13. Rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych – rozwiązania

13. Rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych – rozwiązania
Ćw. 13.1
1. Oczywiście fn → 0 prawie wszędzie. Poza tym
||fn ||∞ = n2/3 ,
||fn ||1 = n−1/3 ,
||fn ||2 = n1/3 .
Wnioskujemy stąd, że fn → 0 w topologii L1 , ale nie w L2 i L∞ .
1
1
1
2. Zauważmy, że szereg ∞
k=1 2[log2 k] zbiega do ∞ (bo 2[log2 k] ­ k a wiadomo, że
P∞ 1
k=1 k = +∞.) W szczególności dla każdego x ∈ [0, 1] istnieje nieskończenie
wiele indeksów n, dla których fn (x) = 1 i nieskończenie wiele takich n, że
fn (x) = 0. Zatem ciąg fn nie jest zbieżny prawie wszędzie. Jest on więc rozbieżny
także w L∞ , bo zbieżność w L∞ pociąga zbieżność p.w.. Natomiast
P
||fn ||1 = ||fn ||2 = 1/2[log2 (n+1)] → 0,
a zatem w tych topologiach zachodzi zbieżność ciągu fn do 0.
3. Mamy ||fn ||∞ = supx∈[0,1] | sin(x/n)| = sin(1/n) → 0. Zatem zachodzi zbieżność
fn → 0 w normie || · ||∞ , skąd wynika także analogiczna zbieżność w innych
topologiach.
4. (1 − x/n)n → exp(−x) punktowo na całym [0, 1]. Co więcej, |(1 − x/n)n | ¬ 1,
skąd na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej wywnioskować można zbieżność fn → exp(−x) także w L1 i w L2 . Aby udowodnić zbieżność w || · ||∞ korzystamy z rozwinięcia logarytmu naturalnego w 1 otrzymując
(1 − x/n)n = exp(n ln(1 − x/n)) = exp(n(−x/n + o(1/n))) = exp(−x + o(1))
jednostajnie na [0, 1].
Ćw. 13.2 Zbieżność w L1 lub L2 pociąga zbieżność według miary. Tak więc w naszym
przypadku badany ciąg funkcyjny (nazwiemy go fn ) posiada dwie granice według
miary (oznaczymy ją µ): f i g. Załóżmy, że nie jest prawdą, że f = g prawie wszędzie.
Wówczas istnieje δ > 0 taka, że µ(|f − g| > δ) = η > 0. Oznacza to, że
µ(|fn − f | ­ δ/2) + µ(|fn − g| ­ δ/2) ­ η
dla każdego n. Jest to sprzeczne z założeniem, że fn → f i fn → g według miary.
Ćw. 13.3 Por. Zad. 13.1, punkt 1.