Poni˙zej zadania przygotowawcze pogrupowane w tematy

Poniżej zadania przygotowawcze pogrupowane w tematy. Niektore z zadań
przerabialiśmy na ćwiczeniach i zamieszczam je tutaj, bo sa, moim zdaniem ważne
i koniecznie trzeba przed egzaminem je zrozumieć.Poza tym chciaÃlabym, żebyście
Państwo byli za pan brat z podstawowymi przykÃladami: grupy cykliczne, grupy D2n ,
Q8 , Σn , a Σ4 w szczególności. To znaczy rze,dy elementów, klasy sprze,żoności,
centrum i komutant, ew. wszystkie podrupy normalne.
Rza,d elementu:
1. Niech x, y ∈ G, przy czym h x i ∩ h y i = 1. Pokazać, że jeżeli x i y sa, przemienne, to h x, y i ∼
= h x i × h y i.
2. Niech x, y ∈ G, przy czym o(x) = n < ∞, a o(y) = m < ∞. Pokazać, że jeżeli
(n, m) = 1 oraz x i y sa, przemienne, to o(xy) = mn.
3. Jeżeli (n, m) = 1 to Zn × Zm = Zmn .
4. Liczba elementów rze,du p, gdzie p jest liczba, pierwsza, wynosi (p − 1)k, gdzie
k jest liczba, podgrup izomorficznych z Zp .
5. W Σ6 policzyć zÃlożenie (123)(546)(231)(46) przedstawiaja,c je w postaci iloczynu cykli rozÃla,cznych. Znaleźć jego rza,d.
6. Grupa przemienna G rze,du 100 zawiera elementy rze,du 20 i nie zawiera elementu rze,du 25. Wynika z tego, że
grupa ta jest równa
liczba elementów rze,du 20 w tej grupie wynosi
7. Jeżeli ϕ : G −
→ H jest homomorfizmem, to o(ϕ(x))|o(x).
8. Pokazać, że nie istnieje monomorfizm Q8 → Σ4 .
DziaÃlania, podgrupy normalne, klasy sprze,żonosci:
9. Niech σ ∈ A7 , σ = (123)(45)(67). Wówczas |CS7 (σ)| =
10. Niech H 6 G be,dzie podgrupa,. Pokazać, że jeżeli dziaÃlanie H na zbiorze
warstw G/H zadane przez mnożenie z lewej strony przez elementy grupy H jest
trywialne, to H jest podgrupa normalna,.
11. W grupie G rze,du 7 · 11 · 29 normalna podgrupa rze,du 7 jest zawarta w
centrum.
12. Pokazać, że nie istnieje grupa rze,du nieparzystego zawieraja,ca nietrywialny
element x sprze,żony ze swoja, odwrotnościa, x−1 .
Znajdywanie homomorfizmów:
13. Homomorfizmy Zn −
→ G.
14. Ogólny algorytm: Znaleźć wszystkie homomorfizmy G −
→ H.
krok 1 Szukamy podgrup normalnych i badamy ich grupy ilorazowe
krok 2 Dla każdej grupy ilorazowej G/K patrzymy, czy w istnieje podrupa H 0 6 H z
nia izomorficzna
krok 3 Dla każdej pary G/K i izomorficznej z nia, podgrupy H 0 6 H mamy |AutH 0 |
homomorfizmów G −
→ H o ja,drze H 0 i obrazie H 0 .
15. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grup D12 × Z6 −
→ Z12 . (wskazówka: tu
procedure można uprościć - komutant poleca sie, Ãlaskawej pamie,ci)
16. Rozważyć Aut(G × H) a w szczególności Aut(Zn × Zn ).
17. Twierdzenie Lagrange’a: Kiedy można je odwrócić?
18. Twierdzenie o izomorfizmie. Odpowiedniość podgrup. ϕ : G −
→ H epi, to
|H : K| = |G : ϕ−1 K|.
19. Kiedy grupa jest produktem swoich podgrup wÃlaściwych?
1