Wykład 1 - WFiIS

Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
Symetrie i struktury ciała stałego - W. Sikora
( W wykładach zostały wykorzystane fragmenty materiałów opracowanych w ramach
praktyki wakacyjnej przez studentki specjalności Fizyka Ciała Stałego WFiIS: Sylwię
Chudy, Barbarę Majcher oraz Joannę Stępień a także komputerowe programy
dydaktyczne opracowane przez doktoranta ZFFS WFiIS, mgr J.Malinowskiego
LITERATURA
A.Kowalska
"Wstęp do zastosowań teorii grup w fizyce"
F.A.Cotton
"Teoria grup. Zastosowania w chemii"
J.Mozrzymas
"Wstęp do współczesnej teorii grup krystalograficznych i ich reprezentacji" (PWN
1987)
S.L.Altmann
"Reprezentacje indukowane w kryształach i molekułach"
G.J. Lubarski
"Teoria grup i jej zastosowania w fizyce"
Z.Bojarski, M.Gigla, K.Stróż, M.Surowiec
"Krystalografia"
A.P.Cracknell
"Applied Group Theory"
Ed. Theo Hahn, (mam wydanie 1983 ale są nowsze)
"International Tables for Crystallography" t.A
WYKŁADY!
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
1. Po co zajmować się symetrią?
W sztuce może dlatego, że jest śladem piękna i harmonii w świecie a niewielkie jej
naruszenie pozwala artystom wyrażać dynamikę, ruch, zmienność...
ale po co symetria w nauce?
Symetria pozwala zaprezentować złożone układy w sposób najprostszy i
dostarcza kryteriów do ich klasyfikacji, pozwala wprowadzić porządek w
wielkim bogactwie i różnorodności takich układów.
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
Nauki ścisłe - a taką nauką jest fizyka - do opisu świata i zachodzących w nim
zjawisk używają matematyki. To potężne narzędzie, precyzyjny język, w którym
można formułować prawa. Zależności między parametrami opisywanego układu,
jego cechami, można zapisywać za pomocą równań. Aby opisywać obiekty
materialne istniejące w przestrzeni i czasie używając języka matematyki, trzeba
wprowadzić układ odniesienia. Już zasada względności Galileusza mówiła, ze można
to zrobić na wiele sposobów i żaden z nich w swojej istocie nie jest lepszy od innych.
Ale postać matematycznych równań opisujących zjawiska zachodzące w tych
obiektach zależy od wybranego układu odniesienia. Są takie układy odniesienia, w
których te równania przyjmują szczególnie prostą postać i pozwalają uwidocznić
istotę opisywanych zależności. To są układy dopasowane do symetrii opisywanego
obiektu. (przykład okręgu w różnych układach odniesienia).
 2 = 180 o
Złożenie obrotów:  1 = 90 o ,  = 45 o ,
1

- obrót wokół osi z
- obrót wokół osi x’
2
obrót wokół osi z'
jest reprezentowane przez macierz:
(
)( ) ( )
0
−1
0
x '=− y
x
x'
√2/2 0 −√2/2 ⋅ y = y ' ⇒ y '= √2 /2 x−√2/2 z
z'
z '=√2/2 x+ √2/2 z
√2/2 0 √2/2 z
Równanie okręgu transformuje się wtedy nastepująco:
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
y2 + z2 = R2
x' 2 +1 / 2 y' 2 +1 / 2 z' 2  y' z' = R 2
Symetria jest cechą charakteryzującą układ fizyczny – określa jego fazę. Zmiana
symetrii układu jest znakiem przemiany fazowej układu.
Symetria pozwala zaprezentować złożone układy w sposób najprostszy i
dostarcza kryteriów do ich klasyfikacji, pozwala wprowadzić porządek w
wielkim bogactwie i różnorodności takich układów.
2. Co to znaczy, że jakiś obiekt jest symetryczny, albo inaczej, że posiada
pewną symetrię?
Trzeba ustalić pewne cechy przedmiotu, które można przekształcać. Wynik operacji
przekształcenia można nazywać obrazem tego przedmiotu względem danego
przekształcenia. Jeżeli obraz dokładnie pokrywa się z przedmiotem, jeżeli są
nierozróżnialne, wtedy mówimy, że przedmiot ma symetrię tego przekształcenia.
Można też powiedzieć, że przedmiot jest inwariantny (czyli niezmienniczy) względem
tego przekształcenia.
Równanie zapisane w zmiennych określonych w pewnej przestrzeni posiadającej
symetrię jakiegoś przekształcenia jest niezmiennicze względem tego przekształcenia,
jeżeli postać tego równania w przetransformowanych zmiennych jest identyczna jak
postać równania w pierwotnych zmiennych.
3. Jakie znamy symetrie?
Symetrie zewnętrzne związane są z przekształceniami trójwymiarowej przestrzeni
euklidesowej, w której istnieją przedmioty materialne (czy ich układy),i czasu, który
pozwala opisać ich zmiany.
Czas jest jednowymiarowy, więc można tylko dokonywać przesunięć (translacji) lub
inwersji (zmiany znaku).
Przestrzeń euklidesowa jest trójwymiarowa i można w niej dokonywać przesunięć w
każdym z trzech wymiarów, obrotów wokół dowolnej osi o dowolny kąt, odbić w
dowolnych płaszczyznach i inwersji.
Symetrie wewnętrzne związane są z przekształceniami własności układów bądź
pojedynczych obiektów (np. izospinu, parzystości czy ładunku cząstek
elementarnych).
Będą nas interesować
I. Izometryczne, (czyli zachowujące odległość między dwoma punktami)
przekształcenia przestrzeni euklidesowej,
II. Przekształcenia funkcji określonych w tej przestrzeni
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
TRANSLACJA
Przekształcenie poprzez translację, (inaczej przez przesunięcie):
Istnieją wektory ai - wersory trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (liniowo
niezależne wektory nazywane elementarnymi),
Dowolny wektor t taki, że
t A
1a
1 A
2a2 A
3a
3
3
t Ai ai
(gdzie Ai są dowolnymi liczbami rzeczywistymi)
może być wektorem translacji.
i1
Obiekty posiadające symetrię translacyjną są nieskończone.
Cała przestrzeń jest niezmiennicza względem dowolnej translacji.
Jeśli A i są liczbami całkowitymi, to zbiór punktów przestrzeni euklidesowej
niezmienniczy względem takich translacji jest dyskretny. Mówimy, że tworzy sieć
krystalograficzną.
Równoległościan zbudowany na wektorach a i nazywa się komórką prymitywną.

Równoległościan zbudowany na dowolnych wektorach an  ni ai (gdzie ni są
liczbami całkowitymi) nazywa się komórką elementarną.
OBRÓT (WŁAŚCIWY)
Przekształcenie obrotu o kąt α, wokół osi n-krotnej o zadanym kierunku w przestrzeni
(obraz punktu znajduje się wraz z przekształcanym punktem w płaszczyźnie
prostopadłej do osi):
2
n   n
(lub C n)
2
1   1
2
2   2
2
3   3
2
4   4
2
6   6
obrót o 360o (lub E )
obrót o 180o ( lub C 2)
obrót o 120o ( lub C 3)
obrót o 90 o (lub C4)
obrót o 60o (lub C6)
2

 - obrót wokół osi o dowolnie mały kąt (n  lub C  )

Obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara przyjmuje się za obrót ujemny.
Obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara przyjmuje się za obrót dodatni.
Cała przestrzeń jest niezmiennicza względem obrotu o dowolny kąt wokół dowolnej
osi.
ODBICIE W PŁASZCZYŹNIE
Obraz punktu przekształcanego przez odbicie w płaszczyźnie znajduje się wraz z
przekształcanym punktem na jednej prostej prostopadłej do płaszczyzny.
Po wybraniu układu odniesienia płaszczyzny odbijające oznacza się literą „ m”
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
np. m x , m y , m z oznacza odpowiednio płaszczyznę prostopadłą do osi x, y , z.
Cała przestrzeń jest niezmiennicza względem odbicia w dowolnej płaszczyźnie
SYMETRIA WZGLĘDEM PUNKTU - INWERSJA, ŚRODEK SYMETRII
Obraz punktu przekształcanego względem inwersji znajduje się wraz z punktem
przekształcanym i punktem inwersji na jednej prostej.
Cała przestrzeń jest niezmiennicza względem inwersji umieszczonej w dowolnym
punkcie przestrzeni.
W przestrzeni pojawiają się jeszcze inne przekształcenia ( złożenie wymienionych
wyżej przekształceń)):
OSIE INWERSYJNE (OBROTY NIEWŁAŚCIWE)
Działanie: obrót wokół n-krotnej osi z przekształceniem względem inwersji leżącej na
osi obrotu.
Obrót wokół osi dwukrotnej złożony z przekształceniem względem inwersji leżącej na
osi obrotu jest identyczny z odbiciem w płaszczyźnie prostopadłej do osi,
przechodzącej przez punkt inwersji.( I*C 2 = σh )
OSIE ŚRUBOWE
Działanie: obrót z translacją (wektor translacji jest równoległy do osi)
PŁASZCZYZNY POŚLIZGU
Działanie: odbicie z translacją (wektor translacji jest równoległy do płaszczyzny
odbijającej).
http://www.ftj.agh.edu.pl/~malinowski/files/es.zip
Złożenie przekształceń polegające na kolejnym ich wykonaniu nazywamy iloczynem
tych przekształceń.
Każde przeksztalcenie można przedstawić bądź w postaci geometrycznej, bądź po
wybraniu układu odniesienia poprzez macierze transformacji przekształcanego
punktu o współrzędnych x,y,z do jego obrazu o współrzędnych x',y,'z'
a a t x x'
a
 11 12 13 1   
a
y y'
21 a
22 a
23 t2
a a a t zz'
 31 32 33 3   
 0 0 0 11 1

   
Macierz 3x3 o rzeczywistych współczynnikach ai j opisuje obrót, odbicie lub inwersję,
czwarta kolumna o współczynnikach ti opisuje translację.
.Obrotowi właściwemu odpowiada macierz 3x3 o wyznaczniku = +1
Obrotowi niewłaściwemu odpowiada macierz 3x3 o wyznaczniku = -1
Można dokonywać transformacji układu odniesienia lub współrzędnych.
Macierze odpowiednich transformacji są względem siebie odwrotne. W dalszych
rozważaniach mówiąc o przekształceniach w przestrzeni euklidesowej będziemy
rozważać transformację współrzędnych.
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
OGÓLNE ZWIĄZKI MIĘDZY PRZEKSZTAŁCENIAMI
1. Iloczyn dwóch obrotów właściwych musi być obrotem właściwym.
2. Iloczyn dwóch odbić w płaszczyznach A i B przecinających się pod kątem
 AB jest obrotem o kąt 2  AB wokół osi pokrywającej się z prostą
przecięcia się tych płaszczyzn.
3. Jeśli istnieje oś c n i płaszczyzna, która tą oś zawiera, to musi istnieć n

płaszczyzn z których każde dwie kolejne tworzą kąt n
Iloczyn dwóch osi C 2 przecinających się pod kątem  jest osią obrotu o
kąt 2, prostopadłą do płaszczyzny wyznaczonej przez wspomniane osie
C2
5. Oś obrotu właściwego i prostopadła do niej płaszczyzna symetrii
generują środek symetrii a także oś obrotu właściwego i środek symetrii
(inwersja) generują płaszczyznę prostopadłą do osi.
4.
ZWIĄZKI PRZEMIENNOŚCI
Zawsze komutują ze sobą:
1. dwa obroty wokół tej samej osi
2. odbicia w płaszczyznach prostopadłych do siebie
3. inwersja i dowolny obrót lub odbicie
4. obroty C 2 wokół osi prostopadłych do siebie
obrót i odbicie w płaszczyznach prostopadłej do osi tego obrotu.
Pojęcie grupy:
ZBIÓR G = { gi } => GRUPA
Zbiór G = {gi} nazywamy grupą jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. Jest określone działanie między elementami zbioru, nazywane „mnożeniem
grupowym", które nie wyprowadza poza zbiór: gi gj gn
2. Działanie to jest łączne:


g
g
g

g
g

g
i
j
k
i
j
k
3. Istnieje element jednostkowy
eG :
g
eeg
g
i
i
i
1
4. Istnieje do każdego elementu g i  G element odwrotny gi  G :

1

1
g
g
g
g
e
i
i 
i 
i
Ilość elementów grupy G nazywamy rzędem grupy i oznaczamy symbolem
G
Generatory grupy – minimalna liczba elementów symetrii, taka, że ich „mnożenie”
przez siebie odtwarza całą grupę.
Zbiór P=> podgrupa grupy G:
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
G: |G| , { g i  G }
{pi  P}
P |P|, {p G}
i
ale są takie g i  P , czyli : |P| < |G|
Podzbiór musi spełniać warunki grupowe aby być podgrupą. Notujemy wtedy
PG
grupa G jest iloczynem prostym swoich podgrup G 1 i G2 jeżeli każdy element
g  G można przedstawić w postaci g  g1 g2 gdzie g
G
G
1
1;g
2
2 i elementy grupy
G1 komutują z elementami grupy G 2. Elementy każdej z podgrup nie muszą
komutować ze sobą.
GG1 G2
Grupa translacji trójwymiarowych jest iloczynem prostym grup translacji jedno- i
dwuwymiarowych
ODWZOROWANIA GRUP
Homomorfizm F na G
Każdemu elementowi {f i} jest przyporządkowany dokładnie jeden element
{g} ( zbiory nie muszą być równoliczne – całemu zbiorowi może być
przyporządkowany jeden element):
 fi  F  dokładnie jeden gi  G
(jeśli dodatkowo  gi  G
 dokładnie jeden f i  F - Izomorfizm),
jest zachowana relacja mnożenia :
( obraz f i )( obraz fj ) = obraz ( f i fj )
fi  gi , fj  gj
fi fj = f k , gi gj  gk
fk  gk
zbiór {f k} wszystkich elementów F, którym przyporządkowany jest element
jednostkowy zbioru G Eg: {fk}  Eg nazywamy jądrem odwzorowania F  G.
Przyporządkowanie elementom grupy przekształceń macierzy transformacji
współrzędnych w wybranym układzie odniesienia jest izomorfizmem.
PRZYKŁADY TRANSFORMACJI
Badamy okrąg leżący w wybranym układzie odniesienia w płas zczyźnie yz, którego
środek pokrywa się z początkiem układu. Będziemy sprawdzać, czy wybrane
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
przekształcenie jest elementem symetrii tego okręgu i czy jest elementem symetrii
równania tego okręgu
y2 z2 R2
- równanie okręgu w takim układzie
a) Dokonujemy przekształcenia „obrót + translacja”
Najpierw dokonujemy przesunięcia o wcześniej zadany wektor u  0,1,0 a
następnie obrotu o kat 90o wokół osi z.
2 1
gdzie  1 - macierz translacji o wektor u
 2 - macierz obrotu o kat 90o wokół osi z
0100
1000
0101
x
x
'














1000
0101

1000
y
y
'






















0010 0010 0010 z z
'














0001
0001
0001
1
1

























2

1
x
'y
1

yx
'
1
y
'
x
z'z
2
y2 z2 R
2
(x'
1
)2 z'2 R
2
x'2z'2
2x'
1R
Równanie okręgu w układzie przesuniętym i obróconym wokół osi z ma inną
postać niż w układzie początkowym. Nie jest więc niezmiennicze względem takiego
przekształcenia.
b)
Dokonujemy trzech obrotów układu o 180 o
1

2
- obrót wokół osi z
- obrót wokół osi x’
- obrót wokół osi z’’
Korzystamy z macierzy wyrażonej przez trzy kąty Eulera:
cos

cos


sin

sin

cos

sin

cos


cos

sin

cos

sin

sin



1
2
1
2
1
2
1
2
2


g


cos

sin


sin

cos

cos


sin

sin


cos

cos

cos

cos

sin

1
2
1
2
2
 12 12



sin

sin


cos

sin

cos

1
1


Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
Z postaci macierzy transformacji widać, że
x'x
1 0 0  x x'

   
takie
złożenie odpowiada obrotowi o kąt 180 0
0 1 0 yy'y'y
0 0 1 z z'
z'z wokół osi x

   
y2 z2 R2
- równanie okręgu w płaszczyźnie yz.
Równanie jest niezmiennicze względem
takiego przekształcenia. Jego postać w nowych zmiennych jest taka sama jak w
starych.
y'2z'2 R2
c) Złożenie obrotów:  1 = 90 o
,
jest reprezentowane przez macierz:
(
 = 45 o ,
 2 = 180 o
)( ) ( )
0
−1
0
x '=− y
x
x'
√2/2 0 −√2/2 ⋅ y = y ' ⇒ y '= √2 /2 x−√2/2 z
z'
z '=√2/2 x+ √2/2 z
√2/2 0 √2/2 z
Równanie okręgu transformuje się wtedy nastepująco:
y 2+ z 2 =R2
(−x ' )2+ ( √2/2z '+ √2/2 y ' )2 =R2
x ' 2 + 1/2 y ' 2+ 1/2 z ' 2 − y ' z '=R2
Równanie naszego okręgu nie jest niezmiennicze wzgłedem takiej transformacji. To
równanie nie ma symetrii takiego przekształcenia.
d) Teraz wykażemy, że oś 3x jest osią symetrii okręgu jako obiektu
geometrycznego ,czyli wybranego zbioru punktów spełniających równanie y 2 +z 2 =
R 2 (np.: z R=2)
3x oznacza, że dokonujemy obrotu wokół osi x o kat 120
zależnością:
c
zgodnie z
2

o
3 120
3
Macierz reprezentujaca taki obrót:
1 0
0
x
x
'



 
3
x

0
1
2 3
2

y

y
'










0
3
2
1
2
z
z
'




Bierzemy punkt A (0,1,
ten punkt osią 3x.
3)
leżący na okręgu o promieniu R=2 i działamy na
10 0
0
x
'
'

0




 x



3
x

0
1
23
2

1

y
'

y
'

1












0

3
2

1
2
3
z
'
'


3




z
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 1
y2 z2 R2
y'2z'2 R2
134
?
Widzimy, że punkt A  A’ ( 0,1, - 3 ) , który również spełnia równane okręgu, a
więc należy do niego.
e) Podobnie jest z osią 4x, której macierz jest następująca :
punkt A  A"( 0, 3 , -1), należący do okręgu
Można w ten sposób pokazać, że obrót wokół osi x o dowolny kąt przeprowadza
dowolny punkt należący do okręgu w inny punkt także należący do okręgu, czyli, że
to przekształcenie jest elementem symetrii wybranego przez nas okręgu.
Czy obrót o 300 wokół osi z będzie elementem symetrii okręgu y 2 +z 2 = R 2 ?
Macierz odpowiadająca takiemu obrotowi ma postać:
x
'
3
2
x

1
2
y
3

21
20
x
x
'





 y
'

1
2
x

3
2
y

1
2

1
23
2
1
2

y

y
'






z
'
z




0 0 1

z
z
'





Taka transformacja przeprowadza punkt A w A^= (1/2, (1+ 3 )/2, 3 ), który nie
spełnia równania okręgu, nie jest to więc element symetrii badanego przez nas
okręgu. Nie jest to także element symetrii równania, ponieważ równanie w zmiennych
x', y' z' przyjmuje postać:
1/4x'2+3/4y'2+z'2+ 3 x'y'/2- 3 x'/4 + 3y'/4 + 3/16 = 4
Widać, jak bardzo komplikuje się równanie tego okręgu zapisane w układzie
odniesienia, który nie jest dopasowany do symetrii tego okręgu!