Wiadomosci Matematyczne 46(1)

Wiad. Mat. 46 (1) 2010, 17–26
c 2010 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Adam Grygiel α (Łódź)
Postęp w teorii liczb
w latach 1998–2009 *
Profesorowi Jerzemu Browkinowi
na siedemdziesiąte piąte urodziny
Osiem lat temu A. Schinzel opublikował w Wiadomościach Matematycznych (patrz [32]) przegląd osiągnięć teorii liczb w XX wieku.
Niniejszy artykuł stanowi rozszerzenie tego przeglądu o zasługujące na
uwagę jedno twierdzenie z ubiegłego stulecia oraz siedem najważniejszych wyników z lat 2001–2009. Przy ich omawianiu będę się trzymać
porządku przyjętego w Mathematical Reviews. Lata podane przy nazwiskach autorów oznaczają rok opublikowania danego wyniku. Jeśli
przytoczony wynik przyczynił się do otrzymania medalu Fieldsa, fakt
ten jest odnotowany.
Dziękuję anonimowemu recenzentowi oraz Redaktorowi Wiadomości Matematycznych za ich uwagi ulepszające artykuł. Pragnę również
wyrazić swoją wdzięczność mojemu Promotorowi, Panu Profesorowi
Andrzejowi Schinzlowi, za porady i sugestie dotyczące zakresu przedstawionych niżej wyników, oraz Panu Profesorowi Jerzemu Browkinowi, za
wartościowy krytycyzm i liczne dyskusje wpływające na moją perspektywę matematyczną.
α
Publikacja sponsorowana przez Dziekana Wydziału Matematyki i Informatyki UŁ
oraz współfinansowana ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego i Budżetu
Państwa w ramach Działania 2.6 Zintegrowanego Programu Operacyjnego Rozwoju
Regionalnego, w związku z realizacją projektu Stypendia wspierające innowacyjne
badania naukowe doktorantów.
*
Rozszerzony tekst odczytu wygłoszonego na posiedzeniu Oddziału Łódzkiego
PTM w maju 2010 r.
18
A. Grygiel
1. Elementarna teoria liczb
Dla funkcji Eulera φ zachodzi wzór
φ(n) = n
k Y
i=1
1−
1
,
pi
w którym p1 , . . . , pk oznaczają różne czynniki pierwsze liczby n. (Przypomnijmy, że przez φ(a) oznaczamy ilość liczb mniejszych lub równych a i względnie pierwszych z a.) W 1922 roku R. D. Carmichael [5]
sformułował hipotezę, że nie istnieje m ∈ N takie, że równanie φ(x) = m
ma dokładnie jedno rozwiązanie; hipoteza ta wciąż jest niepotwierdzona.
W 1998 roku K. Ford udowodnił w [9], że ewentualny kontrprzykład
obalający tę hipotezę musi spełniać m > 101010, oraz że jeśli taki kontrprzykład istnieje, to zbiór A wszystkich kontrprzykładów
ma dodatnią
1
dolną gęstość, to znaczy lim inf N →∞ N A ∩ [1, N ] > 0.
W. Sierpiński sformułował następujące przypuszczenie (patrz [35,
str. 252]).
Hipoteza 1.1 (Sierpiński 1950). Dla każdej liczby naturalnej s ­ 2,
istnieje takie m ∈ N, że równanie φ(x) = m ma dokładnie s rozwiązań.
K. Ford i S. Koniagin udowodnili w [11] następujące twierdzenie.
Twierdzenie 1.1 (Ford, Koniagin 1999). Hipoteza Sierpińskiego o funkcji Eulera zachodzi dla liczb parzystych.
Niedługo po tym przełomie, K. Ford udowodnił w [10] hipotezę 1.1.
W dowodzie użył wielu głębokich rezultatów teorii sita, m.in. twierdzenia
Chena z [7], które orzeka, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb
pierwszych p, że p + 2 jest iloczynem co najwyżej dwóch liczb pierwszych.
2. Ciągi i zbiory liczb całkowitych
P. Erdős (patrz [8, str. 11]) zaoferował 3000 dolarów za rozwiązanie
następującego, wciąż otwartego problemu.
Hipoteza 2.1 (Erdős 1980). Każdy taki zbiór A ⊂ N, że
zawiera ciąg arytmetyczny długości k, dla wszystkich k.
P
1
n∈A n
=∞
Od czasów Eulera wiadomo, że szereg odwrotności wszystkich liczb
pierwszych jest rozbieżny. W 1939 roku J. G. van der Corput [39]
udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb
pierwszych długości 3. W 1975 roku E. Szemerédi w [36] udowodnił
kombinatorycznie, że dowolny podzbiór N o dodatniej górnej gęstości
Postęp w teorii liczb w latach 1998–2009
19
zawiera dowolnie długi ciąg arytmetyczny. Niestety, zbiór P wszystkich
liczb pierwszych ma górną gęstość zero. W. T. Gowers w [16], opierając się
na analizie Fouriera, wzmocnił twierdzenie Szemerédiego następująco.
Twierdzenie 2.1 (Gowers 2001, medal Fieldsa 1998). Maksymalna długość rl (n) ciągu liczb naturalnych nieprzekraczających n, niezawierającego żadnego ciągu arytmetycznego długości l, spełnia
n
l+9
rl (n) = O
, cl = 2−2 .
c
(ln ln n) l
W 2005 roku B. Green w [17] tymi samymi metodami udowodnił,
że dowolny zbiór A ⊂ P o relatywnie dodatniej górnej gęstości, tzn.
spełniający warunek
A ∩ [1, N ]
> 0,
lim sup N →∞ P ∩ [1, N ]
zawiera nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych długości trzy. Używając metod ergodycznych, wspólnie z T. Tao uogólnił w [18] ten fakt na
dowolnie długie ciągi arytmetyczne, dowodząc hipotezę 2.1 w istotnym
przypadku, gdy A = P.
Twierdzenie 2.2 (Green, Tao 2008, medal Fieldsa 2006). Dowolny
podzbiór P o relatywnie dodatniej górnej gęstości zawiera nieskończenie
wiele ciągów arytmetycznych długości k, dla wszystkich k.
Niech N ∈ P będzie dostatecznie duże. Oznaczmy
W =
Y
p.
p∈P
p¬ln ln N
Przypomnijmy, że funkcja von Mangoldta Λ zdefiniowana jest następująco:
Λ(n) =
(
ln p, jeśli n jest potęgą liczby pierwszej p,
0 dla pozostałych n ∈ N
i rozważmy następującą jej modyfikację:
Λ̃(n) =
( φ(W )
W
0
ln(W n + 1), jeśli W n + 1 ∈ P,
w pozostałych przypadkach.
Kluczowym punktem w dowodzie twierdzenia 2.2 jest oszacowanie z dołu
wyrażenia
N X
N
1 X
Λ̃(n)Λ̃(n + r) . . . Λ̃(n + (k − 1)r)
N 2 n=1 r=1
20
A. Grygiel
(patrz [19, str. 55–56]). Z oszacowania tego wynika, że istnieje w P ciąg
arytmetyczny postaci
W n + 1, W (n + r) + 1, . . . , W (n + (k − 1)r) + 1.
Z dowodu twierdzenia 2.2 nie wynika, jak konstruować ciągi arytmetyczne w P o zadanej długości. W 2008 roku J. Wróblewski i R. Chermoni
znaleźli najdłuższy znany obecnie taki ciąg:
6171054912832631 + 366384 × 223092870 × n,
n = 0, . . . , 24.
T. Tao i T. Ziegler, korzystając z metod teorii ergodycznej, udowodnili
w [37] następujące uogólnienie twierdzenia 2.2.
Twierdzenie 2.3 (Tao, Ziegler 2008). Jeśli P1 , . . . , Pk ∈ Z[m] są wielomianami całkowitymi takimi, że P1 (0) = · · · = Pk (0) = 0, to dowolny
podzbiór P o relatywnie dodatniej górnej gęstości zawiera nieskończenie
wiele ciągów postaci n + P1 (m), . . . , n + Pk (m), m > 0.
3. Równania diofantyczne
E. Catalan sformułował w [6] następujące przypuszczenie.
Hipoteza 3.1 (Catalan 1844). Równanie Catalana
xp − y q = 1,
nie ma innych rozwiązań w liczbach naturalnych x, y, p, q > 1 poza
rozwiązaniem postaci 32 − 23 = 1.
Przypadek q = 2 hipotezy 3.1 został rozwiązany w 1850 roku przez
V. A. Lebesgue’a w [26]. W 1964 roku Chao Ko w [25] wykazał hipotezę
3.1 dla p = 2. W 1976 roku, w [38], R. Tijdeman pokazał, korzystając z metody Bakera oszacowania kombinacji liniowych logarytmów,
że równanie Catalana posiada skończenie wiele rozwiązań. Wyniki te
w przystępny sposób przedstawił P. Ribenboim w [31].
W 1990 roku K. Inkeri (patrz [23,24]) udowodnił następujący rezultat,
zwany kryterium Inkeriego. Niech p, q ∈ P będą liczbami nieparzystymi.
Jeśli równanie Catalana ma rozwiązanie w liczbach naturalnych x, y > 1,
to zachodzi alternatywa: pq−1 ≡ 1 (mod q 2 ) lub q dzieli liczbę klas ciała
liczbowego L określonego następująco:
 √
Q ( −p) , jeśli p ≡ 3 (mod 4),
L=
Q e2iπ/p
w pozostałych przypadkach.
W 2003 roku P. Mihǎilescu wykazał w [29], że drugi człon alternatywy
w kryterium Inkeriego można opuścić. Dokładniej, udowodnił następujące
twierdzenie.
Postęp w teorii liczb w latach 1998–2009
21
Twierdzenie 3.1 (Mihǎilescu 2003). Niech p, q ∈ P będą liczbami nieparzystymi. Jeśli równanie Catalana ma rozwiązanie w liczbach naturalnych
x, y > 1, to pq−1 ≡ 1 (mod q 2 ) oraz q p−1 ≡ 1 (mod p2 ).
Parę liczb nieparzystych p, q ∈ P spełniających obydwie kongruencje
podane w twierdzeniu 3.1 nazywa się podwójną parą Wiefericha. Obecnie
znanych jest tylko sześć takich par. W 2004 roku P. Mihǎilescu udowodnił
w [30] hipotezę 3.1. Istotną rolę w jego dowodzie odegrał warunek
p 6≡ 1 (mod q), który wykazał za pomocą podwójnej pary Wiefericha.
Oryginalny dowód hipotezy 3.1 znacznie uprościł Y. Bilu (patrz [3, 4]).
4. Analityczna teoria liczb
A. Schinzel [34] sformułował bardzo ogólne przypuszczenie, znane
jako hipoteza H.
Hipoteza 4.1 (Schinzel 1958). Niech f1 , . . . , fk ∈ Z[m] będą wielomianami całkowitymi i nierozkładalnymi o najwyższych współczynnikach
dodatnich. Jeśli dla każdego q ∈ P zachodzi q - f1 (m) . . . fk (m) dla
pewnego m ∈ Z, to f1 (n), . . . , fk (n) ∈ P dla nieskończenie wielu n ∈ N.
W 1961 roku A. Schinzel pokazał w [33], że z hipotezy 4.1 wynika
hipoteza 1.1. Wspólnie z W. Sierpińskim (patrz [34]) wyprowadził także
wiele innych ciekawych wniosków z hipotezy 4.1, jak na przykład istnienie
dowolnie długich ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych
(co stanowi wciąż otwarty problem). Najdłuższy znany obecnie taki
ciąg, długości 10, został znaleziony w roku 1998 przez grupę związaną
z M. Toplicem.
Klasyczne twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągach
arytmetycznych mówi, że jeśli f (m) = bm + a, gdzie a, b ∈ Z, a 6= 0,
b ­ 1 oraz (a, b) = 1, to f (n) ∈ P dla nieskończenie wielu n ∈ N.
W 1978 roku H. Iwaniec udowodnił w [21], że n2 + 1 jest iloczynem co
najwyżej dwóch liczb pierwszych dla nieskończenie wielu n ∈ N. Obecnie
nie znamy żadnego wielomianu jednej zmiennej stopnia większego od
jeden, który przyjmowałby nieskończenie wiele wartości w P. Także
dla k > 1 hipoteza 4.1 jest całkowicie otwartym problemem, nawet dla
wielomianów stopnia 1.
Od czasów Eulera wiadomo (jest to treścią twierdzenia Fermata
o sumach dwóch kwadratów), że liczba pierwsza p > 2 jest sumą dwóch
kwadratów liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy, gdy p ≡ 1 (mod 4).
W szczególności m2 + n2 ∈ P dla nieskończenie wielu m, n ∈ N, co
w 1974 roku w pracy [22] H. Iwaniec uogólnił na przypadek wielomianów
22
A. Grygiel
stopnia dwa, dwóch zmiennych, spełniających pewne naturalne założenia.
W 1997 roku E. Fouvry i H. Iwaniec dowiedli w [12], metodami sita,
że m, m2 + n2 ∈ P dla nieskończenie wielu m, n ∈ N. W 1998 roku
J. Friedlander i H. Iwaniec udowodnili w [13], korzystając z metod sita
asymptotycznego Bombieriego, że
XX
m2 +n4 ¬x
2
4
3/4
Λ(m + n ) ∼ cx
m2
,
c=
4
π
Z1 p
0
n4
1 − t4 dt.
Wynika stąd, że
+
∈ P dla nieskończenie wielu par m, n ∈ N.
D. R. Heath-Brown udowodnił w [20], tymi samymi metodami, następujące twierdzenie.
Twierdzenie 4.1 (Heath-Brown 2001). m3 +2n3 ∈ P dla nieskończenie
wielu m, n ∈ N.
Niech pn będzie n-tą z kolei liczbą pierwszą. Oznaczmy
pn+1 − pn
∆1 = lim inf
.
n→∞
ln pn
Do niedawna najlepszym znanym oszacowaniem było ∆1 ¬ 0,2484, pokazane przez H. Maiera w 1988 roku (patrz [28], por. [32, IV.6]). Przełomu
w tym obszarze dokonali D. A. Goldston, J. Pintz i C. Y. Yıldırım,
dowodząc metodami sita Selberga w [14] następujące twierdzenie.
Twierdzenie 4.2 (Goldston, Pintz, Yıldırım 2009). ∆1 = 0.
D. A. Goldston, J. Pintz i C. Y. Yıldırım udowodnili w [15] także
następujące wzmocnienie twierdzenia 4.2:
pn+1 − pn
< ∞.
lim inf
n→∞ (ln pn )1/2 (ln ln pn )2
Do danego ε > 0 dobierzmy odpowiednio duże N, k ∈ N. Zdefiniujmy
h = ε ln N i oznaczmy Hk = {h1 , . . . , hk }, gdzie h1 , . . . , hk ∈ N oraz
1 ¬ h1 < · · · < hk ¬ h. Rozważmy, kiedy wielomian PHk , dany wzorem
PHk (n) = (n + h1 ) . . . (n + hk ), ma k + l lub mniej różnych czynników
pierwszych, gdzie 0 ¬ l ¬ k. Połóżmy
X
k+l
1
ΛR (n; Hk , l) =
µ(d) ln Rd
,
(k + l)! d|P (n)
Hk
d¬R
gdzie R jest odpowiednio dobranym parametrem rzeczywistym; przypomnijmy, że
µ(n) =
(
(−1)k , gdy n jest iloczynem k różnych liczb pierwszych,
0
dla pozostałych n > 1.
Postęp w teorii liczb w latach 1998–2009
23
Rozważmy następującą modyfikację Λ̂ funkcji von Mangoldta Λ:
(
ln n, jeśli n ∈ P,
0
w pozostałych przypadkach.
Kluczowym punktem w dowodzie twierdzenia 4.2 jest oszacowanie z dołu
wyrażenia
Λ̂(n) =
2N X
h
X
n=N +1 h0 =1
Λ̂(n + h0 ) − ln(3N )
X
ΛR (n; Hk , l)2 .
1¬h1 <···<hk ¬h
Z oszacowania tego wynika, że przedział (n, n + h) zawiera co najmniej
dwie liczby pierwsze dla nieskończenie wielu n ∈ N.
5. Obliczeniowa teoria liczb
W 1983 roku, w pracy [1], L. M. Adleman, C. Pomerance i R. S. Rumely podali deterministyczny algorytm weryfikujący, czy dana liczba
naturalna n > 1 jest pierwsza. Złożoność obliczeniowa tego algorytmu
wynosi
(ln n)O(ln ln ln n) .
W 2004 roku M. Agrawal, N. Kayal i N. Saxena opublikowali w [2]
pierwszy test pierwszości wykonywany w czasie wielomianowym, tzn.
opisanym przez funkcję wielomianową od liczby cyfr liczby n. Algorytm
ten, zwany testem pierwszości AKS, wykonuje następujące operacje.
1. Jeśli n = ab dla pewnych a, b ∈ N, b > 1, zwróć „złożona”.
2. Znajdź najmniejszą liczbę r taką, że or (n) > (log2 n)2 , gdzie or (n)
oznacza najmniejszą liczbę k ∈ N taką, że nk ≡ 1 (mod r), natomiast
log2 oznacza logarytm o podstawie 2.
3. Jeśli 1 < (a, n) < n dla pewnego a ¬ r, zwróć „złożona”.
4. Jeśli n ¬ r, zwróćp„pierwsza”.
5. Dla 1 ¬ a ¬ b φ(r) log2 nc wykonaj: jeśli (x + a)n 6= xn + a
w (Z/nZ)[x]/(xr − 1), zwróć „złożona”.
6. Zwróć „pierwsza”.
Twierdzenie 5.1 (Agrawal, Kayal, Saxena 2004). Test pierwszości AKS
zwraca „pierwsza” wtedy i tylko wtedy, gdy n ∈ P. Złożoność obliczenio
21
wa tego algorytmu wynosi O (ln n) 2 +ε przy dowolnym ε > 0.
Ciężar dowodu poprawności testu pierwszości AKS leży w implikacji,
że jeśli powyższy algorytm zwraca „pierwsza”, to n ∈ P. Pokazano
elementarnie (patrz [2, Lemat 4.3]), że istnieje r ¬ max{3, d(log2 n)5 e}
takie, że or (n) > (log2 n)2 . Skoro or (n) > 1, to istnieje taki czynnik
24
A. Grygiel
pierwszy p liczby n, że or (p) > 1. Dalsza część dowodu opiera się na
równości
Y
xr − 1 =
Φd (x),
d|r
w której Φd ∈ (Z/pZ) [x] oznacza wielomian cyklotomiczny stopnia d.
Niech h ∈ (Z/pZ) [x] będzie nierozkładalnym czynnikiem wielomianu
Φr . Wtedy pierścień F := (Z/pZ) [x]/(h(x)) jest skończonym ciałem
rzędu pd , gdzie d > 1 jest stopniem wielomianu h. Kluczowym punktem
w dowodzie twierdzenia 5.1 jest oszacowanie z dołu i z góry rzędu
podgrupy cyklicznej F generowanej multiplikatywnie przez elementy
x, x + 1, x + 2, . . . , x +
jq
k
φ(r) log2 n ,
przy założeniu, że n nie jest potęgą liczby p. Z oszacowań tych wynika,
że n = p.
Modyfikując test pierwszości AKS, H. W. Lenstra, Jr. i C. Pomerance udowodnili w [27], że istnieje deterministyczny test pierwszości
o złożoności obliczeniowej O (ln n)6+ε , przy dowolnym ε > 0.
Bibliografia
[1] L. M. Adleman, C. Pomerance, R. S. Rumely, On distinguishing prime
numbers from composite numbers, Ann. of Math. 117 (1983), no. 1, 173–206.
[2] M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena, PRIMES is in P, Ann. of Math. 160
(2004), no. 2, 781–793.
[3] Y. F. Bilu, Catalan’s conjecture (after Mihăilescu), Astérisque 294 (2004),
vii, 1–26.
[4] Y. F. Bilu, Catalan without logarithmic forms (after Bugeaud, Hanrot and
Mihăilescu), J. Théor. Nombres Bordeaux 17 (2005), no. 1, 69–85.
[5] R. D. Carmichael, Note on Euler’s ϕ-function, Bull. Amer. Math. Soc. 28
(1922), no. 3, 109–110.
[6] E. Catalan, Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur, J. Reine Angew.
Math. 27 (1844), 192.
[7] J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum
of a prime and the product of at most two primes, Sci. Sinica 16 (1973),
157–176.
[8] P. Erdős, R. L. Graham, Old and new problems and results in combinatorial number theory, Monographies de L’Enseignement Mathématique
[Monographs of L’Enseignement Mathématique], vol. 28, Université de
Genève L’Enseignement Mathématique, Geneva, 1980.
[9] K. Ford, The distribution of totients, Ramanujan J. 2 (1998), no. 1-2,
67–151.
[10] K. Ford, The number of solutions of φ(x) = m, Ann. of Math. 150 (1999),
no. 1, 283–311.
Postęp w teorii liczb w latach 1998–2009
25
[11] K. Ford, S. Konyagin, On two conjectures of Sierpiński concerning
the arithmetic functions σ and φ, Number theory in progress, Vol. 2
(Zakopane-Kościelisko, 1997), de Gruyter, Berlin, 1999, 795–803.
[12] E. Fouvry, H. Iwaniec, Gaussian primes, Acta Arith. 79 (1997), no. 3,
249–287.
[13] J. Friedlander, H. Iwaniec, The polynomial X 2 + Y 4 captures its primes,
Ann. of Math. 148 (1998), no. 3, 945–1040.
[14] D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, Ann. of
Math. 170 (2009), no. 2, 819–862.
[15] D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples II, preprint.
[16] W. T. Gowers, A new proof of Szemerédi’s theorem, Geom. Funct. Anal.
11 (2001), no. 3, 465–588.
[17] B. Green, Roth’s theorem in the primes, Ann. of Math. 161 (2005), no. 3,
1609–1636.
[18] B. Green, T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Ann. of Math. 167 (2008), no. 2, 481–547.
[19] A. Grygiel, Arithmetic patterns which capture the primes, 10th International Workshop for Young Mathematicians Combinatorics (Kraków, 2007),
53–57.
[20] D. R. Heath-Brown, Primes represented by x3 + 2y 3 , Acta Math. 186
(2001), no. 1, 1–84.
[21] H. Iwaniec, Almost-primes represented by quadratic polynomials, Invent.
Math. 47 (1978), 171–188.
[22] H. Iwaniec, Primes represented by quadratic polynomials in two variables,
Acta Arith. 24 (1973/74), 435–459.
[23] K. Inkeri, On Catalan’s problem, Acta Arith. 9 (1964), 285–290.
[24] K. Inkeri, On Catalan’s conjecture, J. Number Theory 34 (1990), no. 2,
142–152.
[25] Ch. Ko, On the Diophantine equation x2 = y n + 1; xy =
6 0, Sci. Sinica 14
(1964), 457–460.
[26] V. A. Lebesgue, Sur l’impossibilité en nombres entiers de l’équation xm =
y 2 + 1, Nouv. Ann. Math. 9 (1850), 178–181.
[27] H. W. Lenstra, Jr., C. Pomerance, Primality testing with Gaussian periods,
preprint.
[28] H. Maier, Small differences between prime numbers, Michigan Math. J. 35
(1988), no. 3, 323–344.
[29] P. Mihǎilescu, A class number free criterion for Catalan’s conjecture, J.
Number Theory 99 (2003), no. 2, 225–231.
[30] P. Mihăilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture,
J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167–195.
[31] P. Ribenboim, Catalan’s conjecture, Academic Press Inc., Boston, MA,
1994.
[32] A. Schinzel, Przegląd osiągnięć teorii liczb w XX wieku, Wiad. Mat. 38
(2002), 179–188.
26
A. Grygiel
[33] A. Schinzel, Remarks on the paper “Sur certaines hypothèses concernant
les nombres premiers”, Acta Arith. 7 (1961/1962), 1–8.
[34] A. Schinzel, W. Sierpiński, Sur certaines hypothèses concernant les nombres
premiers, Acta Arith. 4 (1958), 185–208; erratum 5 (1958), 259.
[35] W. Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, PWN, Warszawa; North
Holland, Amsterdam, 1987.
[36] E. Szemerédi, On sets of integers containing no k elements in arithmetic
progression, Acta Arith. 27 (1975), 199–245.
[37] T. Tao, T. Ziegler, The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, Acta Math. 201 (2008), no. 2, 213–305.
[38] R. Tijdeman, On the equation of Catalan, Acta Arith. 29 (1976), no. 2,
197–209.
[39] J.G. van der Corput, Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten, Math. Ann. 116 (1939), 1–50.
Adam Grygiel
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Łódzki
[email protected]