Przestrzenie metryczne Dotąd spotykaliśmy się z pojęciem

Przestrzenie metryczne Przestrzenie metryczne Dotąd spotykaliśmy się z pojęciem odległości punktów na przykładzie liczb na osi liczb rzeczywistych czy punktów na płaszczyźnie (odległość euklidesowa). Ten sposób liczenia odległości pomimo wielu zalet ma również wady. W praktyce często nie jest możliwe przejście z punktu A do punktu B najkrótszą drogą, bo uniemożliwiają nam to budynki, rzeki czy inne przeszkody. Zaproponowano więc wiele innych sposobów mierzenia odległości. Przyjęto, że funkcja która przyporządkowuje parze punktów zbioru liczbę (zwaną odległością) musi spełniać kilka warunków, a samą funkcję określa się mianem metryki. Definicja Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze nazywamy dowolną funkcję :
0, ∞ spełniającą następujące warunki: ⁄
1.
,
2.
,
3.
,
⁄
0fl
,
,
⁄
,
, ,
,
liczbę ,
siebie od (warunek symetrii), ,
,
,
Parę uporządkowaną ,
, (warunek trójkąta). , gdzie jest metryką, nazywamy przestrzenią metryczną. Dla dowolnych nazywamy odległością punktów i oraz mówimy, że i są oddalone od . Definicja ,
Niech będzie przestrzenią metryczną. Kulą o środku w punkcie nazywamy zbiór: ,
:
,
i promieniu 0 . Definicja Niech ,
będzie przestrzenią metryczną. Kulą domkniętą o środku w punkcie 0 nazywamy zbiór: ,
:
,
i promieniu . Przykłady przestrzeni metrycznych 1. Niech będzie dowolnym zbiorem, oraz: ⁄
,
to para ,
1 dla
0 dla
,
jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką dyskretną w . 1 MB Przestrzenie metryczne 2. Niech , oraz ⁄
,
: ,
Para ,
Para ,
,
max |
,
|
| , …
| nazywamy metryką euklidesową w jest przestrzenią metryczną. Funkcję jest przestrzenią metryczną. Funkcję . nazywamy metryką maksimum (nieskończoność, kwadratowa) w RN . Para ,
jest przestrzenią metryczną. Funkcję miasto, Minkowskiego, wielkomiejską) w nazywamy metryką taksówkową (Manhattan, . , oraz: 3. Niech ⁄
,
Para ,
|
| |
,
|
| |
|
dla
| dla
nazywamy metryką rzeką (buszu) w R . jest przestrzenią metryczną. Funkcję Uwaga, w powyższym zapisie „rzeką” jest oś OY. , oraz: 4. Niech ⁄
,
Para ,
,
,
,
jest przestrzenią metryczną. Funkcję ,
gdy , , są współliniowe
gdy , , nie są współliniowe
nazywamy metryką kolejową (centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego) w R . Wyróżniony punkt S nazywany jest węzłem. 2 MB