Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z

Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne
Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat
5 października 2009
1. Co to jest epsilon maszynowy? Napisać schemat algorytmu obliczania w komputerze
epsilona maszynowego.
2. Podać parametry definiujące typ single w standardzie IEEE.
3. Zbadać uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych
x + αy = 1,
αx + y = 0.
Rozwiązujemy ten układ za pomocą eliminacji Gaussa. Przeprowadzić analizę błędów
zaokrągleń dla tego algorytmu. Z jaką dokładnością obliczymy x?
4. Funkcję f ∈ C2 [−1, 1] interpolujemy wielomianem stopnia pierwszego z węzłami interpolacji x0 , x1 ∈ [−1, 1]. Niech
c = max |f ′′ (ξ)|.
ξ∈[−1,1]
Podać oszacowanie reszty interpolacji za pomocą c i węzłów. Jak wybrać x0 i x1 , żeby
zminimalizować to oszacowanie? Z jakim twierdzeniem wiąże się ten wybór węzłów?
5. Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . .+ a0 . Jaką wartość przyjmuje iloraz różnicowy rzędu
n funkcji f dla dowolnych n + 1 różnych węzłów? Wybrać poprawną odpowiedź spośród
następujących odpowiedzi i ją uzasadnić:
(a) n!an ,
(b) an ,
(c) an /n!.
6. Wybrać parametr a tak, by ciąg kolejnych przybliżeń
xk+1 =
axk + 1 − sin xk
,
1+a
x0 = 0.5,
zera funkcji f (x) = 1 − x − sin x był możliwie szybko zbieżny.
7. Udowodnić prawdziwość lub pokazać nieprawdziwość następującego stwierdzenia:
Jeśli 1 = ||A|| > ||B|| to macierz C = A − B jest nieosobliwa.
8. Podać warunek dostateczny (który nie jest warunkiem koniecznym) na to, by macierz
I − B była nieosobliwa.
9. Co wiadomo o numerycznych własnościach eliminacji Gaussa z częściowym wyborem
elementu głównego? Podać jakieś twierdzenie opisujące te własności i napisać, co z tego
twierdzenia wynika.
10. Podać sposób pamiętania liczb zdenormalizowanych w standardzie IEEE.
11. Niech x i y będą dokładnymi rozwiązaniami układu x + αy = 1, αx + y = 0. Zbadać
wrażliwość x na zaburzenia parametru α? Przeprowadzić analizę algorytmu obliczania
x + y w arytmetyce zmiennopozycyjnej.
√
12. Dane są wartości cos 45◦ = 1/ 2 = 0.7071 oraz cos 60◦ = 1/2. Wykorzystać te wartości do wyznaczenia wielomianu w(x) interpolującego funkcję cos x (argument x w
stopniach) i ocenić, z jaką dokładnością w(50◦ ) przybliża wartość cos 50◦ . Czy (i dlaczego) dokładność tego przybliżenia zmieni się, jeśli kąty zamiast w stopniach wyrazimy
w radiach, tzn. zamiast funkcji cos(x) będziemy interpolować funkcję cos tπ? Zatem
50
π za pomocą wartości wielomianu interpolującego
będziemy przybliżać wartość cos 180
cos tπ w węzłach t0 = 1/4, t1 = 1/3 i następującymi wartościami funkcji interpolowanej
cos tπ:
√
cos 14 π = 1/ 2 = 0.7071, cos 31 π = 1/2.
13. Niech wielomian w(x) interpoluje funkcję f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 . Jako węzły
interpolacji wybrano zera wielomianu Czebyszewa stopnia n. Czy reszta interpolacji w
punkcie x∗ ∈ [−1, 1] jest równa
(a) Tn (x∗ )
(b) 2−(n−1)
(c) 2−(n−1) Tn (x∗ ).
Wybrać poprawną odpowiedź i ją uzasadnić, cytując odpowiednie wzory lub twierdzenia.
14. Czy następujący ciąg
xk+1 =
bx2k + 2cxk
c − ax2k
może być zbieżny do rozwiązania r równania ax2 + bx + c = 0? Co będzie jeśli c = 0?
Niech c 6= 0 i niech ar 2 6= c dla rozwiązania r. Jaki jest wówczas wykładnik zbieżności
tej metody?
15. Sformułować twierdzenie o punkcie stałym. Co to jest punkt stały odwzorowania?
16. Korzystając z odpowiedniego twierdzenia podanego na wykładzie, udowodnić następu||A−1 ||
jący wniosek: Jeśli ||A−1 E|| < 1 to ||(A + E)−1 || ¬ 1−||A
−1 E|| .
17. Co to jest wykładnik zbieżności metody iteracyjnej? Jaki wykładnik zbieżności ma metoda siecznych? Jaki jest związek metody siecznych w interpolacją odwrotną?
18. Jak pamięta się w standardzie IEEE najmniejszą liczbę dodatnią w typie single? Co to
jest BIAS?
19. Zbadać wrażliwość pierwiastków trójmianu kwadratowego x2 + x − a na zaburzenia
parametru a > 0.
20. Zaproponować algorytm obliczania większego co do modułu pierwiastka tego trójmianu
i przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń dla zaproponowanego algorytmu.
21. Podać definicję wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a i udowodnić, że jest on jednoznaczny.
22. Do obliczenia zera następujących funkcji stosujemy metodę Newtona:
(a) f (x) = x1/3 , x0 6= 0,
(b) f (x) = xe−x ,
x0 = 2 lub x0 = 40.
Jakie wady lub zalety metody Newtona ilustrują te przykłady?
2
23. Niech A będzie nieosobliwa. Podać warunek dostateczny na to, by macierz
A + ∆ była nieosobliwa. Z jakim twierdzeniem, podanym na wykładzie, wiąże się to
pytanie?
24. Niech A =
"
1
2
1 2.01
#
. Podać, jak teoretycznie może zmienić się rozwiązanie ukła-
du Ax = b, jeśli zamiast b weźmiemy b̃ = b + δb? Jak można oszacować tę zmianę?
Swoje przewidywania, oparte na materiale z wykładu, zweryfikować dla następujących
konkretnych b:
b = [4, 4]T , b = [3, 5].
Jakie stąd wynikają wnioski?
25. Jak w standardzie IEEE w typie single pamięta się NANy i nieskończoność?
26. Dla danych a i b, a2 + b2 > 0, obliczamy x zgodnie z instrukcją x := a2 + ab + b2 .
Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń dla tego algorytmu i dowolnych a, b. Czy
następujący algorytm:
b
3b2
x = (a + )2 +
2
4
jest lepszy? Czy jest numerycznie poprawny?
27. Niech w(x) będzie wielomianem interpolującym funkcję sin x w węzłach interpolacji
x0 = a, x1 = (a + b)/2 i x2 = b. Oszacować reszty interpolacji dla
• [a, b] = [0, π6 ],
• [a, b] = [ π6 , π2 ].
Jaki wniosek wynika z tego przykładu?
28. Niech g : [a, b] → [a, b] będzie odwzorowaniem zwężającym. Udowodnić, że punkt stały
odwzorowanie g w przedziale [a, b] jest jednoznaczny.
29. Niech
f (x) =
2x2 − 3x − 2
,
x−1
g(x) = x − 2 +
xk+1 = g(xk ).
x
.
x−1
Zbadać zbieżność ciągu xk do zera funkcji f . Jaki jest wykładnik zbieżnośći tej metody?
30. Rozważyć układ równań liniowych
"
1
2
1+δ 2
# "
x1
x2
#
=
"
3
3+δ
#
dla malych δ > 0.
Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązania tego układu. Co będzie, gdy
δ → 0? Przyjąć x = [3, 0]T jako obliczone jakąś metodą rozwiązanie tego układu i
wykonać jeden krok (iterację) iteracyjnego poprawiania.
31. Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 . Jaką wartość przyjmuje iloraz różnicowy
f [x0 , . . . , xn ] dla dowolnych n + 1 parami różnych węzłów xj ? Odpowiedź uzasadnić.
3
32. Pokazać, że zamiana zmiennych
x=
b+a
b−a
t+
2
2
przekształca przedział −1 ¬ t ¬ 1 na przedział a ¬ x ¬ b. Niech tk będą pierwiastkami
wielomianu Czebyszewa Tn+1 (t) i niech xk = 12 (b − a)tk + 12 (b + a). Uzasadnić, dlaczego
b − a n+1
max |(x − x0 ) . . . (x − xn )| = 2
a¬x¬b
4
.
33. Do wyznaczenia rozwiązania równania 2x − 5x + 2 = 0 stosujemy metodę iteracyjną
xi+1 =
2 + 2xi
,
5
x0 = 0.
Czy ten ciąg jest monotonicznie zbieżny do rozwiązania? Dlaczego? Zlokalizować graficznie rozwiążanie tego równania.
34. Porównać czas obliczania wartości wielomianu interpolacyjnego z wzoru Newtona i z
wzoru Lagrange’a. Zakładamy, że czasy mnożenia i dzielenia są pięć razy dłuższe od
czasu dodawania i odejmowania.
35. Do obliczenia zera funkcji f (x) = xe−x stosujemy metodę Newtona. Rozpatrzyć dwa
sposoby wyboru przybliżenia początkowego x0 = 2 i x0 = 40. Jak zachowuje się metoda
Newtona dla tych przybliżeń początkowych?
36. Niech g będzie odwzorowaniem zwężającym ze stała Lipschitza L i niech r będzie punktem stałym odwzorowania g. Niech xi+1 = g(xi ). Wiadomo, że
|xi+1 − xi | ¬ Li |x1 − x0 |.
Korzystają z nierówności
|xi+j − xj | ¬ |xi+j − xi+j−1 | + . . . + |xj+1 − xj |,
udowodnić, że
|xi+j − xj | ¬
Czy stąd wynika, że
|r − xi | ¬
Lj
|x1 − x0 |.
1−L
Li
|x1 − x0 |?
1−L
37. Niech wielomian w(x) interpoluje funkcję f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 w węzłach
interpolacji będących pierwiastkami wielomianu Czebyszewa Tn (x) stopnia n. Podać
wzór na resztę interpolacji f (x) − w(x) w punkcie x∗ ∈ [−1, 1], wykorzystując fakt, że
węzły interpolacji są pierwiastkami wielomianu Czebyszewa. Czy tym wzorem może być
któreś z poniższych wyrażeń:
Tn (x∗ ),
2−(n−1) ,
2−(n−1) Tn (x∗ ).
Odpowiedź zasadnić, cytując odpowiednie wzory lub twierdzenia.
4
38. Niech funkcja f (x) ma przeciwne znaki na końcach przedzialu [a, b] i niech jej druga
pochodna nie zmienia znaku w przedziale [a, b]. Założenia te występują w pewnym
twierdzeniu o zbieżności metody Newtona. Co jeszcze w tym twierdzeniu zakłada się,
aby mieć gwarancję zbieżności metody Newtona do jednoznacznego zera funkcji f w
przedziale [a, b] dla dowolnego x0 ∈ [a, b]? Niech c > 0, f (x) = x2 − c. Niech końce
przedziału [a, b] spełniają warunki
1<a<
√
c,
b>
1
c
a+
.
2
a
Sprawdzić, czy funkcja f spełnia na przedziale [a, b] wszystkie założenia powyższego
twierdzenia.
√
39. Chcemy obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia r = 3 17 z dokładnością ±10−7 , rozwiązując równanie x3 − 17 = 0 za pomocą metody Newtona. Ocenić, ile iteracji musimy
wykonać? Jak wybrać przybliżenie początkowe?
40. Uzasadnić następujący związek rekurencyjny spełniany przez wielomiany Czebyszewa
stopnia parzystego
T2n+2 (x) = 2(2x2 − 1)T2n (x) − T2n−2 (x).
41. Niech g(x) = x/2 + 1/x. Zbadać zbieżność ciągu xi+1 = g(xi ), x0 = 1, korzystając z
twierdzenia o punkcie stałym.
42. Podać schemat algorytmu obliczania wartości wielomianu interpolacyjnego stopnia ¬ n
podanego w postaci Newtona. Zakładamy, że ilorazy różnicowe, występujące we wzorze
Newtona, są już wyznaczone i są zapamiętane w tablicy c.
√
43. Niech h(x) = 1 + x2 . Do wyznaczenia zera pochodnej funkcji h, czyli do rozwiązania
równania h′ (x) = 0 stosujemy metodę Newtona. Zbadać zbieżność metody Newtona
dla przybliżenia początkowego x0 spełniającego warunek |x0 | < 1 oraz dla przybliżenia
początkowego spełniającego warunek |x0 | > 1.
44. Napisać schemat algorytmu wyznaczania ilorazów różnicowych, które występują we wzorze Newtona na wielomian interpolacyjny Lagrange’a z węzłami interpolacji x0 , . . . , xn .
45. Udowodnić, że wielomian interpolacyjny Lagrange’a oparty na węzłach interpolacji x0
i x1 przybliża funkcję f z błędem nieprzekraczającym 81 (x1 − x0 )2 M . Czemu równa się
M ? Niech h = x1 − x0 . Jak mała musi być odległość h między węzłami interpolacji
x0 i x1 , aby wielomian interpolacyjny przybliżał funkcję f (x) = sin x z błędem nie
przekraczającym 12 × 10−6 ?
√
46. Udowodnić, że metoda obliczania r za pomocą wzoru
xi+1 =
xi (x2i + 3r)
3x2i + r
ma rząd równy 3.
47. Sformułować twierdzenie o punkcie stałym. W którym z przedziałów
funkcja g(x) =
√
1
[ , ∞),
2
1
[ , 1],
8
1
[ , 2],
4
x jest zwężająca?
5
[0, 1],
1 3
[ , ]
5 2
48. Wyznaczyć wskaźniki uwarunkowania zadania obliczania mniejszego pierwiastka wielomianu x2 − 2rx + s2 . Kiedy to zadanie jest źle uwarunkowane?
49. Niech f (x) = 1/(3 + x) i niech [a, b] = [−1, 1]. Porównać oszacowanie reszty interpolacji
dla funkcji f na przedziale [a, b] dla dwóch przypadków wyboru węzłów interpolacji:
(a) x0 = −1, x1 = 1
(b) x0 i x1 - pierwiastki wielomianu Czebyszewa T2 (x).
50. Niech
A=
"
0.005 1
1
1
#
,
b = [0.5, 1]T .
Czy zadanie rozwiązania układu równań liniowych Ax = b jest dobrze uwarunkowane?
Od czego zależy wrażliwość rozwiązania układu na zaburzenia elementów macierzy A?
Niech y będzie rozwiązaniem układu (A+∆)y = b. Podać oszacowanie błędu względnego
||x − y||/||x||.
51. Czy można tak dobrać stałe A1 , A2 , A3 , żeby dla dowolnego wielomianu w stopnia ¬ 5
zachodziła równość
Z
1
−1
w(x)
√
dx = A1 w(−1) + A2 w(0) + A3 w(1)?
1 − x2
Odpowiedź uzasadnić.
52. Niech f (x) = 1/x. Na przedziale [1, 2] wyznaczyć wielomian optymalny stopnia pierwszego, aproksymujący funkcje f w sensie aproksymacji średniokwadratowej, waga p(x) =
1.
53. Sformułować twierdzenia będące podstawą odpowiedzi. Dlaczego tę metodę można było
zastosować? Czy wyznaczony wielomian optymalny jest jednoznaczny? Dlaczego?
54. Wiadomo, że funkcja f (x) = 2x − [cos x]2 ma zero r ≈ 0.42. Czy ciąg
1
xi+1 = [cos xi ]2
2
jest zbieżny do r? Dlaczego? Czy przybliżenie początkowe x0 może być dowolne?
55. Znaleźć błąd, z jakim wyrażenie
1
[f (x + 2h) − 4f (x + h) + 6f (x) − 4f (x − h) + f (x − 2h)]
h4
przybliża czwartą pochodną f (IV ) (x).
56. Jak obliczyć w komputerze y = x/(1 − x2 )? Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń
zaproponowanego algorytmu i zbadać uwarunkowanie zadania obliczania y. Jaki stąd
otrzymujemy wniosek?
57. Niech h(x) = af (x) + bg(x) (a i b są ustalonymi liczbami). Niech dane będą różne węzły
interpolacji x0 , x1 , . . . , xn . Niech wielomiany w(x) i u(x), stopnia ¬ n, interpolują w
tych węzłach odpowiednio funkcje f (x) i g(x): w(xj ) = f (xj ), u(xj ) = g(xj ) (j =
0, 1, . . . , n). Dlaczego stąd wynika następujący związek między ilorazami różnicowymi
h[x0 , . . . , xn ] = af [x0 , . . . , xn ] + bg[x0 , . . . , xn ]? Czy resztę interpolacji dla funkcji f
można wyrazić za pomocą odpowiedniego ilorazu różnicowego?
6
58. Wyznaczyć wskaźnik wzrostu (growth factor) dla eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego zastosowanej do rozwiązania układu Ax = b z macierzą


10 1 1


A =  1 10 1  .
1 1 10
Sformułować twierdzenie, w którym występuje wskaźnik wzrostu.
59. Aproksymujemy funkcję f ∈ C[−1, 1] w sensie normy
||f ||2 =
sZ
1
−1
(1 − x2 )−1/2 f 2 (x)dx.
Wyrazić n−ty wielomian optymalny dla f za pomocą wielomianów Czebyszewa. Sformułować twierdzenie, z którego wynika odpowiedź.
√
60. Niech f (x) = 1 − x2 . Zbadać, czy zmodyfikowana metoda Newtona
xk+1 = xk − τ
f (xk )
f ′ (xk )
może być zastosowana do wyznaczenia zera funkcji f . Rozważyć parametr τ ∈ [0, 1].
Dla jakiego τ zbieżność będzie kwadratowa?
1
61. Pokazać, że błąd, z jakim wyrażenie 12h
[−f (x + 2h) + 8f (x + h) − 8f (x − h) + f (x − 2h)]
′
przybliża pierwszą pochodną f (x), zależy od h4 .
62. Dany jest układ równań x+dy = 1, dx+y = 0. Wyrazić niewiadome x i y jako funkcje
parametru d i zbadać, czy x i y są tak samo wrażliwe na zaburzenia parametru d.
63. Niech x będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ax = b, A - macierz nieosobliwa, b 6= 0.
Niech y będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ay = c. Udowodnić, że
||x − y||2
||c − b||2
¬ cond2 (A)
.
||x||2
||b||2
Czy można podać jakieś inne lepsze oszacowanie błędu względnego ||x − y||/||x|| (tzn.
nie przekraczające podanego powyżej oszacowania z góry)?
64. Niech a > 0. Udowodnić, że ciąg
xi+1 =
jest zbieżny do
√
a
1
xi +
2
xi
a dla dowolnego x0 > 0. Jaki jest wykładnik zbieżności tej metody?
65. Wyznaczyć stałe a, b, c, żeby wyrażenie
s
Z
0
1
√
[x x − ax2 − bx − c]2 dx
miało najmniejszą możliwą wartość. Sformułować twierdzenie, które jest podstawą zastosowanej metody.
7
66. Wyprowadzić wzór na błąd, z jakim wyrażenie
1
[f (x + 2h) − 2f (x + h) + 2f (x − h) − f (x − 2h)]
2h3
przybliża trzecią pochodną f ′′′ (x).
2
2
67. Niech z = f (x, y) = x+y
s = g(x, y) = xx2 +y
x−y ,
−y 2 . Porównać uwarunkowania zadań
obliczania wartości s i z. Kiedy te zadania są dobrze uwarunkowane?
68. Zbadać uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b z macierzą
"
#
1
1
A=
.
1 0.999
Niech y będzie rozwiązaniem układu Ay = b + ∆. Podać oszacowanie błędu względnego
||x−y||/||x||. Wybrać normę wektora zgodną z normą macierzy wybraną przy obliczaniu
wskaźnika uwarunkowania.
69. Zbadać, czy funkcja
generuje
√ ciąg xi+1
x0 > 2.
x 1
g(x) = +
2 x
√
= g(xi ) zbieżny do 2 dla, na przykład, przybliżenia początkowego
70. Niech funkcja f przyjmuje w punktach xj = j (j = 1, 2, 3, 4, 5) odpowiednio wartości
2, 1, 1, 2, 0. Wyznaczyć takie stałe a, b, c, dla których wyrażenie
5
X
[ax2k + bxk + c − f (xk )]2
k=1
przyjmuje najmniejszą możliwą wartość. Czy te stałe są określone jednoznacznie? Z
jakiego twierdzenia wynika odpowiedź?
71. Znaleźć błąd, z jakim wyrażenie
trzecią pochodną f ′′′ (x).
1
h3 [f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x)]
przybliża
72. Metodą eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementów głownych rozwiązać układ
równań liniowych Ax = b, gdzie


−9 1 17


A =  3 2 −1  ,
6 8 1
b = [5, 9, −3]T .
Uwaga. Zamiast wykonywania ręcznych obliczeń można podać schemat algorytmu w
pseudokodzie.
73. Niech funkcja f ma ciągłą pierwszą pochodną i niech istnieje jej druga pochodna w pewnym otoczeniu zera r. Niech iteracyjna metoda Newtona będzie zbieżna do pojedyńczego
pierwiastka r funkcji f dla dowolnego przybliżenia początkowego x0 z odpowiedniego
otoczenia pierwiastka r. Udowodnić, że ciąg kolejnych przybliżeń xi wyznaczonych metodą Newtona jest zbieżny kwadratowo, tzn.
|f ′′ (r)|
|xi+1 − r|
.
=
i→∞ |xi − r|2
2|f ′ (r)|
lim
8
74. Niech f (x) = 12 (ex − e−x ). Niech wielomian w(x) interpoluje funkcję f w n różnych
węzłach z przedziału [−1, 1] i niech zero będzie jednym z tych węzłów. Pokazać, że dla
x ∈ [−1, 1] mamy
2n
|f (x) − w(x)| ¬
|f (x)|.
n!
75. Niech x0 , x1 , . . . , xn będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Niech w(x) interpoluje funkcję f (x) w tych węzłach. Pokazać, że współczynnik w wielomianie w(x) przy xn jest
równy
n
X
Y
f (xk )
j=0,j6=k
k=0
(xk − xj )−1
Korzystając z własności wielomianu interpolacyjnego, pokazać, że dla dowolnego wielomianu q stopnia ¬ n − 1 mamy
n
X
k=0
q(xk )
Y
j=0,j6=k
(xk − xj )−1 = 0.
76. Czym różnią się dwa pojęcia: uwarunkowanie zadania i algorytm numerycznie poprawny
(stabilny)? Zilustrować to na przykładzie obliczania pierwiastków trójmianu kwadratowego x2 + 2px + q, w którym p2 − q > 0.
77. Korzystając z postaci Newtona i postaci Lagrange’a dla wielomianu interpolacyjnego
w(x) (stopnia ¬ n), spełniającego warunki
w(xk ) = f (xk )
dla k = 0, 1, . . . , n,
wyrazić explicite iloraz różnicowy f [x0 , . . . , xn ] za pomocą f (xk ) i xk dla k = 0, . . . , n.
78. Funkcję f (x) = e−x interpolujemy wielomianem stopnia 20 na przedziale [0, 2]. Oszacować |f (x) − w(x)| dla x ∈ [0, 2].
79. Niech
A=
"
2 1
1 2
#
.
Obliczyć normę spektralną macierzy A i A−1 .
80. Na czym polega i jaką rolę odgrywa skalowanie układu równań liniowych? Co na ten
temat podano na wykładzie?
81. Gdzie leżą pierwiastki rzeczywiste wielomianu w(x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 15? Narysować
wykres tego wielomianu. Przeanalizować zachowanie się metody Newtona, zastosowanej
do obliczenia pierwiastków wielomianu w(x). Rozważyć przybliżenia początkowe
x0 = 3,
x0 > 3,
x0 < 3.
82. Wyznaczyć współczynniki paraboli y = ax2 + b, która najlepiej przybliża zbiór punktów
(−1, 3.1), (0, 0.9), (1, 2.9) w sensie najmniejszych kwadratów. Jak można to zadanie
(polecenie) sformułować za pomocą wzorów? Uwaga. Powyższe punkty interpretujemy
jako pary xk i yk = f (xk ).
9
83. Niech wielomian ortogonalny Legendre’a L(x), stopnia n, będzie tak unormowany, że
ma wspólczynnik równy 1 przy najwyższej potędze: L(x) = xn + . . .. Udowodnić, że dla
każdego wielomianu monicznego w(x), stopnia n, zachodzi nierówność:
Z
1
−1
2
L(x) dx ¬
Z
1
−1
2
w(x) dx
84. Niech wielomian w(x) stopnia 1 interpoluje funkcję f = 1/(3+x) w węzłach Czebyszewa
x0 i x1 (co to są węzły Czebyszewa?). Oszacować
max |(x − x0 )(x − x1 )|
[−1,1]
oraz resztę interpolacji (jakim wzorem ona sie wyraża?). Wyznaczyć wielomian interpolujący. Co zyskujemy stosując węzły Czebyszewa?
85. Zbadać uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych o macierzy układu
"
#
1 1
A=
oraz b = [1, 1]T .
1 ǫ
Podać wzór i obliczyć wskaźnik uwarunkowania tego zadania dla normy Frobeniusa. Co
będzie, jak ǫ będzie bliskie zera?
86. Wyznaczyć wielomian w(x) stopnia ¬ 1 najlepiej aproksymujący w sensie najmniejszych
kwadratów na zbiorze
S = {x1 , x2 , x3 , x4 },
gdzie xj = j, funkcję f (x) o wartościach
f (x1 ) = 0,
f (x2 ) = 2,
f (x3 ) = 1,
f (x4 ) = 1.
87. Niech c > 0. Czy ciąg
1
c
, x0 − dane
xi +
2
xi
√
jest zbieżny do c? Jeśli tak, to czy wykładnik zbieżności jest równy 2?
xi+1 =
88. Niech xi = a + (i − 1)h, h = (b − a)/(n − 1), 1 ¬ i ¬ n. Wiadomo, że złożony wzór
trapezów ma postać:
Z
b
a
f (x)dx =
n b−a
hX
f (xi ) + f (xi+1 ) −
h2 f ′′ (ξ).
2 i=2
12
Jak duże musi być n, żeby całkę
1
sin x
dx
x
0
obliczyć z tego wzoru z błędem mniejszym niż 10−4 ?
Z
89. Niech w(x) będzie wielomianem interpolującym funkcję f (x) w węzłach x0 , . . . , xn i
niech
Y x − xj
lk (x) =
x − xj
j6=k k
Udowodnić, że
f (x) − w(x) =
n X
i=0
10
f (x) − f (xi ) li (x).
90. Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń w arytmetyce zmniennopozycyjnej fl następującego algorytmu:
2x
y=
.
(1 − x)(1 + x)
91. Wyznaczyć współczynniki a i b tak, by wielomian w(x) = ax+b najlepiej aproksymował
w sensie najmniejszych kwadratów na zbiorze S = {1, 2, , 3} funkcję f o wartościach:
f (1) = −1,
f (2) = 1,
f (3) = 0.
92. Czy taki wielomian jest jednoznacznie określony? Z czego wynika odpowiedź?
93. Niech f ∈ C 2 [−1, 1]. Funkcję f interpolujemy wielomianem stopnia ¬ 1, mając węzły xi
oraz wartości f (xi ) dla i = 0, 1. Zakładamy, że
x0 , x1 ∈ [−1, 1].
Niech
α=
1
max |f ”(ξ)|
2 ξ∈[−1,1]
max |x − x0 | |x − x1 |.
x∈[−1,1]
Jak wybrać x0 i x1 , by α było możliwie małe? Czy (i jaki) istnieje związek między
(x − x0 )(x − x1 ) i wielomianami Czebyszewa?
94. Wyznaczyć trzy pierwsze wielomiany L0 , L1 , L2 ortogonalne na przedziale [−1, 1] z wagą p(x) = 1. Jaki jest między nimi związek rekurencyjny? Co to znaczy, że one są
ortognalne?
95. Niech A będzie macierzą nieosobliwa. Niech x i y będą dokładnymi rozwiązaniami odpowiednio układów Ax = b i Ay = c, przy czym b 6= 0. Podać oszacowanie błędu
względnego
||x − y||2
.
||x||2
Zbadać realistyczność tego oszacownia (tzn. obliczyć faktyczny błąd względny i porównać jego wartość z oszacowaniem) na przykładzie macierzy
A=
"
1
2
1 2.01
#
i b = [4, 4]T i c = [3, 5]T .
96. Zastosować wzór złożony trapezów do obliczenia całki z funkcji
sin x
x
na przedziale [0, 1] z błędem mniejszym niz 10−4 . Na ile poprzedziałów trzeba podzielić
przedział [0, 1]? Jaki jest wzór na błąd złożonej kwadratury trapezów?
97. Niech f (x) = xn . Niech x0 , x1 , . . . , xn będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Korzystając z własności wielomianowej interpolacji Lagrange’a i definicji ilorazów różnicowych
udowodnić, że
(a) iloraz różnicowy f [x0 , x1 , . . . , xn ] jest równy 1,
11
(b) a iloraz różnicowy f [x0 , x1 , . . . , xn−1 ] jest równy sumie
n−1
xk .
Σk=0
98. Co to jest epsilon maszynowy? Napisać schemat algorytmu obliczania w komputerze
epsilona maszynowego.
99. Co to jest rząd kwadratury? Jakiego rzędu jest poniższa kwadratura
1
1 1 f (x)dx = f − √ + f √ + E?
3
3
−1
Z
(E oznacza błąd kwadratury).
100. Niech
f (x) = xn
i niech x0 , x1 , . . . , xn będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Czy
w(x) = xn
jest wielomianem interpolującym funkcję f (x) w węzłach x0 , . . . , xn ? Dlaczego? Korzystając z definicji ilorazów różnicowych udowodnić, że iloraz różnicowy f [x0 , x1 , . . . , xn ]
dla funkcji f (x) = xn jest równy 1.
101. Niech α będzie 2−krotnym zerem funkcji f (x). Co można powiedzieć o szybkości zbieżności metody Newtona zastosowanej do wyznaczenia zera α funkcji f ? Czy poniższa
metoda będzie miała w tym przypadku większy wykładnik zbieżności
xn+1 = xn − 2
f (xn )
f ′ (xn )
niż metoda Newtona? Dlaczego?
102. Opisać algorytm wyznaczania najlepszej aproksymacji średniokwadratowej funkcji f (x) =
x3 na przedziale [−1, 1] za pomocą wielomianów stopnia ¬ 2 (waga jest równa jeden).
Z jakiego twierdzenia wynika ten algorytm? Czy ta najlepsza aproksymacja jest jednoznaczna? Dlaczego?
103. Niech
A=
"
−10−5 1
2
1
#
,
b = [1, 0]T .
Obliczyć wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązania układu Ax = b dla wybranej
przez siebie normy macierzy. Dokładne rozwiązanie układu Ax = b jest równe
x1 = 0.4999975...,
x2 = 0.999995....
Rozwiązać układ Ax = b za pomocą eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego
w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej z 4-cyfrową mantysą. Co zadecydowało o
błędzie, jakim jest obarczone obliczone rozwiązanie - zastosowany algorytm czy uwarunkowanie zadania? Czy wybór elementu głównego poprawiłby dokładność obliczonego
wyniku? Dlaczego?
12
√
104. Niech ||f || = < f, f >. Udowodnić następującą własność normy określonej za pomocą
iloczynu skalarnego: ||f + g||2 + ||f − g||2 = 2(||f ||2 + ||g||2 ).
105. Wyznaczyć najlepszą aproksymację w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f o wartościach f (−1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1 na zbiorze punktów {−1, 0, 1} za pomocą wielomianów stopnia ¬ 1. Sformułować twierdzenie, które jest uzasadnieniem dla wybranej
metody.
106. Dane są trzy wielomiany stopnia pierwszego, przybliżające funkcję f = 1/(3 + x) na
przedziale [−1, 1]. Są to:
(a) (6 − 2x)/17
(b) √18 − x8
(c) (3 − x)/8.
Czy któryś z tych wielomianów jest wielomianem optymalnym w sensie aproksymacji
średniokwadratowej? Dlaczego?
√
107. Niech norma będzie zdefiniowana za pomocą iloczynu skalarnego: ||f || = < f, f >.
Udowodnić, że jeśli < f, g >= 0, to ||f + g||2 = ||f ||2 + ||g||2 .
108. Wyznaczyć najlepszą aproksymacje średniokwadratową funkcji ex na przedziale [0, 1] za
pomocą wielomianów stopnia ¬ 2 względem normy związanej z iloczynem skalarnym
< f, g >=
Z
1
f (x)g(x)dx.
0
Do obliczenia odpowiednich całek zastosować całkowanie przez części. Sprawdzić, że
całka nieoznaczona z funkcji x2 ex jest równa (x2 − 2x + 2)ex , a z funkcji xex jest równa
xex − ex .
109. Niech λ będzie liczbą rzeczywistą, f, g wektorami z przestrzeni liniowej, w której jest
określony iloczyn skalarny. Wyrazić iloczyn skalarny < f + λg, f + λg > za pomocą
norm f i g oraz iloczynu slakarnego < f, g >.
110. Niech
1
1/2
1
.
f (x)f (x)dx
1 − x2
−1
Jakim wzorem wyraża się optymalny wielomian stopnia n ¬ 2 aproksymujący funkcję
sin x względem normy || · ||2 . Sformułować twierdzenie, które uzasadnia odpowiedź.
||f ||2 =
Z
√
111. Niech
< f, g >
Z
1
f (x)g(x)dx.
−1
Niech wielomiany pk , k = 0, 1, . . . , będą ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego,
p0 (x) = 1, p1 (x) = x − a1 . Niech p2 (x) = (x − a2 )p1 (x) − b2 p0 (x). Udowodnić, że
współczynnik b2 jest dodatni.
112. Niech f (x) = 1/(x+1). Dane są punkty x0 = 1, x1 = 0.75, x2 = 0.25, x3 = 0. Wyznaczyć
wielomian w(x) stopnia n ¬ 1, dla którego wyrażenie
3 h
X
k=0
i2
f (xk ) − w(xk )
13
przyjmuje najmniejszą wartość. Z jakiego twierdzenia wynika zastosowana metoda wyznaczania wielomianu optymalnego?
113. Udowodnić, że jeśli układ {g1 , g2 , . . . , gn } jest ortonormalny, to
||Σnk=1 ak gk ||2 = Σnk=1 a2k .
Uwaga. Norma jest zdefiniona przez iloczyn skalarny: ||f || =
√
< f, f >.
114. Dane są wartości f (−1) = 1, f (0) = 2, f (1) = 4. Wyznaczyć wielomiany stopnia n = 1 i
stopnia n = 2 aproksymujące funkcję f w sensie najmniejszych kwadratów. Czy któryś
z nich jest jednocześnie wielomianem interpolującym Lagrange’a? Dlaczego? Odpowiedzieć na to dodatkowe pytanie bez wykonywania obliczeń.
115. Niech wielomiany p0 i p1 będą ortogonalne, tzn. < p0 , p1 >= 0. Niech wielomian p2 (x) =
(x − a2 )p1 (x) − b2 p0 (x) będzie prostopadły do wielomianow p0 i p1 . Wyprowadzić wzory
na współczynniki a2 i b2 .
116. Niech funkcja f będzie liniową kombinacją wielomianów Czebyszewa f = a0 T0 + a1 T1 +
. . . + an+1 Tn+1 . Czy w(x) jest najlepszą aproksymacją średniokwadratową dla funkcji f
względem normy
1/2
Z 1
1
√
?
f (x)f (x)dx
||f ||2 =
1 − x2
−1
Dlaczego?
117. Wyznaczyć wskaźniki uwarunkowania zadania obliczania mniejszego pierwiastka wielomianu x2 − 2rx + s2 . Kiedy to zadanie jest źle uwarunkowane?
118. Niech f (x) = 1/(3 + x) i niech [a, b] = [−1, 1]. Porównać oszacowanie reszty interpolacji
dla funkcji f na przedziale [a, b] dla dwóch przypadków wyboru węzłów interpolacji:
(a) x0 = −1, x1 = 1
(b) x0 i x1 - pierwiastki wielomianu Czebyszewa T2 (x).
119. Wiadomo, że funkcja f (x) = 2x − [cos x]2 ma zero r ≈ 0.42. Czy ciąg
1
xi+1 = [cos xi ]2
2
jest zbieżny do r? Dlaczego? Czy przybliżenie początkowe x0 może być dowolne?
120. Jak obliczyć w komputerze y = x/(1 − x2 )? Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń
zaproponowanego algorytmu i zbadać uwarunkowanie zadania obliczania y. Jaki stąd
otrzymujemy wniosek?
121. Niech h(x) = af (x) + bg(x) (a i b są ustalonymi liczbami). Niech dane będą różne węzły
interpolacji x0 , x1 , . . . , xn . Niech wielomiany w(x) i u(x), stopnia ¬ n, interpolują w
tych węzłach odpowiednio funkcje f (x) i g(x): w(xj ) = f (xj ), u(xj ) = g(xj ) (j =
0, 1, . . . , n). Dlaczego stąd wynika następujący związek między ilorazami różnicowymi
h[x0 , . . . , xn ] = af [x0 , . . . , xn ] + bg[x0 , . . . , xn ]? Czy resztę interpolacji dla funkcji f
można wyrazić za pomocą odpowiedniego ilorazu różnicowego?
14
122. Aproksymujemy funkcję f ∈ C[−1, 1] w sensie normy
||f ||2 =
sZ
1
−1
(1 − x2 )−1/2 f 2 (x)dx.
Wyrazić n−ty wielomian optymalny dla f za pomocą wielomianów Czebyszewa. Sformułować twierdzenie, z którego wynika odpowiedź.
123. Dany jest układ równań x+dy = 1, dx+y = 0. Wyrazić niewiadome x i y jako funkcje
parametru d i zbadać, czy x i y są tak samo wrażliwe na zaburzenia parametru d.
124. Niech x będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ax = b, A - macierz nieosobliwa, b 6= 0.
Niech y będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ay = c. Udowodnić, że
||x − y||2
||c − b||2
¬ cond2 (A)
.
||x||2
||b||2
Czy można podać jakieś inne lepsze oszacowanie błędu względnego ||x − y||/||x|| (tzn.
nie przekraczające podanego powyżej oszacowania z góry)?
125. Niech a > 0. Udowodnić, że ciąg
xi+1 =
jest zbieżny do
√
a
1
xi +
2
xi
a dla dowolnego x0 > 0. Jaki jest wykładnik zbieżności tej metody?
126. Wyznaczyć stałe a, b, c, żeby wyrażenie
s
Z
0
1
√
[x x − ax2 − bx − c]2 dx
miało najmniejszą możliwą wartość. Sformułować twierdzenie, które jest podstawą zastosowanej metody. wielomianami stopnia ¬ 2.
2
2
s = g(x, y) = xx2 +y
127. Niech z = f (x, y) = x+y
. Porównać uwarunkowania zadań
x−y ,
−y 2
obliczania wartości s i z. Kiedy te zadania są dobrze uwarunkowane?
128. Niech funkcja f będzie aproksymowana wielomianem stopnia ¬ n na zbiorze n+2 punktów w sensie Czebyszewa (aproksymacja jednostajna). Jakie warunki interpolacyjne
spełnia wielomian optymalny i jak dzięki temu można go wyznaczyć bez rozwiązywania
odpowiedniego układu równań liniowych?
129. Zbadać, czy funkcja
generuje
√ ciąg xi+1
x0 > 2.
x 1
g(x) = +
2 x
√
= g(xi ) zbieżny do 2 dla, na przykład, przybliżenia początkowego
130. Niech
A=
"
2 1
1 2
Obliczyć normę spektralną macierzy A i A−1 .
15
#
.
131. Wielomian f (x) = x2 − x − 2 ma dwa pierwiastki: r1 = 2 i r2 = −1. Te pierwiastki
chcemy wyznaczyć za pomocą metody iteracyjnej
xk+1 = g(xk ).
Do wyboru mamy następujące funkcje g:
g(x) = x2 − 2,
g(x) =
√
x + 2,
g(x) = 1 +
2
,
x
g(x) =
x2 + 2
.
2x − 1
Zbadaj, czy ciągi generowane za pomocą tych funkcji g są zbieżne do pierwiastka r1 .
Jeśli tak, to jak szybko? Wystarczy rozpatrzyć dwie z powyższych czterech funkcji g.
132. Niech f (x) = x2 − sin (x). Graficznie zlokalizuj zero funkcji f i wyjaśnij, czy można do
jego wyznaczenia zastosować metodę Newtona. Podaj jakieś własności metody Newtona.
Czy szybkości zbieżności metody Newtona zależy od krotności zera funkcji? Jak to
uzasadnić?
133. Niech r będzie pierwiastkiem wielomianu w(x). Napisać w pseudokodzie algorytm obliczania ilorazu w(x)/(x − r) za pomocą prostego algorytmu Hornera.
√
134. Niech f (x) = x2 −a, gdzie a > 0. Zero funkcji f , czyli a, chcemy wyznaczyć za pomocą
metody iteracyjnej xk+1 = g(xk ). Do wyboru mamy następujące funkcje g:
g(x) = a + x − x2 ,
g(x) = 1 + x −
x2
.
a
√
Zbadaj, czy ciągi generowane za pomocą tych funkcji g są zbieżne do pierwiastka a.
Jeśli tak, to jak szybko? Czy jest to szybsza zbieżność niż zbieżność metody Newtona?
Dlaczego?
135. Co to jest macierz Grama i jakie ma własności? Co to jest macierz Vandermonde’a?
Przy okazji jakich problemów pojawiły się na wykadzie te macierze?
136. Wyznaczyć wielomian w(x) = c1 x + c2 x3 aproksymujący funkcję sin (x) na przedziale
[−π, π] w sensie aproksymacji średniokwadratowej (waga jest równa 1).
137. Wyznaczyć wielomian stopnia 3 aproksymujący funkcję
√ arc cos(x) na przedziale [−1, 1]
w sensie aproksymacji średniokwadratowej, z wagą 1/ 1 − x2 .
138. Niech f (x) = xg(x). Uzasadnić następujący związek między ilorazami różnicowymi
f [x0 , x1 , . . . , xn ] = xn g[x0 , x1 , . . . , xn ] + g[x0 , x1 , . . . , xn−1 ].
139. Na przedziale [0, 2π] skonstruowano wielomiany interpolacyjne Lagrange’a pierwszego
stopnia dla funkcji f (x) = sin (x) i funkcji g(x) = cos (x), wybierając jako węzły interpolacji x0 = π4 , x1 = 5π
4 . Wartość tych wielomianów w punkcie 3π/4 lepiej przybliża
funkcję f czy g, odpowiednio? A może błąd przybliżenia jest taki sam?
140. Napisać schemat rozwiązywania układu równań liniowych z macierzą trójkątną dolną.
141. Omówić zalety i wady róźnych kryteriów kończenia procesu iteracyjnego, stosowanych
w metodach wyznaczania zer funkcji.
142. Co iteracyjne metody Newtona i siecznych mają współnego z interpolacją?
16