Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego

Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
Scenariusz lekcji
1. Informacje wstępne:
Data: 16 kwietnia 2013r.;
Klasa: I „c” liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne);
Czas trwania zajęć: 45 minut;
Nauczany przedmiot: matematyka;
2. Program nauczania: Kształcenie w zakresie podstawowym. Program nauczania w liceach i technikach (autor
programu Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk).
3. Temat lekcji: Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru o
podanych własnościach;
4. Integracja: wewnątrzprzedmiotowa – wzory skróconego mnożenia, działania na potęgach;
5. Cele lekcji:
Uczeń potrafi:
- nazwać oraz zapisać trzy postacie funkcji kwadratowej (A1),
- zdefiniować pojęcia: miejsce zerowe funkcji, monotoniczność funkcji, wartości dodatnie i ujemne funkcji,
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
wierzchołek paraboli, oś symetrii paraboli (A2),
- wyjaśnić związek między współrzędnymi wierzchołka paraboli i postacią kanoniczną wzoru funkcji
kwadratowej (B1),
- wyjaśnić związek między miejscami zerowymi i postacią iloczynową wzoru funkcji kwadratowej (B2),
- odczytać własności funkcji kwadratowej z wykresu: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalny
przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne, monotoniczność, wartość największą lub
najmniejszą (B3),
- zapisywać wzór funkcji kwadratowej w jednej z trzech postaci (C1),
- przechodzić z jednej postaci wzoru funkcji kwadratowej w inną (C2),
- obliczać współrzędne wierzchołka paraboli (C3),
- obliczać miejsca zerowe funkcji kwadratowej (C4),
- rysować wykres funkcji kwadratowej (C5),
- stosować wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy (C6),
- podać zależności własności funkcji kwadratowej od wartości p, q, x1, x2 (C7),
- wykorzystać informację o tym, że punkt należy do wykresu funkcji (C8),
- zaproponować różne, nietypowe metody rozwiązania zadania (D1),
- dobrać strategię rozwiązania zadania (D2),
- argumentować swoje stanowisko (D3).
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
6. Postawy i zainteresowania:
- doskonalenie umiejętności logicznego i twórczego myślenia,
- motywowanie do samodzielnego poszukiwania rozwiązania problemu,
- wdrażanie do dobrej organizacji pracy;
7. Strategie nauczania: asocjacyjna, podająca;
8. Metody nauczania:
- pogadanka (M1),
- ćwiczeniowa (M2);
9. Zasady nauczania:
- świadomego i aktywnego uczestnictwa w zajęciach,
- stopniowania trudności;
10. Formy pracy uczniów:
- zbiorowa (F1),
- indywidualna (F2),
- programowana z użyciem tablicy interaktywnej (F3);
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
11. Środki dydaktyczne:
- tablica interaktywna z programem Interwrite,
- rzutnik multimedialny;
12. Wykaz piśmiennictwa:
dla ucznia i nauczyciela:
- załącznik nr 1,
- załącznik nr 2;
13. Struktura lekcji:
SPOSOBY REALIZACJI
ETAPY LEKCJI
ZAGADNIENIA, ZADANIA,
ZAGADNIEŃ, ZADAŃ,
PROBLEMY LEKCJI
PROBLEMÓW
LEKCJI
1. FAZA WSTĘPNA
SPEŁNIENIE
ZAŁOŻONYCH
CELÓW LEKCJI
Czynności organizacyjne;
Sprawdzenie pracy domowej;
Przypomnienie postaci kanonicznej,
iloczynowej i ogólnej funkcji
kwadratowej;
(F1) (M1)
(A1)
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
Przypomnienie metod przechodzenia
(F1) (M1)
(B1, B2)
(F1, F2) (M1, M2)
(A1)
z jednej postaci funkcji kwadratowej
w inną;
2. FAZA
REALIZACYJNA
Podanie uczniom zadania;
Zadanie
Dana jest funkcja kwadratowa
y = 2x2 – 4x – 6.
a) Podaj nazwę postaci, w jakiej podano wzór
funkcji.
b) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli,
będącej wykresem funkcji (p, q).
c) Podaj wzór funkcji w postaci kanonicznej.
(F1, F2) (M1, M2)
(F1, F2) (M1, M2)
d) Oblicz miejsca zerowe funkcji.
(F1, F2) (M1, M2)
e) Zapisz wzór funkcji w postaci iloczynowej.
(F1, F2) (M1, M2)
Uczniowie szkicują wykres funkcji. Na
podstawie wykresu funkcji odczytują i
zapisują jej własności;
- dziedzinę,
- zbiór wartości,
- miejsca zerowe,
- monotoniczność funkcji,
(F1, F2, F3) (M1, M2)
(C3)
(B1) (C1)
(C4)
(B2) (C1)
(A2) (B3)
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
- wartości dodatnie i ujemne,
- wartość najmniejsza,
- oś symetrii;
Powtórzenie zależności własności funkcji
(F1) (M1)
(C7)
(F1, F2, F3) (M1, M2)
(A1)
kwadratowej od wartości: p, q, x1, x2 ;
Rozdanie uczniom zestawu zadań o
funkcji kwadratowej (załącznik nr 1
do lekcji);
Zadanie 1
Pytania do zadania
1. W jakiej postaci podany jest wzsór funkcji
kwadratowej w treści zadania?
2. Którą postać funkcji kwadratowej można
(B1) (C1)
zastosować w zadaniu, tak żeby wykorzystać
informację o wierzchołku?
3. W jaki sposób wyznaczysz współczynniki b i c,
(C2)
mając daną postać kanoniczną funkcji?
4. Czy jest inny sposób rozwiązania zadania?
(D1)
5. Który ze sposobów rozwiązania uważasz za
(D2, D3)
najlepszy? Uzasadnij twój wybór)
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
Zadanie 2
Pytania do zadania
1. Która z trzech postaci funkcji kwadratowej
(F1, F2, F3) (M1, M2)
(A1) (B1) (C1) (D2)
pozwoli wykorzystać daną W = (2, 5) z treści
zadania?
(C8)
2. Jak wyznaczyć współczynnik a we wzorze
funkcji kwadratowej, mając dany punkt należący
do paraboli?
3. Jaką postać należy wyznaczyć i w jaki sposób
(C2, C6)
to zrobić?
Zadanie 3
Pytania do zadania
1. Która z trzech postaci funkcji kwadratowej
(F1, F2, F3) (M1, M2)
(A1) (B2) (C1) ( D2)
pozwoli na wykorzystanie danych x1 = - 3,
x2 = 5 z treści zadania?
2. Jak można w rozwiązaniu wykorzystać
(C7, C8)
informację o tym, że funkcja osiąga najmniejszą
wartość równą -6?
3. W jaki sposób wyznaczyć pozostałe postacie
(C1, C2)
funkcji kwadratowej?
4. Czy istnieje inny sposób rozwiązania zadania?
(A1) (C8)
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
(D1, D2, D3)
5. Który ze sposobów rozwiązania uważasz za
najlepszy? Uzasadnij twój wybór.
Zadanie 4
1. Zaproponuj wzór funkcji kwadratowej, którą
(F1, F2, F3) (M1, M2)
(A1) (B1) (C1) (D2, D3)
można zastosować w rozwiązaniu zadania.
Uzasadnij swój wybór.
2. Jak wyznaczysz współczynnik a we wzorze
(C8)
funkcji?
3. W jaki sposób przejdziesz do pozostałych
(A1) (B1) (C1, C2, C3, C6)
postaci funkcji kwadratowej?
(D1)
4. Czy istnieje inny sposób rozwiązania zadania?
Zadanie 5
1. Jakie informacje możesz odczytać z wykresu
(F1, F2, F3) (M1, M2)
(B4)
funkcji?
(A1) (B2) (C1, C8) (D2)
2. Zaproponuj strategię rozwiązania zadania.
Zadanie 6
1. Jakie informacje o funkcji kwadratowej
(F1, F2, F3) (M1, M2)
(B3)
potrafisz odczytać z treści zadania?
2. Którą z postaci funkcji kwadratowej
proponujesz zastosować w celu rozwiązania
(D1, D2)
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji o podanych własnościach
zadania?
Po odczytaniu danych z treści zadania uczniowie
próbują samodzielnie je. Propozycję rozwiązania
prezentują na tablicy.
3. FAZA
PODSUMOWUJĄCA
Podsumowanie lekcji – pytania do uczniów:
1. Jakie informacje o funkcji kwadratowej,
(F1) (M1)
(B1, B2)
(F1) (M1)
(A2)
zawarte w treści zadania determinują wybór
wzoru funkcji w postaci ogólnej/ iloczynowej/
kanonicznej?
2. Jakie informacje, istotne do zapisania wzoru
funkcji kwadratowej, można odczytać z wykresu?
Informacja o zadaniu domowym
Załącznik nr 2.
Opracowała Irena Wosz - Łoba
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru
funkcji o podanych własnościach
(Załącznik nr 1)
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej
Zad. 1. Wyznacz współczynniki funkcji kwadratowej y = x2 + bx + c, mając dane
współrzędne wierzchołka W = (- 1, 4).
Zad. 2. Pewna parabola o wierzchołku W = (2, 5) przecina oś 0Y w punkcie A = (0, -3) .
Wyznacz postać ogólną funkcji kwadratowej y = f(x), której wykresem jest ta
parabola.
Zad. 3. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są x1 = - 3, x2 = 5.
Funkcja osiąga najmniejszą wartość równą - 6. Wyznacz wzór funkcji
w postaci iloczynowej, ogólnej i kanonicznej.
Zad. 4. Napisz w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej wzór funkcji kwadratowej, jeśli
do wykresu tej funkcji należy punkt A = (3, 0) i funkcja osiąga wartość największą
równą 12 dla argumentu 1.
Zad. 5. Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej podaj jej wzór.
Zad. 6. Wykres funkcji kwadratowej f jest styczny do prostej y = - 4, przechodzi przez
punkt (3, 14) oraz jest symetryczny względem osi OY. Wyznacz wzór funkcji f i
narysuj jej wykres. Odczytaj własności funkcji z wykresu.
Zastosowanie własności trójmianu kwadratowego: rysowanie wykresu, wyznaczanie wzoru
funkcji o podanych własnościach
(Załącznik nr 2)
Zadanie domowe
Zad. 1. Wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne W = (4, - 2).
Wykres funkcji przechodzi przez punkt A = (6, 2). Zapisz wzór funkcji
w postaci ogólnej i iloczynowej.
Zad. 2. Punkty A = (0, 5) i B = (1, 12) należą do wykresu funkcji
f(x) = x2 + bx + c . Zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej,
kanonicznej i iloczynowej.
Zad. 3. Dany jest wykres funkcji kwadratowej
a) Korzystając z danych na wykresie wyznacz wzór funkcji
ogólnej.
b) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli.
c) Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej.
w postaci