2 φ wzdªu» osi y . Porówna¢ z g¦sto±ci¡ wprowadzon¡ do równania (2) (20 punktów). (III.) Zbada¢ zbie»no±¢ relaksacji globalnej. Operujemy na dwóch tablicach (nowy i stary potencjaª) i wykonujemy dwie peªne podwójne p¦tle po i oraz j . W pierwszej robimy φ0ij φ(i+1)j + φ(i−1)j + φi(j+1) + φi(j−1) + ρij dx2 := (1 − ω)φij + ω , 4 a w drugiej φij := φ0ij . (4) (5) Dla ω = 1 powy»szy przepis to relaksacja Jakobiego. Przedyskutowa¢ zbie»no±¢ procesu iteracji globalnej w funkcji ω (dla jakich ω relaksacja globalna jest zbie»na? - za udokumentowany wykresem wniosek 20 pkt.). Znale¹¢ optymalne ω . Porówna¢ tempo zbie»no±ci relaksacji globalnej z relaksacj¡ punktow¡ (dla ka»dej z metod przyj¡¢ optymalne ω (10 pkt)) .