Metody Probabilistyczne i Statystyka Z2 1. Niech A i B b˛ed ˛a

Metody Probabilistyczne i Statystyka
Z2
1. Niech A i B b˛eda˛ zdarzeniami z tej samej przestrzeni probabilistycznej. Udowodnić, że:
(a) Jeśli zdarzenia A i B sa˛ niezależne, to również niezależne sa˛ zdarzenia: A i B 0 , A0 i B oraz A0 i B 0 .
(b) Jeśli A jest dowolnym zdarzeniem, natomiast B zdarzeniem takim, ze P (B) = 0, to zdarzenia A i B sa˛
niezależne.
(c) Jeśli A jest dowolnym zdarzeniem, natomiast B zdarzeniem takim, ze P (B) = 1, to zdarzenia A i B sa˛
niezależne.
2. Urzadzenie
˛
składa si˛e z n podzespołów pracujacych
˛
niezależnie (n > 2). Prawdopodobieństwo, że
i-ty podzespół (i = 1, 2, . . . , n) ulegnie awarii w czasie pracy wynosi qi . Konserwator wykrywa i usuwa awari˛e
każdego z podzespołów niezależnie od siebie, z prawdopodobieństwem p. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po
przegladzie
˛
dokonanym przez konserwatora, co najmniej jeden z podzespołów pozostał niesprawny?
3. Wiadomo, że na pytanie nr 5 w pewnej ankiecie prawdziwa˛ odpowiedź daje 80% m˛eżczyzn i 90% kobiet. Na
jednym z arkuszy nie zaznaczono płci respondenta. Wiedzac,
˛ że 60% arkuszy tej ankiety wypełnili m˛eżczyźni,
a reszt˛e kobiety, wyznaczyć prawdopodobieństwo, że odpowiedź na pytanie nr 5 we wspomnianym arkuszu jest
prawdziwa.
4. Test na obecność pewnego wirusa w organizmie człowieka daje poprawna˛ odpowiedź w 90% przypadków, gdy
wirus jest rzeczywiście obecny, i w 70% przypadków, gdy wirus nie jest obecny. W przypadku pewnego pacjenta
wynik testu był:
(a) pozytywny (test wskazał obecność wirusa w organizmie pacjenta);
(b) negatywny.
Wiadomo, że na 100 osób w całej populacji wirusem zarażona jest jedna osoba. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że pacjent jest zarażony.
2
i dwie z podwójnym orłem. Wyciagni˛
˛ eto losowo 1
5. W szufladzie leży 10 monet dwustronnych P (O) =
5
monet˛e, rzucono nia˛ i włożono z powrotem. Nast˛epnie znów losowo wyciagni˛
˛ eto 1 monet˛e i rzucono nia.˛ Za
każdym razem otrzymano orła. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
(a) za pierwszym razem wyciagni˛
˛ eto monet˛e fałszywa;
˛
(b) co najmniej raz wyciagni˛
˛ eto monet˛e fałszywa.˛
1
6. Kot łowi k myszy dziennie z prawdopodobieństwem pk = e−1 · , k = 0, 1, . . .. Każda złowiona mysz ucieka
k!
z prawdopodobieństwem = 0.5, a jeśli jej si˛e to nie uda, to kot ja˛ zjada. Określamy zdarzenia: Ak := kot złowił
danego dnia k myszy; Bj := kot zjadł tego dnia j myszy. Obliczyć prawdopodobieństwa:
P (Bj |Ak ) , P (Bj ) , P (Ak |Bj ).
7. Pan Roman może mieć i synów, i = 0, 1, . . . , 4, z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: p0 = 0.4,
p1 = p2 = 0.2, p3 = p4 = 0.1. Każdy z tych synów może mieć i synów z tymi samymi prawdopodobieństwami,
niezależnie od ojca i braci. Obliczyć prawdopodobieństwo, że protoplasta rodu b˛edzie miał 2 wnuków.
8. Pani Aniela ma troje dzieci. Zdefiniujmy zdarzenia: A - wszystkie dzieci maja˛ ta˛ sama˛ płeć; B - jest co najwyżej
jeden chłopiec; C - w rodzinie jest chłopiec i dziewczynka.
Przy założeniu, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca jest takie samo jak dziewczynki:
(a) Pokazać, że A nie zależy od B, a B nie zależy od C;
(b) Czy A nie zależy od C?;
(c) Czy wyniki z punktów (a) i (b) pozostaja˛ prawdziwe, gdy prawdopodobieństwa urodzenia chłopca i dziewczynki
nie sa˛ sobie równe?