dyskretyzacja równania 2

Zbigniew Prajs
Dyskretyzacja równania różniczkowego drugiego rzędu
Dany jest układ oscylacyjny o transmitancji
b
G( s) :=
0
T
przy czym
2
a ⋅s + a ⋅s + a
2
1
0
a ≡ (1 2 4 )
wartości współczynników mianownika
b ≡ 10
wartości współczynników licznika
0
u ( t) := 1
Wyznaczyć postać równania różnicowego układu dla wymuszenia skokowego
Z postaci transmitancji operatorowej natychmiast wynika postać równania różniczkowego
a ⋅ y''( t) + a ⋅ y'( t) + a y ( t) = b ⋅ u ( t)
2
1
0
0
Stąd, można bezpośrednio wyznaczyć równanie różnicowe przy uwzględnieniu okresu próbkowania T , tzn:
a
2 (
2
T
⋅ yn − 2⋅ y
n− 1
+y
a
)
+
n− 2
1
T
(
⋅ y −y
n
) + a0⋅ yn = b0⋅ Φ (n)
n− 1
które, po uporządkowaniu, przyjmie postać
⎛⎜ a2 a1
⎞
+
+ a ⎟ ⋅y −
0⎟ n
⎜ T2 T
⎝
⎠
a
⎛⎜ a2 a1 ⎞⎟
2
2⋅
+
⋅y
+
⋅y
= b ⋅u
n
−
1
0 n
⎜ T2 T ⎟
2 n− 2
T
⎝
⎠
lub postać poniższą, "podobną" do postaci pierwotnego równania różniczkowego
a' ⋅ y
2 n− 2
+ a' y
1 n− 1
+ a' ⋅ y = b ⋅ u
0 n
0 n
a
przy czym współczynniki obu równań łączą związki:
a' :=
2
0
T
2
a
+
1
T
+a
0
⎛ a2 a1 ⎞⎟
+
⎜ T2 T ⎟
⎝
⎠
a
a' := −⎜ 2 ⋅
1
a' :=
2
2
T
2
Ogólną postać związku umożliwiajacego bezpośrednie wyznaczanie przybliżonych wartości współczynników
równania różnicowego na podstawie znajomości wartości współczynników równania różniczkowego
przedstawia poniższa zależność:
gdzie
p := 2 - rząd równania
a
j := 0 .. p indeks współczynnika
⎡ ( −1 ) p− j⋅ ( p − i)! 1
⎤
⎢
⋅
⋅a ⎥
⎢ ( p − j)! ⋅ ( j − i)! Tp−i p−i⎥
⎦
i= 0 ⎣
j
a'
p− j
:=
∑
T
a' = ( 7 −10 4 )
Odpowiedż skokowa układu w dziedzinie czasu ma postać
y ( t) := G( s) ⋅
1
s
invlaplace , s
→ 10. − 10.⋅ exp( −.250⋅ t) ⋅ cos( .433⋅ t) − 5.76⋅ exp( −.250⋅ t) ⋅ sin( .433⋅ t)
float , 3
Uwaga: Wymogi Mathcada narzucają konieczność "przesunięcia" dolnego kresu indeksacji współczynników o liczbę
p.
ORIGIN := −p
Natomiast odpowiedź dyskretną układu w dziedzinie czasu dyskretnego wyraża poniższa zależność rekurencyjna
przy liczbie próbek w zakresie
A-D-2rzad.mcd
n := 0 ..
tmax
i czasie obserwacji
T
tmax ≡ 25 oraz warunkach początkowych
y' := 0 y' := 0
−2
2007-05-31
−1
1
b
y' :=
n
0− p
a'
0− p
a'
⋅1 −
1− p
a'
a'
⋅ y'
0− p
n− 1
−
2− p
a'
⋅ y'
0− p
przy okresie impulsowania
n− 2
Zbigniew Prajs
T ≡ 1.
-2
15
10
y( t)
y' =
y'n
5
0
0
5
10
15
20
25
t , n⋅ T
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
1.429
3.469
5.569
7.401
8.82
9.799
10.387
10.668
10.733
10.665
10.532
10.379
10.238
Poprzez zmianę okresu impulsowania T można zbadać zmiany jakościowe i ilościowe dotyczące dokładności
odtwarzania wartości chwilowych przebiegu odpowiedzi czasowej za pomocą przebiegu dyskretnego
otrzymanego metodą bezpośredniego przybliżenie równania różniczkowego równaniem różnicowym przy
zadanej "dostatecznie małej" wartości T .
Metody aproksymacji funkcji ciągłych funkcjami dyskretnymi
substitute , s =
Gb( z) := G( s)
Gf( z) := G( s)
A-D-2rzad.mcd
T⋅ z
z
→ 10.⋅
simplify
substitute , s =
GT( z) := G( s)
z−1
2
różnica funkcji wsteczna (przeciwbieżna)
2
7.⋅ z − 10.⋅ z + 4.
2(z − 1)
T⋅ ( z + 1 )
( z + 1.)
→ 10.⋅
simplify
substitute , s = T( z − 1 )
→
simplify
2
transformacja Tustina
2
21.⋅ z − 30.⋅ z + 13.
10.
różnica funkcji progresywna
2
4.⋅ z − 6.⋅ z + 3.
2007-05-31
2
Metoda dzielenia wielomianów
HGb( z) :=
z
z−1
Zbigniew Prajs
⋅ Gb( z) simplify → 10.⋅
(
z
3
2
( z − 1.) ⋅ 7.⋅ z − 10.⋅ z + 4.
)
Db( z) := denom( HGb( z) ) collect , z → 7.⋅ z − 17.⋅ z + 14.⋅ z − 4.
3
10⋅ z
3
2
=
2
7.⋅ z − 17.⋅ z + 14.⋅ z − 4.
10
7
+
2
170 − 1 1910 − 2 17770 − 3 148230 − 4
⋅z
+
⋅z
+
⋅z
+
⋅z
49
49⋅ 7
343 ⋅ 7
2401⋅ 7
170 2 140
40
⋅z −
⋅z +
7
7
7
_______________________
3
−10⋅ z +
Wartość końcowa z twierdzenia granicznego
170 2 140
40
⋅z −
⋅z +
7
7
7
−
lim
z→1
⎡⎣( z − 1 ) ⋅ HGb( z)⎤⎦ → 10.
170 2 2890
340
680 − 1
⋅z +
⋅z −
+
⋅z
7
49
7
49
_______________________
1910
49
−
1910
49
⋅z −
300
⋅z +
32470
7
+
343
680 − 1
⋅z
49
−
3820 − 1 7640 − 2
⋅z
+
⋅z
49
343
_______________________
17770
343
−
17770
343
−
3140 − 1 7640 − 2
⋅z
+
⋅z
49
343
+
302090 − 1 35540 − 2 71080 − 3
⋅z
−
⋅z
+
⋅z
2401
343
2401
_______________________________
⎛ 148230 ⎞
⎜ 16807 ⎟
⎜
⎟
⎜ 17770 ⎟
⎜ 2401 ⎟
⎜ 1910 ⎟
170 − 1 1910 − 2 17770 − 3 148230 − 4
10
f :=
+
⋅z
+
⋅z
+
⋅z
+
⋅z
coeffs , z → ⎜
⎟
49
7
49⋅ 7
343 ⋅ 7
2401⋅ 7
⎜ 343 ⎟
⎜ 170 ⎟
⎜ 49 ⎟
⎜
⎟
⎜ 10 ⎟
⎝ 7 ⎠
T
f = ( 8.82 7.401 5.569 3.469 1.429 ) <------- wartości pierwszych pięciu próbek
A-D-2rzad.mcd
2007-05-31
3