Paradoksy prawdopodobieństwa - Wiedza, logika i informacja

Paradoksy prawdopodobieństwa
19.12.13
W przypadku gdy odwołujemy się do prawdopodobieństwa zdefiniowanego na gruncie teorii
Kołmogorowa napotykamy następujące trudności:
1. Każdy element {w} ma prawdopodobieństwo 0. Natomiast suma tych zdarzeń o prawdopodobieństwie
zerowym każde, ma prawdopodobieństwo 1.
U
2. Jeśli F jest zbiorem skończonym i {w} F, wtedy prawdopodobieństwo warunkowe Pk ({w}|F) nie jest
zdefiniowane. Istnienie takiego prawdopodobieństwa nie jest zadarzeniem niemożliwym.
3. Istnieją podzbiory zbioru Ω dla których prawdopodobieństwo nie jest zdefiniowane, dlatego, że są to
tzw. zbiory niemierzalne.
Łoś (1955) powołując się na późniejszą pracę Kołmogorowa stwierdza, że Kołmogorow był świadom tego,
że w jego teorii występują zbiory niemierzalne i podjął wysiłek, aby tak zdefiniować
prawdopodobieństwo, żeby uniknąć tej konsekwencji.
Ad.3 Niech A będzie σ - ciałem podzbiorem zbioru Ω.
Funkcję μ : A > [0, ∞] nazywamy miarą, gdy μ (Ø) = 0 oraz zachodzi warunek przeliczalnej addytywności:
∞
∞
μ (nU= 1An) =nΣ= 1 μ (An) dla zbiorów A1, ..., An, ... C A parami rozłącznych.
Miary, które spełniają warunek μ (Ω) = 1 nazywamy probabilistycznymi.
Najbardziej znaną miarą jest miara Lebesque’a. Miara ta nie obejmuje obejmuje wszystkich podzbiorów
prostej i dlatego mówimy o zbiorach niemierzalnych w sensie Lebesque’a.
Twierdzenie (Tarski, Banach, 1924):
Przedział [0,1] można podzielić na rozłączne parami zbiory A0, A1, ... w taki sposób, że pewne ich
przesunięcia: t0 + A1, t1 + A1, ..., też są parami rozłączne i w sumie dają przedział [0, 2].
Z tego twierdzenia wyprowadzamy wniosek, że takie podwojenie długości przedziału nie byłoby
możliwe, gdyby wszystkie zbiory Ai należały do ciała zbioru A, więc conajmniej jeden z tych zbiorów musi
być niemierzalny względem miary, w tym przypadku miary Lebesque’a.
W związku z tym, teoria prawdopodobieństwa Kołmogorowa (1933) nie pozwala na wprowadzenie ściśle
pozytywnej miary prawdopodobieństwa czyli miary, która przyjmuje 0 tylko dla zbioru pustego.
Modelowanie prawdopodobieństwa nieskończonego
prawdopodobieństwa Nie-Archimedesowego.
ciągu
rzutów
monetą
w
teorii
Założenia:
1. Funkcja prawdopodobieństwa Nie-Archimedesowego P spełnia następujące warunki:
|A F|
|F|
U
P(A|F) =
Ω i F jest zbiorem skończonym oraz niepustym, wtedy
U
1. Jeśli F
2. Dla skończonej liczby wyników n:
-n
P(c) = 2 , gdzie C = {ω C Ω: ωik = tk}
(tk jest orłem (O) lub reszką(R))
Każdy nieskończony ciąg rzutów monetą należący do Ω = {O,R}N
prawdopodobieństwa Nie-Archimedesowego, prawdopodobieństwo:
1
n (Ω)
ma na gruncie teorii
n - liczność
Niech ciąg postaci b * c będzie wynikiem złożenia ciągu b z nieskończonym ciągiem c.
b
*
n
c = (b1, ..., bn, c1, ..., ck, ...) gdzie b C {O, R} , c C {O,R} N .
Definiujemy zbiór λ n, σ
λ n, σ = {b
* c : b C {O,R}
n
; c C σ}
oraz rodzinę zbiorów λn, σ :
N
Δ = { λ n, σ : σ C Pfin ({O, R} ; n C N}
Dowodzimy, że jeśli P jest prawdopodobieństwem Nie-Archimedesowym, to
P(c) =
n (c)
-n
=2
n (Ω)
PARADOKS SIMPSONA
Nazwa paradosku pochodzi od nazwiska autora (E. H. Simpson) artykułu z 1951 r. poświęconego temu
problemowi.
Zauważmy, że dla pewnych liczb naturalnych zachodzą następujące nierówności:
2
1
<
8
5
6
4
<
8
5
7 > 6
13
13
Wyniki badania statystycznego:
Badano mężczyzn ubiegających się o stanowisko na dwóch wydziałach uniwersytetu: otrzymano
proporcję tych, którzy zostali przyjęci do tych wszystkich mężczyzn (na odpowiednich wydziałach), którzy
ubiegali się o to stanowisko.
Analogiczne badanie przeprowadzono dla grupy kobiet na tych samych wydziałach.
Mężczyźni
1
5
6
8
7
13
<
<
>
Kobiety
2
8
4
5
6
13
Wydział Historii
Wydział Geografii
Łącznie