Wst/ep do teorii miary

Wst/ep do teorii miary
SPPI, rok II
Wyk/lad 6
1. Metryka.
Na protej R i w Rn mamy stuktur/e odleg/lo/sci. Odległość
p między x a y w R definiowana jest jako |x − y|. W R2 między (x1 , x2 ) a (y1 , y2 ) jako (x1 − y1 )2 + (x2 − y 2 )2 .
Definicja 1 Metryką na zbiorze X nazywamy funkcję dwóch zmiennych d : X ×X → [0, ∞)
spełniającą warunki
1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y) dla dowolnych x, y, z ∈ X (nierówność trójkąta).
Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.
Twierdzenie 1 Podzbiór Y przestrzeni metrycznej (X, d) tworzy przestrzeń metryczną z
tą samą metryką obciętą do Y .
Będziemy pisać (Y, d) ignorując operację obcięcia metryki (ale niektóre źródła piszą (Y, d|Y )).
Parę (Y, d) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni metrycznej (X, d).
Definicja 2 Kula otwarta o środku w x0 i promieniu r to zbiór:
K(x0 , r) = Kr (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} .
Kula domknięta to zbiór:
K̄(x0 , r) = K̄r (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ¬ r} .
Wiele dalszych pojęć będzie bazować na pojęciu kuli.
Przykłady:
1. Metryki w N ∪ {0}: odziedziczona z R, tzn. d(m, n) = |m − n|, vs. zadająca topologię
1
1
ciągu n1 , tzn. ρ(m, n) = | m
− n1 | dla m, n 6= 0, ρ(0, m) = m
.
2. Metryki w Rn pochodzące od norm: taksówkowa
p d1 (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) = |x1 − y1 | +
(x1 − y1 )2 + (x2 − y 2 )2 i maksimum
|x2 + y2 |, euklidesowa
d
(x
,
x
),
(y
,
y
)
=
2
1 2
1 2
d∞ (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) = max{|x1 −y1 |, |x2 −y2 |}. Jak wyglądają kule w tych metrykach
w R2 ?
3. Metryka „węzeł kolejowy” w R2 :
(
d(x, y) =
d2 (x, y)
gdy x i y leżą na wspólnej prostej przechodzącej przez
d2 (x, (0, 0)) + d2 ((0, 0), y) w przeciwnym razie,
gdzie d2 jest metryką euklidesową (narysować kulkę na ćwiczeniach).
4. Metryka „rzeka” w R2 : dana jest prosta l w R2 . Definiujemy
(
d(x, y) =
d2 (x, y)
d2 (x, y) + d2 (x, x0 ) + d2 (y, y 0 )
gdy prosta przechodząca przez x i y jest prostopadła do l
w przeciwnym razie
gdzie d2 jest metryką euklidesową, x0 rzutem x na l, a y 0 rzutem y na l
5. Standardowa metryka w C([0, 1]): d∞ (f, g) = supx∈[0,1] |f (x) − g(x)|.
1. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych
Definicja 3 Ciąg (xn ) elementów przestrzeni (X, d) jest zbieżny, gdy limn→∞ d(xn , x) = 0.
Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu (xn ). Oznaczamy limn xn = x lub xn → x.
Równoważnie, xn → x, gdy dla każdego > 0 istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0
zachodzi xn ∈ K(x, ).
Przykłady
1. W metryce dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe.
2. W metryce ρ na N ∪ {0} z poprzedniego wykładu każdy podciąg ciągu N jest zbieżny
do zera.
3. W metryce „węzeł kolejowy” ciąg punktów (0, n1 ) jest zbieżny do (0, 0), ale (1, n1 ) nie
jest zbieżny do (1, 0), ani ( n1 , 1) nie jest zbieżny do (0, 1). Oczywiście, wszystkie są
zbieżne w metrykach: taksówkowej, euklidesowej i maksimum. Jak jest z „rzeką”, gdy
wyróznioną prostą jest 0X?
4. Co można powiedzieć o ciagach funkcji fn (x) =
przestrzeni C([0, 1])?
1
n x,
gn (x) = nx, hn (x) = xn w
Definicja 4 Metryki d i d0 na X są równoważne, gdy pojęcia zbieżności w tych metrykach
są takie same, tzn.
d(xn , x) → 0
⇐⇒
d0 (xn , x) → 0