Matematyka wy»sza, ¢wiczenia, zestaw 3
Transkrypt
Matematyka wy»sza, ¢wiczenia, zestaw 3
Matematyka wy»sza, ¢wiczenia, zestaw 3 3.1. Prosz¦ obliczy¢ sumy szeregów ∞ P a) n=1 1 n(n+1) , ∞ P b) 1 2n n=1 − 1 3n , ∞ P c) n=1 (−1)n−1 πn d) n=1 Wskazówki: (a) zbie»no±¢: zastosuj kryterium porównawcze z szeregiem typu 1 n(n+1) = 1 n − 1 n+1 , rozpisa¢ szereg; sum¦ da si¦ wyliczy¢ wprost (skªadniki w wi¦kszo±ci si¦ (1/π) < 1 3.2. Wykaza¢, »e 23n+2 . 32n+1 1 ; sama suma: n2 redukuj¡ do zera); (b), (c), (d) wyst¦puj¡ tutaj szeregi geometryczne; (c) uwaga: wi¦c ∞ P 3n+2 /32n+1 (d) 2 P∞ =4· 8n / (3 9n ) a wi¦c · π ≈ 3.14; a (8/9) < 1. ln(n) n jest rozbie»ny. Wskazówka: porówna¢ z szeregiem harmonicznym. n=1 3.3. Wykaza¢, »e szereg przemienny P∞ n ln(n) jest zbie»ny. Wskazówka: pokaza¢, »e ci¡g n=1 (−1) n ln(n) n jest monotoniczny (malej¡cy), potem zastosuj twierdzenie 6.3. Uwaga: monotoniczno±¢ ln(n) ci¡gu an = n wynika z faktu, »e an+1 − an < 0 co mo»na szkicowo pokaza¢ (zwªaszcza dla 1 n du»ych n), posªuguj¡c si¦ przybli»eniem (1 + ) ≈ e prawie dokªadnie speªnym dla n >> 1 n ln(n+1) ln(n) (równo±¢ mamy dopiero w granicy n → ∞). A konkretnie: an+1 − an = n+1 − n = ... = 1 n+1 n 1 n(n+1) ln ( n ) n+1 . Teraz dopiero podstawiamy podane przybli»enie i przekonujemy si¦, 1 1 1 »e an+1 − an ≈ n(n+1) [ln(e) + ln( n )] < 0 gdy» ln( n ) dla du»ych n jest ujemne i na moduª bardzo du»e. 3.4. Prosz¦ zbada¢ zbie»no±¢ szeregu w zale»no±ci od dodatniego parametru ∞ X an n! nn n=1 Wskazówka:kryterium d'Alemberta oraz 3.5. Porównuj¡c szereg P n √ n→∞ 3.6. Uzasadnij rozbie»no±¢ szeregu P∞ n=1 ln(1 P : , e = lim 1 + 1 z szeregiem n(n+1) a 1 n n . Uwaga: e ≈ 2.718. 1 n+1 zbadaj jego zbie»no±¢ + n1 ). Wskazówka: ln(1 + 1 n = ln(1 + n) − ln(n), wypisz w sposób jawny sumy cz¡stkowe 3.7. Zbadaj zbie»no±¢ szeregu X an = ∞ X √ n=1 Wskazówka: pomno»y¢ licznik i mianownik 0 < an < an n+1− n √ n przez czynnik √ √ ( n + 1 + n) i pokaza¢, »e 1 −3/2 . Zastosowa¢ twierdzenie 6.5. 2n 3.8. Prosz¦ zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a) ∞ P e) n=1 ∞ P n=1 1 , n3 (−1)n−1 √ , 5n b) ∞ P f) n=1 ∞ P n=1 1 n(n+2) n 2n (n+2)n , c) ∞ P g) n=1 ∞ P 2n n! nn , d) ∞ P h) n=1 ∞ P 2 (n+1)n n n2 n=1 π n , 3n n! nn , 2 4n nn , n2 (n+2) n=1 t.j. prosz¦ uzasadni¢, »e dany szereg jest szeregiem zbie»nym lub, »e jest szeregiem rozbie»nym (bez wyznaczania warto±ci sumy szeregu, gdy takowa istnieje). Wskazówki: (a), (b) kryterium 1 ; (c), (d) patrz zadanie 3.3; (e) szereg naprzemienny, n2 porównawcze, np z szeregiem typu patrz tw. 6.4 z wykªadu (f ) kryterium Cauchy'ego, oraz patrz zadanie 3.1; (g), (h) kryterium Cauchego 3.9. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: ∞ P a) n=1 n 2n+1 , ∞ P b) n −n 2(−1) , c) n=1 ∞ P n=1 n100 n! . Wskazówki: (a) zastosowa¢ twierdzenie 6.1; (b) pokaza¢ »e szereg jest bezwzgl¦dnie zbie»ny; jest bezwzgl¦dnie zbie»ny wi¦c mo»na go rozbi¢ na dwa szeregi geometryczne; ka»dy z nich mo»na osobno wysumowa¢ (c) zastosuj kryterium d'Alamberta 3.10. Prosz¦ zbada¢ zbie»no±c szeregów, dla szeregów zbie»nych prosze sprawdzic, czy jest to zbie»no±¢ bezwzgl¦dna, czy te» warunkowa, a) ∞ P n=1 (−1)n n! , ∞ P b) n=1 cos(nπ) , n c) ∞ P (−1)n (n+1)(n+2)(n+3) 2n(n2 +1) d) n=1 ∞ P n=1 Wskazówki: (a) kryterium d'Alamberta; (b) cosinus przybiera warto±ci zero oraz plus, minus jeden, szereg jest wi¦c przemienny, zastosuj twierdzenie 6.3; (c) patrz twierdzenie 6.1; (d) szereg naprzmienny, patrz tw. 6.3 3.11. Prosz¦ wyznaczy¢ posta¢ wyrazu ogólnego ci¡gu ∞ X cn = n=1 Wskazówka: stosuj¡c twierdzenie. cn = ( 21 )n − ∞ P ∞ P an i n=1 an ∞ P bn , n=1 ∞ P jest zbie»ny, to n=1 b) jesli dla którego ∞ ∞ X 1 X 1 · . 2n 3n n=1 n=1 7.5 , przelicz (wzór na sum¦ ci¡gu geometrycznego), »e ( 13 )n . 3.12. Rozwa»amy szeregi a) jesli (cn ), gdzie bn 1 n , to szereg ∞ P an nie jest zbie»ny ale szereg n=1 Wskazówki: (a) rozpisa¢ sum¦ cz¡stkow¡ dla szeregu kowymi dla szeregu P patrz twierdzenie 6.1 an ; Pokaza¢, »e: jest zbie»ny. n=1 an = (−1)n 1 − bn = a2n−1 + a2n . ∞ P bn jest zbie»ny. n=1 P bn (b) rozpisa¢ sumy cz¡stkowe dla i porówna¢ j¡ z sumami cz¡st- P bn , rozbie»no±c szeregu P an (−1)n n2 . n3 +1