Ami Pro - EFGH5N.SAM

Algebra liniowa 2
II kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
E
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wykresem funkcji z = f ( x, y ) jest płaszczyzna
π : 3x − y + 5z = 0 .
Uzasadnić, że funkcja f jest przekształceniem liniowym R 2 → R .
2. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni R 3 rzutu prostokątnego na prostą
l : x = −y = 2z .
3. Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego
Odpowiedzi do zestawu
L ( x, y, z ) = ( x − z, x − z, x − z ) .
1. funkcja f ( x, y ) =
4. Wektory x + 1, 3x − 2 uzupełnić do bazy ortogonalnej przestrzeni
R 2 [x] z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem
( p, q ) = p ( −1 ) q ( −1 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) + p ( 1 ) q ( 1 ) .
E
y − 3x
jest przekształceniem liniowym;
5
 4 −4 2 


 −4 4 −2  ;


 2 −2 1 
3. W 0 = lin { ( 1, 0, 1 ), ( 0, 1, 0 ) } ;
4. uzupełnieniem jest wektor 3x 2 − 2 .
1
2.
9
Algebra liniowa 2
II kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
F
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Przekształcenie liniowe L : R 2 → R 2 przeprowadza wektor ( 1, 0 )
na wektor ( 3, −2 ) , a wektor ( 1, 1 ) na wektor ( 4, −1 ) . Znaleźć
obraz wektora ( 1, −2 ) po trzykrotnym złożeniu tego przekształcenia.
2. Znaleźć macierz w bazie standardowej przestrzeni R 3 rzutu prostokątnego na płaszczyznę
π : x + 4y − z = 0 .
3. Wskazać bazę przestrzeni R 3 złożoną z wektorów własnych macierzy
Odpowiedzi do zestawu
1 0 1


0 2 0 .


1 0 1
4. Znaleźć kąt między wektorami p = 3 − 2x, q = 2 − x
R 1 [x] z iloczynem skalarnym danym wzorem
1.
w przestrzeni
( p, q ) = p ( 1 ) q ( 1 ) + p ( 2 ) q ( 2 ) dla p, q ∈ R 1 [x].
F
obrazem jest wektor ( −9, −4 ) ;
 17 −4 1 


2.
 −4 2 4  ;


 1 4 17 
3. baza własna { ( 1, 0, −1 ), ( 1, 0, 1 ), ( 0, 1, 0 ) } ;
1
18
4.
kąt
π
.
4
Algebra liniowa 2
II kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1
G
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wykresem funkcji z = g ( x, y ) jest płaszczyzna
π : 2x + 5y − 4z = 2 .
Zbadać, czy funkcja g jest przekształceniem liniowym R 2 → R .
2. Napisać macierz obrotu o kąt
π
wokół osi
2
Oz w przestrzeni R 3
w bazie
{ ( 0, 1, −1 ), ( 0, 0, 1 ), ( 1, −1, 0 ) } .
3. Wyznaczyć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego
K ( x, y, z ) = ( x + 2y + 3z, 2y, −z ) .
4. Wektory ( 1, 1, 0, 0 ), ( 0, 0, 1, 0 ) uzupełnić do bazy ortogonalnej przestrzeni E 4 i podać współrzędne wektora ( 0, 1, 0, 0 )
w tej bazie.
Odpowiedzi do zestawu
1. funkcja g ( x, y ) =
liniowym;
G
2x + 5y
4
−
1
nie jest przekształceniem
2
 −1 0 2 


2.  −2 1 2  ;


 −1 0 1 
3. W −1 = lin { ( 3, 0, −2 ) } , W 1 = lin { ( 1, 0, 0 ) } ,
W 2 = lin { ( 2, 1, 0 ) } ;
1
4. współrzędne [ 2 , 0, 1, 0 ] w bazie { ( 1, 1, 0, 0 ),
( 0, 0, 1, 0 ), (− 12 , 12 , 0, 0 ), ( 0, 0, 0, 1 ) } .
Algebra liniowa 2
II kolokwium
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
H
1
2
3
4
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Napisać macierz w bazie standardowej przestrzeni R 3 symetrii
względem płaszczyzny
π : 3x − 3y + z = 0 .
2. Przekształcenie L : R 2 [x] → R 2 [x] jest określone wzorem
( Lp ) ( x ) = ( 2 − x ) p ( x ) dla p ∈ R 2 [x].
Uzasadnić liniowość tego przekształcenia i podać jego macierz w bazie
{ 1, x, x 2 } .
3. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie własne
przekształcenia liniowego
L ( x, y, z ) = ( y, y, y ) .
4. Sprawdzić, że wektory ( 2, −1, 3 ), ( −1, 4, 2 ), ( 2, 1, −1 ) tworzą
bazę ortogonalną przestrzeni E 3 i podać współrzędne wektora
( 0, 1, −1 ) w tej bazie.
Odpowiedzi do zestawu
H
 1 18 −6 


 18 1 6  ;


 −6 6 17 
0 2 0


2.  0 −1 4  ;


 0 0 −2 
3. W 0 = płaszczyzna xOz, W 1 = prosta l : x = y = z ;
2 2 1
4. [ − 7 , 21 , 3 ] .
1
1.
19