zadania na ćwiczenia

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
10. Słaba zbieżność i centralne twierdzenie graniczne
Ćw. 10.1 Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu X1 , X2 , . . ., gdzie
1
P (Xn = n) = P (Xn = −n) = .
2
Ćw. 10.2 X1 , X2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Znaleźć słabą granicę ciągu
n
o
Yn = max 1 − eX1 , . . . , 1 − eXn .
Czy ciąg Yn jest zbieżny według prawdopodobieństwa?
Ćw. 10.3 X1 , X2 , . . . są zmiennymi losowymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie zadanym przez gęstość
1
f (x) = 2 1I[1,+∞) (x).
x
Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu
1
1
.
Yn = max
,...,
X1
Xn
Ćw. 10.4 Niech X1 , X2 , . . . – iid o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Znaleźć
granicę według rozkładu ciągu
X1 + X2 + . . . + Xn − n2
√
.
n
Ćw. 10.5 Niech {Xi }i∈N będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie dyskretnym P (Xi = 1) = 13 , P (Xi = 2) = 23 . Zbadać zbieżność według rozkładu
ciągu
n
P
Yn =
2
2
(X2i−1
− X2i
)
√
.
3n
i=1
Ćw. 10.6 Niech {Xi }i∈N będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
Xi ∼ N (i, 4). Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu
n
P
√
Xi
(n + 1) n
.
Yn = √ −
n
2
i=1
Ćw. 10.7 Zmienne losowe X1 , X2 , . . . są niezależne, mają ten sam rozkład, EX1 = 0,
V arX1 = 1. Wykaż, że
√
n(X1 + . . . + Xn ) D
−
→ N (0, 1).
X12 + . . . + Xn2
Ćw. 10.8 Józio założył się z Olkiem, że w 100 rzutach kostką uzyska w sumie nie mniej
niż 400 oczek i w tym celu rozpoczął ćwiczenia. Ile serii po 100 rzutów musi średnio
wykonać, żeby doczekać się takiego wyniku?
Ćw. 10.9 Na osiedlu uniwersyteckim są dwie restauracje, po 105 miejsc każda. Wiadomo,
że codziennie 200 osób będzie chciało zjeść obiad, a wyboru restauracji dokonują
losowo, z p = 21 . Jakie jest prawdopodobieństwo, że w którejś restauracji zabraknie
miejsc? Ile miejsc powinno być w każdej restauracji, by wspomniane prawdopodobieństwo było mniejsze od 0,005?
Ćw. 10.10 W ciągu roku fanatyczny gracz obstawiał 10 000 razy w pewnej grze sprawiedliwej (wygrana i przegrana są równie prawdopodobne). Wygrał 4 850 razy, w
pozostałych przypadkach przegrał. Czy był to dla niego pechowy rok?