1 1. Wiadomo, ˙ze dokładnie jedna para liczb całkowitych (m 0,n0

1
1. Wiadomo, że dokładnie jedna para liczb całkowitych (m0 , n0 ) spełnia równanie
2m + αn = 0. Wobec tego
α = −2
m0 = n 0 = 0
α jest liczba˛ niewymierna˛
2. Liczba naturalna zapisana w systemie dziesietnym
˛
za pomoca˛ 63 jedynek, czyli
111...11
,
jest
podzielna
przez
63
11
9
111
3. Proste o równaniach y = ax i y = −x + b przecinaja˛ sie˛ w punkcie, którego
obie współrzedne
˛
sa˛ ujemne. Wynika stad,
˛ że
a< 0∧b< 0
a> 0∧b< 0
a< 0∧b> 0
4. Istnieje taka liczba naturalna n ≥ 2, że liczba n!
jest podzielna przez 1996
jest kwadratem liczby pierwszej
daje reszte˛ 8 przy dzieleniu przez 10
√
√ 50
2+ 33
składników bed
˛ acych
˛
liczbami wymiernymi jest dokład5. W sumie
nie
osiem
dziewieć
˛
dziesieć
˛
6. Niech m i n bed
˛ a˛ liczbami naturalnymi, które nie sa˛ podzielne przez 3. Zatem
2
2
m − n jest liczba˛
zawsze podzielna˛ przez 3
zawsze podzielna˛ przez 6
zawsze parzysta˛
7. Zbiór punktów płaszczyzny {(x, y) : |x − y| + 1 ≤ |x + y|} jest
symetryczny wzgledem
˛
prostej y = x
środkowo-symetryczny
ograniczony
2
8. Niech x i y bed
˛ a˛ takimi liczbami rzeczywistymi, że x2 + y 2 ≥ (x + y)2 . Wynika
stad,
˛ że
x=y=0
x2 + y 2 ≤ (x − y)2
xy ≤ 0
9. Istnieje taka liczba całkowita dodatnia n, że
liczby 2n − 1 i 2n + 1 sa˛ pierwsze
liczba 2n − 1 jest pierwsza i liczba 2n + 1 jest złożona
liczba 2n + 1 jest pierwsza i liczba 2n − 1 jest złożona
10. Niech l = 1 − a − b − c, przy czym a > 12 , b > 12 (1 − a) , c > 12 (1 − a − b) .
Stad
˛ wynika, że l jest mniejsze od
1
3
1
7
1
9
11. Dla każdej liczby pierwszej p wiekszej
˛
od 12 liczba p! dzieli sie˛ przez liczbe˛
p+1
p+2
p + 13
12 Z tego, że równanie ||x − 2| − 1| = a ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie trzy rozwiazania
˛
wynika, że
a≤1
a=1
a>2
13. Suma każdych dwóch spośród liczb rzeczywistych x1 , x2 , ..., x1997 jest liczba˛
wymierna.˛ Wynika stad,
˛ że
suma tych wszystkich liczb jest liczba˛ wymierna˛
różnica każdych dwóch spośród tych liczb jest liczba˛ wymierna˛
suma każdych trzech spośród tych liczb jest liczba˛ wymierna˛
14. Niech A oznacza iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych. Wynika stad,
˛
że
A + 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej
24 jest dzielnikiem liczby A
16 jest dzielnikiem liczby A
3
15. Liczby a, b, c, d sa˛ całkowite dodatnie oraz liczba cd jest podzielna przez liczbe˛
ab. Wynika stad,
˛ że
a lub b jest dzielnikiem cd
a jest dzielnikiem c lub d
żadna z liczb a i b może nie być dzielnikiem żadnej z liczb c i d
16. Jeśli liczby całkowite a, b, c spełniaja˛ równanie a2 + b2 = c2 , to co najmniej
jedna z nich dzieli sie˛ przez
2
3
7
10
10
10
10
17. Niech A =
+
+
+ ... +
,
0
2
4
10
10
10
10
10
B=
+
+
+ ... +
. Wtedy
1
3
5
9
A<B
A=B
A>B
18. Suma liczb całkowitych a i b jest równa ich iloczynowi. Wynika stad,
˛ że
a=b
a= 0∨b= 2
a=0∧
b =0
200
19. Liczba
dzieli sie˛ przez
100
101
97
11
20. Załóżmy, że suma wszystkich dzielników naturalnych liczby naturalnej n > 1
(wliczajac
˛ w to 1 i n) jest równa 2n. Zatem suma odwrotności tych dzielników
jest równa 2
jest liczba˛ wymierna˛
nie może być liczba˛ całkowita˛