Algebra liniowa 1 B, lista nr 1

Algebra liniowa 1 B, lista nr 1
(S) do samodzielnego rozwiazania;
(K) do rozwiazania
na konwerOznaczenia zadań oraz ich cześci:
,
,
,
satorium, (∗) zadania nieobowiazkowe.
Niniejsza
lista
przeznaczona
jest
na
ćwiczenia
8.10
oraz
na kon,
wersatorium 9.10. Pierwsza kartkówka odbedzie
si
e
15.10
na
pocz
atku
zaj
eć.
Listy
zadań
b
ed
a
dost
epne
,
,
,
,
, ,
,
pod adresem: http://www.math.uni.wroc.pl/~rwenc/dyd/alglin1b/alglin1b.html
−−→
1. (S) Znaleźć wspólrzedne
końca B wektora AB = [−3, 8] jeśli jego poczatek
znajduje sie, w punkcie
,
,
A = (4, −1).
2. (S) Dlugość wektora [a, 3] wynosi 5. Ile może być równe a?
√
3. (S) Znaleźć wspólrzedne
biegunowe punktów (1, −1), ( 3, 1) (0, −10).
,
4. (S) Dane sa, punkty A = (1, 3) i B = (9, −1). Znaleźć środek odcinka AB oraz punkt C na odcinku
AB taki, że |BC| = 2|AC|.
5. (S) Czy wektory (a) [2, −5], [3, −6] (b) [12, −4], [-3,1] sa, wspólliniowe?
6. (S) Poslugujac
(a) czy punkty A = (1, 2), B = (−10, 7)
, sie, rachunkiem na wektorach rozstrzygnać:
,
i C = (12, −4) sa, wspólliniowe? (b) czy punkty A = (4, 6), B = (3, 2) i C = (−1, −14) sa,
wspólliniowe?
7. (S) Znane sa, trzy wierzcholki równolegloboku: A = (1, 0), B = (−1, 3) i C = (5, 5). Znaleźć
wszystkie możliwe polożenia czwartego wierzcholka. Uwaga: zadanie ma trzy rozwiazania.
,
8. (S) Znaleźć kat
wektorami [1, 3] i [1, − 31 ].
, pomiedzy
,
9. (S) Znaleźć dwa wektory prostopadle do wektora [−6, 8] o dlugości 5.
10. (S) Dane sa, wektory u = [1, 3] i v = [2, 2]. Znaleźć liczbe, t taka, aby wektor u + tv byl prostopadly
do wektora w = [1, 2].
11. Czy czworokat
, o kolejnych wierzcholkach (a) A = (1, 4), B = (−3, 2), C = (−1, −1), D = (6, −2)
(b) A = (0, 1), B = (2, 4), C = (7, −1), D = (3, −7) jest trapezem?
12. Dane sa, dwa wierzcholki trójkata:
A = (2, −1) i B = (−1, 2). Znaleźć możliwe polożenia trzeciego
,
wierzcholka wiedzac,
że
środkowe
opuszczone
z A i B sa, do siebie prostopadle.
,
13. Dane sa, wektory [2, −1] i [4, a]. Dla jakich wartości a wektory te (a) sa, wspólliniowe (b) sa, prostopadle (c) tworza, kat
, o mierze 45 stopni?
14. Dane sa, punkty A = (1, 1) i B = (−1, 2) Znajdź taki punkt C na osi Oy aby kat
, BAC wynosil 30
stopni.
15. Sprawdzić, że dodawanie wektorów w R2 posiada wlasności (1)–(8) podane na wykladzie (zwane
aksjomatami przestrzeni liniowych).
16. Sprawdzić wlasności iloczynu skalarnego wektorów w R2 podane na wykladzie bez dowodu (dwuliniowość, symetryczność, dodatnia określoność).
→
−
17. Niech α ∈ R i niech v bedzie
wektorem z R2 . Wykazać, że αv = 0 wtedy i tylko wtedy gdy α = 0
,
→
−
lub v = 0 .
18. W pewnym równolegloboku rozpietym
na wektorach u, v dlugości przekatnych
wynosza, 5 i 3.
,
,
Znaleźć dlugość przekatnej
prostok
ata
o
bokach
d
lugości
|u|,
|v|.
Czemu
może
być
równy iloczyn
,
,
skalarny u · v?
1
19. Wykazać, że dla wektorów u, v z R2 mamy |u + v|2 = |u|2 + |v|2 wtedy i tylko wtedy gdy u · v = 0.
20. Znaleźć cosinusy katów
wewnetrznych
trójkata
ABC, gdzie A = (1, 3), B = (3, −2), C = (2, −5)
,
,
,
oraz cosinusy miedzy
środkowymi
tego
trójk
ata.
,
,
21. W każdym z przypadków rozstrzygnać
prostokatny
czy rozwar, czy trójkat
, ABC jest ostrokatny,
,
,
tokatny.
,
(a) A = (5, −4, ), B = (3, 2), C = (2, −5).
(b) A = (1, 1), B = (3, −2), C = (6, −3).
(c) A = (1, 1), B = (3, −2), C = (6, 2).
Zadanie należy rozwiazać
badajac
,
, znak iloczynu skalarnego odpowiednich wektorów.
22. Na plaszczyźnie dane sa, niewspólliniowe punkty A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ), C = (c1 , c2 ). Znaleźć
wspólrzedne
środków boków trójkata
ABC oraz wspólrzedne
punktu przeciecia
sie, jego środkowych.
,
,
,
,
Poslużyć sie, odpowiednimi wlasnościami wektorów. Można skorzystać z faktu, że środkowe trójkata
,
przecinaja, sie, w punkcie, który dzieli je w stosunku 1:2.
23. Niech A1 , . . . , An bed
a punktami na plaszczyźnie. Wykazać, że istnieje jedyny punkt S taki, że
−−→
−−→
→
−, ,
SA1 + . . . SAn = 0 . Punkt ten nazywamy środkiem cieżkoṡci
ukladu A1 , . . . , An . Zauważyć, że
,
jeśli n = 3 i punkty A1 , A2 , A3 sa, niewspólliniowe, to S jest punktem przeciecia
sie, środkowych
,
trójkata
A
A
A
.
1
2
3
,
24. (K) Na wykladzie zostaly podane zależności miedzy
wspólrzednymi
kartezjańskimi a biegunowymi
,
,
na plaszczyźnie: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, gdzie r ≥ 0 i 0 ≤ ϕ < 2π. Wyrazić r, ϕ przy pomocy x, y
pamietaj
ac
, o zakresie ϕ oraz o tym, że dla x = y = 0 wartść ϕ jest nieokreślona.
,
25. (K) Niech S bedzie
środkiem cieżkości
ukladu punktów A1 , . . . , An na plaszczyźnie. Wykazać, że
,
,
dla dowolnego punktu X plaszczyzny, wartość wyrażenia |XA1 |2 + . . . |XAn |2 − n|XS|2 nie zależy
od wyboru punktu X. Zadanie rozwiazać
na dwa sposoby: (a) wprowadzajac
,
, uklad wspólrzednych
,
kartezjańskich i wyrażajac
odleg
lości
punktów
za
pomoc
a
ich
wspó
lrz
ednych;
(b) używajac
,
,
, odpo,
wiednich wlasności iloczynu skalarnego bez wprowadzania ukladu wspólrzednych.
Czym jest wartość
,
powyższego wyrażenia w sytuacji gdy: (1) n = 4 i A1 A2 A3 A4 jest prostokatem
o bokach dlugości
,
a, b; (2) n = 3 i A1 A2 A3 jest trójkatem
równobocznym
o
boku
d
lugości
a.
,
26. (K) Na wykladzie nierówność Schwarza dla wektorów u, v z R2 zostala wyprowadzona jako wniosek
ze wzoru u·v = |u||v| cos α, gdzie α to miara kata
pomiedzy
wektorami u i v. Znaleźć inny dowód tej
,
,
nierówności rozpoczynajacy
si
e
od
obserwacji,
że
dla
dowolnego
t ∈ R, (u + tv)2 ≥ 0 i korzystajacy
,
,
,
z odpowiednich wlasności funkcji kwadratowej.
R. Wencel, 2.10.2014 r.
2