2 x zmienia

Pochodna funkcji— zastosowania-wykład 6 (8.11.07)
Funkcja logistyczna
40
1+5e−0,5t
20
0
10
f(t)
30
40
Rozważamy funkcj˛e logistyczna˛ y = f0 (t) =
−5
0
5
10
15
t
Rysunek 1: Wykres funkcji y = f0 (t) =
40
1+5e−0,5t
Chcemy znaleźć punkt, w którym tempo wzrostu funkcji f „przestaje
rosnać”.
˛
1
Funkcja logistyczna—c.d.
5.0
4.6
4.2
y
0 1 2 3 4 5
y
Analizujac
˛ wykres pochodnej y = f00 (t) dochodzimy do wniosku, że
szukany punkt jest równy w przybliżeniu 3,22.
0
5
10
15
3.0
3.1
3.2
4.5
5.0
3.3
3.4
3.5
4.9980 4.9990 5.0000
y
3.0
4.0
x
4.975 4.985 4.995
y
x
3.5
3.20
x
3.24
3.28
x
Rysunek 2: Pochodna funkcji y = f0 (t) =
2
40
1+5e−0,5t
Badanie przebiegu funkcji
Jest jasne, że chcac
˛ znaleźć szukany punkt należy zbadać przebieg
zmienności funkcji f00 .
Poj˛ecie przedziału w analizie matematycznej
Przez przedział b˛edziemy rozumieć podzbiór prostej b˛edacy
˛
• odcinkiem — postaci [a, b], [a, b), (a, b] lub (a, b);
• półprosta˛ — postaci [a, ∞), (a, ∞), (∞, b] lub (∞, b);
• prosta˛ R.
3
Pochodna na przedziale nie b˛edacym
˛
zbiorem otwartym
Pochodna˛ funkcji f na przedziale I = [a, b] (oznaczmy ja˛ przez f 0 )
określamy nast˛epujaco:
˛

0

f
x ∈ (a, b),

 (x),
f 0 (x) = pochodna prawostronna w x, x = a,



pochodna lewostronna w x,
x = b.
Analogicznie definiujemy pochodna˛ na innych typach przedziałów, nie
b˛edacych
˛
zbiorami domkni˛etymi.
Pochodna˛ lewostronna˛ funkcji f w x0 definiujemy korzystajac
˛ z poj˛ecia
granicy lewostronnej w x0 (zamiast poj˛ecia granicy funkcji w x0 — bez
żadnego „dodatkowego określenia”). Analogicznie definiujemy pochodna˛
prawostronna˛ funkcji.
4
Pochodne wyższych rz˛edów
Załóżmy, że funkcja f ma pochodna˛ na przedziale I. Pochodna˛ funkcji f 0
na I (jeżeli ona istnieje) b˛edziemy oznaczać przez f (2) , pochodna˛ funkcji
f (2) (lub f (00) ) na I (jeżeli ona istnieje) przez f (3) (lub f (000) ) itd.
5
Pochodne wyższych rz˛edów— przykłady
Dla f (x) = x3 (w tym przypadku obliczamy pochodne na przedziale
I = R) mamy:
f 0 (x) = 3x2 ,
f 00 (x) = 6x,
f 000 (x) = 6,
f (n) (x) = 0 dla n > 3.
6
Pochodne wyższych rz˛edów— przykłady
√
Dla f (x) = x = x1/2 (w tym przypadku obliczamy pochodne na
przedziale I = (0, ∞) mamy:
1 −1/2
1
√
f (x) = x
=
,
2
2 x
1
1 1
00
−3/2
f (x) = · (−1/2)x
=− √ ,
2
4x x
itd.
0
7
Monotoniczność funkcji na przedziale
Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna na przedziale I (tzn. istnieje
pochodna funkcji f na przedziale I). Funkcja f jest:
• rosnaca,
˛ jeśli f 0 (x) > 0 dla x ∈ I;
• niemalejaca,
˛ jeśli f 0 (x) ­ 0 dla x ∈ I;
• malejaca,
˛ jeśli f 0 (x) < 0 dla x ∈ I;
• nierosnaca,
˛ jeśli f 0 (x) ¬ 0 dla x ∈ I.
8
Monotoniczność funkcji logistycznej
Pochodna funkcji logistycznej
a
f (t) =
.
1 + be−ct
ma postać
abce−ct
f (t) =
.
(1 + be−ct )2
0
Stad
˛ wynika, że f jest monotoniczna na R.
Monotoniczność f można też uzasadnić, opierajac
˛ si˛e na własnościach
funkcji wykładniczej— wynika z nich, że mianownik f jest funkcja˛ rosnac
˛ a˛
zmiennej x.
9
Funkcja logistyczna— c.d.
Druga pochodna f ma postać:
abc2 e−ct (be−ct − 1)
.
f (t) =
−ct
3
(1 + be )
00
Mamy
f 00 (t) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (be−ct − 1) = 0.
A wi˛ec druga pochodna znika dla t0 =
ln b
c .
Dla funkcji f0 mamy:
ln 5
ln b
=
= 3,218876.
c
0,5
10
Ekstremum lokalne
Definicja 1 Mówimy, że funkcja f (x) osiaga
˛ w punkcie x0 minimum
lokalne, jeżeli wartość funkcji f w punkcie x0 jest mniejsza od wartości
funkcji f w pewnym sasiedztwie
˛
tego punktu, tj.
f (x) > f (x0 ) dla x ∈ S(x0 , r)
dla pewnego r > 0.
Definicja 2 Mówimy, że funkcja f (x) osiaga
˛ w punkcie x0 maksimum
lokalne, jeżeli wartość funkcji f w punkcie x0 jest wi˛eksza od wartości
funkcji f w pewnym sasiedztwie
˛
tego punktu, tj.
f (x) < f (x0 ) dla x ∈ S(x0 , r)
dla pewnego r > 0.
Termin ekstremum lokalne oznacza minimum lokalne lub maksimum
lokalne.
11
Ekstremum lokalne— warunek wystarczajacy
˛
Można pokazać, że jeśli pochodna funkcji w punkcie x0 jest równa zeru i
zmienia znak przy przejściu przez x0 , to funkcja w tym punkcie osiaga
˛
ekstremum.
Przy czym
• jeśli zmienia znak z „-” na „+”, to f ma w x0 minimum lokalne;
• jeśli zmienia znak z „+” na „-”, to f ma w x0 maksimum lokalne.
12
Ekstremum lokalne— przykład
Rozważmy funkcj˛e
1 3 5 2
g(x) = x − x + 6x.
3
2
Oczywiście g jest różniczkowalna na R. Chcac
˛ zbadać istnienie ekstremów
funkcji g znajdujemy miejsca zerowe g 0 (x) :
g 0 (x) = x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 lub x = 3.
g 0 (x) zmienia znak w x0 = 2 z „+” na „-” — a wi˛ec g w tym punkcie ma
maksimum lokalne;
g 0 (x) zmienia znak w x0 = 3 z „-” na „+” — a wi˛ec g w tym punkcie ma
minimum lokalne.
13
4.0
4.5
y
5.0
Przykład—c.d.
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
x
Rysunek 3: Wykres y = 13 x3 − 52 x2 + 6x
14
4.0
Pochodna funkcji złożonej
Chcac
˛ obliczyć pochodna˛ funkcji f (x) = 2sin x należy skorzystać z
nast˛epujacego
˛
twierdzenia.
Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja f ma pochodna˛ właściwa˛ w punkcie x0 i
funkcja g ma pochodna˛ właściwa˛ w punkcie f (x0 ),
to
0
(g(f (x0 )) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ).
Przykłady
(2cos x )0 = 2cos x ln 2(− sin x),
2
2
2
(e−x )0 = (e−x )(−2x) = −2e−x x
15