Liczby wymierne i niewymierne, cz. 2

e-learning
matematyka
Opracował: Rafał Piasecki
Zatwierdził: Tadeusz Ostrowski
LEKCJA 3 – Liczby wymierne i niewymierne, cz. 2 – Grupa LM8
TROCHĘ HISTORII
Odkrycia liczb niewymiernych dokonali Pitagorejczycy w związku z odkryciem
twierdzenia o przeciwprostokątnej, które dziś nazywamy twierdzeniem Pitagorasa.
Odkryto wówczas, że bok i przekątna kwadratu są odcinkami niewspółmiernymi, czyli
takimi, których nie można wyrazić za pomocą ułamka zwykłego o całkowitym
liczniku i mianowniku, nie mają wspólnej miary. Inaczej mówiąc – jeśli liczba
wymierna jest długością boku kwadratu, to żadna liczba wymierna nie jest długością
jego przekątnej. Liczby takie nazwano wówczas liczbami niewyrażalnymi.
Odkrycie liczb niewymiernych początkowo zachwiało głoszoną przez
Pitagorejczyków wiarą w świat harmonijny, pełen proporcji, mierzalny za pomocą
liczb i dający się opisać za pomocą figur geometrycznych. Podważało to ich
światopogląd, według którego liczba rządzi nie tylko miarą i wagą, ale także
wszystkimi zjawiskami zachodzącymi w przyrodzie. Pitagorejczycy nie rozumieli
liczby jako abstrakcji ale jako przestrzenną wielkość, jako realny kształt. Początkowo
odkrycie to utrzymywano w tajemnicy. Wyjawił ją w odwecie za wyrzucenie ze
Związku Pitagorejskiego za płatne nauczanie geometrii Hipokrates z Chios.
Doprowadziło to do rozłamu wśród Pitagorejczyków.
Nastąpił podział szkoły na akuzmatyków i matematyków. Ci pierwsi porzucili
dociekania matematyczne i obrali drogę religijno-etyczną, kontemplacyjną i
mistyczną. Matematycy natomiast, nie porzucając religii, opowiedzieli się za
koniecznością dalszego prowadzenia studiów naukowych i zajmowali się przede
wszystkim geometrią.
DEFINICJA
Liczbę nazywamy niewymierną, jeżeli nie jest ona wymierna, to znaczy nie można jej
przedstawić w postaci , gdzie a, b są liczbami całkowitymi oraz b≠0.
Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych są nieskończone i nieokresowe, np.:
Nie ma takiej grupy cyfr, która by w dowolnym z tych rozwinięć powtarzała się
okresowo, zaczynając od pewnego miejsca.
Materiały źródłowe: patrz Syllabus
e-learning
matematyka
Opracował: Rafał Piasecki
Zatwierdził: Tadeusz Ostrowski
USUWANIE NIEWYMIERNOŚCI Z MIANOWNIKA
Jeżeli w mianowniku pewnego wyrażenia występuje liczba niewymierna w postaci
pierwiastka, to przekształcamy to wyrażenie tak, aby pozbyć się pierwiastka z
mianownika. Czynność tę nazywamy usuwaniem niewymierności z mianownika.
PRZYKŁADY:
Materiały źródłowe: patrz Syllabus