docwcm_1_3.
download 
Reklamacja Transkrypt
wcm_1_3.
Wymiana ciepła i masy Reologia 19 Mechaniczne modele reologiczne MECHANICZNE MODELE REOLOGICZNE modele ciał doskonałych (liniowe) a) ciało doskonale sprężyste Hooke'a b) ciało doskonale plastyczne St. Venanta c) płyn doskonale lepki Newtona proste ścinanie: τ = Gγ τ = τ0 τ =ηγ • G - moduł sprężystości postaciowej τ0 - granica plastyczności Wymiana ciepła i masy Reologia 20 Mechaniczne modele reologiczne a) sprężyna wydłużenie proporcjonalne do przyłożonej siły przyłożenie i odjęcie siły powoduje natychmiastowy skutek b) suwak wydłużenie następuje gdy siła przekroczy wartość graniczną (siła tarcia statycznego) odjęcie siły nie powoduje powrotu do położenia pierwotnego c) tłumik hydrauliczny przyłożona siła wywołuje stałą szybkość wydłużania odjęcie siły nie powoduje powrotu do położenia pierwotnego model Maxwella całkowite odkształcenie = Σ odkształceń naprężenie w układzie = naprężeniom elementów γ = γ G + γ η τ = τ G = τ η Reologia Wymiana ciepła i masy 21 Mechaniczne modele reologiczne prędkość odkształcenia modelu Maxwella dγ dγ G dγ η = + dt dt dt (a) zachowanie sprężyny dτ dγ =G G dt dt diff → τ = Gγ G zachowanie tłumika τ =η (b) oraz (c) → (a) dγ η (c) dt dγ 1 dτ τ = + dt G dt η równanie Maxwella τ+ η dτ G dt =η dγ dt gdzie λ = η/G - czas charakterystyczny • • τ + λτ = η γ • (b) przy stałym naprężeniu, tj. τ = 0 , równanie Maxwella redukuje się do równania Newtona Wymiana ciepła i masy Reologia 22 Mechaniczne modele reologiczne model Kelvina-Voigta całkowite naprężenie = Σ naprężeń odkształcenie układu = odkształceniom . elementów τ = τ G + τ η γ = γ G = γ η (a) zachowanie sprężyny τ G = Gγ (b) dγ dt (c) zachowanie tłumika τη = η (b) oraz (c) → pierwszej z zależności (a) równanie Kelvina-Voigta τ = Gγ + η dγ dt • τ = Gγ + η γ • dla stałego odkształcenia, tj. γ = 0 , uzyskuje się równanie Hooke'a Reologia Wymiana ciepła i masy Efekty czasowe lepkosprężystości EFEKTY CZASOWE LEPKOSPRĘŻYSTOŚCI relaksacja naprężeń ciecz Maxwella poddana ścinaniu, które nagle zostaje przerwane dγ = 0 ⇒ γ = γ 0 = const dt τ +λ dτ =0 dt rozwiązanie: rozdzielenie zmiennych warunek początkowy: t = t0 τ ∫τ 0 dτ τ =− 1 λ t ∫0 dt ⇒ ⇒ τ = τ0 τ t ln = − λ τ0 równanie relaksacji naprężeń cieczy Maxwella τ (t ) = τ 0 exp(− t / λ ) gdzie: τ0 - naprężenie początkowe (dla t = 0) λ - czas relaksacji charakteryzujący zanikanie naprężeń t→∞ ⇒ t=λ ⇒ τ→0 τ (t ) −1 = e ≈ 0.37 τ0 23 Reologia Wymiana ciepła i masy Efekty czasowe lepkosprężystości τ /τ 0 1.0 0.37 t/λ 1 pełzanie odkształceń ciało Kelvina poddane działaniu naprężenia, które nagle zostaje usunięte dγ τ = 0 ⇒ Gγ + η =0 dt warunek początkowy: ⇒ t=0 γ ∫γ 0 dγ γ =− 1 t λ ∫0 γ = γ0 dt γ t ln = − λ γ0 równanie pełzania (retardacji) odkształceń ciała Kelvina γ (t ) = γ 0 exp(− t / λ ) γ0 - odkształcenie początkowe t→∞ ⇒ γ→0 24 Reologia Wymiana ciepła i masy Efekty czasowe lepkosprężystości dynamiczne efekty czasowe dynamiczne (oscylacyjne) obciążenie (odkształcenie) przebieg zmian odkształcenia przy oscylacyjnym ścinaniu γ = γ 0 sin (ω t ) γ0 - amplituda odkształcenia ω - częstość kołowa oscylacji t - czas szybkość ścinania • • γ = γ 0ω cos(ω t ) = γ 0 cos(ω t ) • γ 0 = γ 0ω - amplituda prędkości ścinania ciało doskonale sprężyste τ = Gγ = Gγ 0 sin (ω t ) = τ 0 sin (ω t ) τ 0 = Gγ 0 - amplituda naprężenia naprężenie zgodne w fazie z odkształceniem 25 Reologia Wymiana ciepła i masy Efekty czasowe lepkosprężystości ciecz doskonale lepka • • τ = η γ = ηγ 0ω cos(ω t ) = η γ 0 cos(ω t ) = τ 0 sin (ω t + π / 2) naprężenie przesunięte względem odkształcenia o π/2 naprężenie zgodne w fazie z szybkością ścinania materiał lepkosprężysty τ = τ 0 sin (ω t + δ ) przesunięcie fazowe 0 <δ <π /2 26 Reologia Wymiana ciepła i masy Efekty czasowe lepkosprężystości rozkład oscylującego naprężenia na składowe τ = τ '+τ " = τ 0 ' sin (ω t ) + τ 0 " cos(ω t ) τ' - naprężenie zgodne w fazie z odkształceniem τ" - naprężenie w "przeciwfazie" z odkształceniem moduł zachowawczy (zdolność do gromadzenia energii) G '= τ0' / γ 0 moduł stratności (zdolność do rozpraszanie energii) G "= τ 0" / γ 0 współczynnik tłumienia tg (δ ) = G " / G ' w ogólnym przypadku G ' = f (ω ) G " = f (ω ) 27
