Rozwiązania - Zadania.info

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
P OCHODNE
C ZAS PRACY: 45 MIN .
Z ADANIE 1 (2 PKT )
Oblicz pochodna˛ funkcji f ( x ) =
3x2 −5
x +7
R OZWI AZANIE
˛
Korzystamy ze wzoru
.
0
f
f 0 g − f g0
=
g
g2
na pochodna˛ ilorazu. Mamy zatem
f 0 (x) =
Odpowiedź: f 0 ( x ) =
6x · ( x + 7) − (3x2 − 5) · 1
3x2 + 42x + 5
=
.
( x + 7)2
( x + 7)2
3x2 +42x +5
( x +7)2
Z ADANIE 2 (2 PKT )
Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji f ( x ) = x3 − 5x2 +
7x − 3 w punkcie x0 = −2 .
R OZWI AZANIE
˛
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 jest równy f 0 ( x0 ) .
W naszej sytuacji mamy
f 0 ( x ) = 3x2 − 10x + 7
f 0 (−2) = 12 + 20 + 7 = 39.
Odpowiedź: 39
Z ADANIE 3 (2 PKT )
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f ( x ) = 2x3 + 3x2 − 72x + 13 .
R OZWI AZANIE
˛
Liczymy pochodna.˛
f 0 ( x ) = 6x2 + 6x − 72 = 6( x2 + x − 12)
∆ = 1 + 48 = 49
−1 + 7
−1 − 7
x=
= −4 ∨ x =
=3
2
2
f 0 ( x ) = 6( x + 4)( x − 3).
Zatem funkcja f ( x ) jest rosnaca
˛ w przedziałach (−∞, −4i i h3, +∞) (bo pochodna w tych
przedziałach jest nieujemna), oraz jest malejaca
˛ w przedziale h−4, 3i (pochodna w tym przedziale jest niedodatnia).
Odpowiedź: Rosnaca
˛ w (−∞, −4i i h3, +∞) , malejaca
˛ w h−4, 3i .
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 4 (2 PKT )
Wyznacz ekstrema funkcji f ( x ) = 3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x − 7 .
R OZWI AZANIE
˛
Obliczamy pochodna˛ funkcji f .
f 0 ( x ) = 12x3 − 12x2 − 12x + 12 = 12( x3 − x2 − x + 1) = 12( x2 ( x − 1) − ( x − 1)) =
= 12( x2 − 1)( x − 1) = 12( x + 1)( x − 1)2 .
W punkcie x = −1 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, wi˛ec jest minimum lokalne w tym punkcie. W punkcie x = 1 pochodna nie zmienia znaku, wi˛ec nie ma w tym
punkcie ekstremum. Mamy ponadto
f (−1) = 3 + 4 − 6 − 12 − 7 = −18.
Odpowiedź: Minimum lokalne: f (−1) = −18 .
Z ADANIE 5 (2 PKT )
Wyznacz najmniejsza˛ możliwa˛ wartość obwodu prostokata
˛ o polu 9.
R OZWI AZANIE
˛
Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokata
˛ przez x , to drugi bok (z podanego
˛ wyraża si˛e wi˛ec wzorem
pola) ma długość 9x . Obwód prostokata
f ( x ) = 2x +
18
,
x
gdzie x > 0.
Liczymy pochodna˛
f 0 (x) = 2 −
18
2x2 − 18
2( x − 3)( x + 3)
=
=
.
x2
x2
x2
Widać teraz, że funkcja f maleje w przedziale (0, 3i i rośnie w przedziale h3, +∞) . Zatem
najmniejsza˛ wartość przyjmuje dla x = 3 i wartość ta jest równa
f (3) = 6 + 6 = 12.
Odpowiedź: 12
Arkusz zadań znajdziesz na stronie
HTTP :// WWW. ZADANIA . INFO /7872_5524
2