Zale no od czasu

Zale no
od czasu
Funkcja stanu zale y od współrz dnych i od czasu.
Stan zmienia si w czasie – ewoluuje. Ewolucj stanu
rz dzi równanie Schrödingera zaleŜne od czasu:
ś
Separacja współrz dnych i czasu
ść
ę
Ŝ
od czasu.
ą
Ŝ
ć
Ŝ
Z drugiej strony, pochodna po czasie „sprawdza” tylko zale no
Mo na wtedy poszukiwa rozwi zania równania w postaci:
ę
ą
Ŝ
ą
Ŝ
ą
ę
Współrz dne i czas s rozdzielone.
Spełnienie równania jest mo liwe tylko
wtedy, gdy obie strony s równe stałej. Nie
zale ani od współrz dnych, ani od czasu.
ść
Ŝ
Je li Hamiltonian nie zale y jawnie
od czasu
, to „działa tylko na zale no
funkcji od współrz dnych”.
Separacja c.d.
ą
To jest tylko szczególne rozwi zanie
i tylko dla
Stany stacjonarne
Funkcja falowa
G sto prawdopodobie stwa dla
takich stanów nie zale y od czasu.
Dlatego nazywamy je
stanami stacjonarnymi.
Ŝ
ę
Dla rzeczywistych energii
ń
prawdopodobie stwa:
ść
ę
G sto
ń
ść
Stan o ustalonej energii.
ć
ś
Stany o nieokre lonej energii
ś
ą
Ŝ
Stan o nieokre lonej energii
mo na zawsze rozwin
w bazie funkcji własnych hamiltonianu,
, których ewolucja
jest okre lona przez ich energie En..
warto ci rednich od czasu
ść
Zale no
ść
ś
ę
Jak zmienia si w czasie warto
wielko ci F ?
ą
Ŝ
Wielko , której operator
nie zale y jawnie od czasu
i komutuje
z hamiltonianem
jest stał ruchu:
ś
ś
Ogólne równanie ruchu
dla warto ci oczekiwanej
wielko ci F :
oczekiwana
Zasada nieoznaczono ci dla czasu i energii
ść
∂Fˆ
F , która nie zale y jawnie od czasu, ∂t = 0 , ale nie jest
ś
ę
ą
ę
ą
ść
ą
Ŝ
Rozpatrzmy dowoln wielko
stał ruchu (nie komutuje z hamiltonianem). Warto oczekiwana tej wielko ci w stanie Ψ
zmienia si z powodu ewolucji stanu.
d F
i
W ci gu dt zmienia si o d F =
dt = ( Ψ ,[ Hˆ , Fˆ ]Ψ ) dt.
h
dt
ś
ś
ś
ą
ś
ś
ą
ą
ś
ą
ś
ą
ć
Ile czasu ∆t musi upłyn , aby zmiana warto ci redniej F była porównywalna
z „naturaln ” – wła ciw dla danego stanu – nieokre lono ci badanej wielko ci,
wyznaczon przez rednie odchylenie kwadratowe ∆F ?
i
∆F =
h
(Ψ ,[ Hˆ , Fˆ ]Ψ )∆t.
ś
ę
∆E∆F ≥
2
(Ψ ,[ H , F ]Ψ )
ś
ę
ś
Relacj mi dzy ∆F i rednim odchyleniem kwadratowym energii ∆E
podaje zasada nieoznaczono ci:
1
ˆ ˆ
Zasada nieoznaczono ci dla energii i czasu
h
∆E∆t ≥
2
Zasada nieoznaczono ci dla czasu i energii c.d.
ś
ś
ś
ą
ś
ś
ą
ć
Ŝ
ą
ś
ą
ś
ą
ć
Ile czasu ∆t musi upłyn , aby zmiana warto ci redniej F była porównywalna
z „naturaln ” – wła ciw dla danego stanu – nieokre lono ci badanej wielko ci,
wyznaczon przez rednie odchylenie kwadratowe ∆F ?
Inaczej - po jakim czasie mo na zaobserwowa jakiekolwiek zmiany stanu?
ś
ź
h
Odpowied przynosi zasada nieoznaczono ci ∆E∆t ≥
2
ń
ą
ś
ą
Ŝ
Ewolucj stanu rz dzi hamiltonian (poprzez równanie Schrödingera zale ne od czasu).
ę
ń
ść
ę
ą
ść
ś
ę
ś
ę
Ŝ
ć
ę
ń
ą
ś
ą
Stany o okre lonej energii s stacjonarne. Nawet po niesko czenie długim czasie nie
zmieniaj si . W stanach o nieokre lonej energii g sto prawdopodobie stwa zmienia si .
W sko czonym czasie mo na zaobserwowa zmiany stanu poprzez obserwacj wielko ci fizycznych. Im wi ksza jest nieokre lono energii ∆E , tym szybciej zachodz
istotne zmiany stanu układu i czas ∆t potrzebny na ich zaobserwowanie jest krótszy.