Jesli pasma nie sa energetycznie dobrze separowalne
Transkrypt
Jesli pasma nie sa energetycznie dobrze separowalne
Jeśli pasma nie sa̧ energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane) to ich wzajemny wplyw musi być uwzglȩdniony wariacyjnie - w I rzȩdzie RZ dla stanow zdegenerowanych rachunek jest podobny do warjacyjnego - rozwijamy funkcjȩ w bazie funkcji należa̧cych do zdegenerowanej wartości wlasnej unk = X n0 cnn0 un00 w rezultacie X 0 n 2 h̄ h̄ (k 2 − k02)}δnn0 + (~k − ~k0) · pnn0 cnn0 = En(~k)cnn0 {En(~k0) + 2m m (1) gdzie pnn0 = Z ∗ ∗ 3 u (~ r )~ p u (~ r )d r 0 ~ ~ n k n k u.c. 0 0 wyznacza siȩ empirycznie (elementy przejść) lub próbuje oszacować w obliczeniach typu ab initio Rachunek zaburzeń Löwdina gdy musimy uwzglȩdnić zarówno pasma zdegenerowane jak i energetycznie odlegle 1 * przestrzeń wszystkich pasm dzielimy na 2 grupy: (A) bliskie energetycznie (B) energetycznie odlegle w stosunku do grupy (A) grupȩ (A) traktuje siȩ wariacyjnie; odlegle pasma modyfikuja̧ elementy macierzowe ukladu wariacyjnego powyższe równanie można zapisać operatorowo: (przyjmuja̧c dla uproszczenia k0 = 0) h̄ ~ h̄2 2 k }unk (~r) = En (~k)unk (~r) {Ĥ0 + k~p + m 2m gdzie H0un0(~r) = En (0)un0(~r) unk (~r) = X n0 cnn0 un00(~r) zobaczmy jak to wygla̧da dla trywialnego przypadku gdy (A) - jedno pasmo (B) jedno pasmo Haa Hab Hab Hbb c1 c2 = E c1 c2 szukamy takiej transformacji, która zdiagonalizuje H do H̃ H̃aa 0 0 H̃bb 2 (2) znajduja̧c pierwiastki równania sekularnego, z dokladnościa̧ do wyrazów II-rzȩdu w rozwiniȩciu malego Hab dostaniemy: H̃aa 2 Hab = Haa − (Hbb − Haa ) to równanie jest prawdziwe tak dla reprezentacji macierzowej operatora H jak i dla postaci operatorowej (2), i wtedy w rachunku zaburzeń (bo to przypomina II rza̧d RZ) trzeba polożyć Haa → Ea(0), Hbb → Eb (0) zobaczmy czym jest ta poprawka dla h̄ ~ h̄2 2 H = k~p + k m 2m 0 (drugi wyraz jest diagonalny i jest już uwzglȩdniony w Haa ) dostajemy poprawkȩ operatorowa̧ d H0 h̄2 ha|~k~p|bihb|~k~p|ai m2 Eb − E a jeśli stanów w grupie (B) jest wiȩcej to pojawi siȩ suma po (b) w sensie macierzowym, jako poprawka do wyrazu h̄2 2 Ea (0) + k 2m daje dokladnie poprawkȩ do masy efektywnej pochodza̧ca̧ od odleglych pasm. proces ten nazywa siȩ renormalizacja̧ masy 3 gdy w (A) zawartych jest wiȩcej pasm, które na ogól sa̧ w ko zdegenerowane to: H̃aa0 = Haa0 − Hab Hba0 Eb(0) − Ea(0) te wklady do elementów macierzowych czȩści (A) hamiltonianu traktowane sa̧ jako empiryczne parametry zwia̧zane z mierzonymi masami efektywnymi moga̧ być też obliczane z zasad pierwszych (szacowane) PRZYBLIŻENIE FUNKCJI OBWIEDNI (EFA) • metoda kp pozwala znaleźć zależność dyspersyjna̧ En (k) dla interesuja̧cych nas pasm w pobliżu punktów ekstremalnych ~k • EFA pozwala znaleźć kwazidyskretne lub calkowicie dyskretne poziomy energetyczne w pobliżu den pasm w przypadku przestrzennego ograniczenia materialu litego (bulk) do rozmiarów mezoskopowych - albo dla domieszek (lokalne zaburzenie periodyczności) - albo w obecności zewnȩtrznych pól (globalne zaburzenie periodyczności) IDEA formalnie do hamiltonianu H0 dola̧czamy potencjal zaburzaja̧cy U (~r) 4 (choć samo zaburzenie periodyczności nie musi ”pochodzić” od zewnȩtrznego potencjalu - zaburzeniem może bć ”uciȩcie” krysztalu do nanorozmiaru) p2 { + Vper (~r) + U (~r)}ψ(~r) = Eψ(~r) 2m (3) ~k - przestaje być dobra̧ liczba̧ kwantowa̧ w obliczu zaburzenia periodyczności krysztalu zatem: Ψ(~r) = X n,k ~ X eik~rcn(~k)un,0(~r) = fn(~r)un,0(~r) n gdzie fn(~r) = X ~k ~ eik~r cn(~k) fn (~r) - to funkcje obwiedni w n-tym pasmie, po wstawieniu do równania Hψ = Eψ i pamiȩtaja̧c, że H0un,0(~r) = En (0)un,0(~r) dostajemy p2 1 {un,0(~r)[En(0) − E + ]fn(~r) + (~pun,0)(~pfn)} = 0 (4) n 2m m X gdzie specjalnie pomina̧lem wyraz z U (~r) mnoża̧c z lewej strony przez fn∗0 un0 ,0 i calkuja̧c po obj. Ω calego ukladu dostajemy: X Z n ( u∗ 0 u f ∗0 [En (0)−E+ Ω n ,0 n,0 n 1 Z p2 3 ]fnd r+ Ω {(u∗n0,0p~un,0)(fn∗0 p~fn )}d3r) = 0 2m m (5) 5 pod calkami mamy iloczyny funkcji wolno i szybko zmiennych zobaczmy jak możemy takie calki przybliżyć to przybliżenie jest PODSTAWA̧ metody EFA rozważmy sytuacjȩ I= Z 3 f (~ r )u(~ r )d r Ω gdzie f - wolnozmienna (na obszarze kom.elem. Ω0 a u - okresowa z periodycznościa̧ Vper(~r) u(~r) można przedstawić w postaci rozwiniȩcia Weierstrassa na funkcje okresowe (opuszczam wektory dla uproszczenia) U (r) = X g u(g)eigr gdzie {g} to wektory sieci odwrotnej; a to jest rozklad Fourierowski, zatem 1Z u(g) = u(r)e−igr d3r Ω Ω ale u(r) jest identyczne w każdej kom.elem. i N Ω = 1 Ω0 1 Z −igr 3 = u(r)e dr Ω0 Ω 0 zatem I= Z X Ω g u(g)f (r)eigr d3r = 6 to X g u(g) Z igr 3 f (r)e dr Ω tȩ ostatnia̧ calkȩ można rozlożyć na szereg calek po kom.element. XZ Ri 3 igρ d ρf (R − i + ρ)e Ωi gdzie ρ przebiega tylko po obj. kom.elem. ale f (r) ma być wolno zmienna w ramach Ωi, f (Ri + ρ) ≈ f (Ri) to I= X g u(g) X Ri f (Ri) Z Ωi eigr d3r ostatnia calka przeżywa tylko dla g = 0, zatem I = u(0) ale zatem X Ri f (Ri) ≈ u(0) Z Ω f (r)d 1Z u(0) = u(r)d3r Ω Z 1Z 3 I ≈ Ω u(r)d r × Ω f (r)d3r Ω 7 3 r wracaja̧c do równania (5) możemy teraz rozdzielić calkowania funkcji u(~r) i f (~r), a pamiȩtaja̧c, że Z Z u∗n0,0(~r)un,0(~r)d3r = δn,n0 u∗n0,0(~r)~pun,0(~r)d3r = p~n,n0 możemy równanie (5) zapisać jako Z Ωd 3 X rfn∗0 [ {[En(0) n 1 p2 −E+ ]δn,n0 + pn,n0 p~}fn(~r)] = 0 2m m n0 = ... to bȩdzie spelnone gdy p2 1 {[En(0) − E + ]δn,n0 + pn,n0 p~}fn(~r) = 0 n 2m m X (6) to jest uklad sprzȩżonych równań na funkcje obwiedni fn(~r), a pamiȩtamy, że cala funkcja ψ(~r) = X n fn(~r)un,0(~r) Zauważmy podobieństwo tego równania do równania (1) przy k0 = 0 jeśli tylko zasta̧pić w (1) kj → −i δ , δj j = x, y, z 8 (7) Podobnie, jeśli elementy hamiltonianu kp zostaly zrenormalizowane poprawka̧ na oddzialywanie odleglych pasm to tutaj też ona siȩ pojawi w postaci 1 X 1 1 0 (h~ p ih~ p i~ p )( + ) nb nb 2m2 b E n − E b E n0 − E b 9