Wykład 7 Metryka naturalna i norma w R Niech x, y ∈ R k, tzn. x

Wykład 7 Metryka naturalna i norma w R Niech x, y ∈ R k, tzn. x

Wykład 7
Metryka naturalna i norma w Rk
Niech x, y ∈ Rk , tzn. x = (x1 , x2 , ..., xk ),
y = (y1 , y2 , ..., yk ).. Niech
v
u k
uX
ρ(x, y) = t (xi − yi )2 .
i=1
Funkcja ρ : Rk × Rk → R+ ∪ {0} jest metryką w Rk . Nazywamy ją metryka naturalną w Rk .
Ciąg jest zbieżny w Rk z metryką naturalną wtedy i tylko wtedy gdy zbieżne są jego współrzędne.
Przestrzeń Rk z metryką naturalną jest przestrzenia metryczną zupełną.
Definicja. Normą w przestrzeni liniowej X nad R nazywamy funkcję przyporzadkowującą każdemu
elementowi x przestrzeni X liczbę rzeczywistą nieujemną ||x|| spełniajaca następujace warunki:
(1) ∀x ∈ X ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0
(2) ∀λ ∈ R ∀x ∈ x ||λx|| = |λ| · ||x||
(3) ∀x, y ∈ X ||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||.
Przestrzeń liniową z okresloną w niej normą nazywamy przestrzenią unormowaną. Każdą przestrzeń
unormowaną można uczynić przestrzenią metryczną przyjmując
ρ(x, y) = ||x − y||.
Taką metrykę nazywa sie metryką wyznaczoną przez normę. Przestrzeń Rk z normą
v
u k
uX
||(x1 , x2 , ..., xk )|| = t x2i
i=1
jest przestrzenią unormowaną. Metryka naturalna w Rk jest wyznaczona przez tę normę.
Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych.
Niech f : D → R, gdzie D jest podzbiorem Rk . W Rk rozważamy metrykę naturalną, którą oznaczać
bedziemy przez ρ.
Niech a będzie punktem skupienia zbioru D.
Definicja. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a jeśli dla dowolnego ciągu elementów {xn }∞
n=1 ⊂ D \ {a} zbieżnego do a
lim f (xn ) = g.
n→∞
Równoważna definicja:
Definicja. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a jeśli
∀ε > 0
∃δ > 0
∀x ∈ D
0 < ρ(x, a) < δ ⇒ |f (x) − g| < ε.
Definicja. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie a ∈ D jeśli dla dowolnego ciągu elementów
{xn }∞
n=1 ⊂ D zbieżnego do a
lim f (xn ) = f (a),
n→∞
Równoważna definicja:
Definicja. Mówimy, że f jest ciagła w punkcie a ∈ D jeśli
∀ε > 0
∃δ > 0
∀x ∈ D
ρ(x, a) < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.