pobierz - nazwa.pl

9. 5.
WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW
Trapez
b
δ
c
w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa
a , b – podstawy trapezu
γ
h
d
α
β
c, d - ramiona trapezu
h – wysokość trapezu
α + δ = 180°
a
β + γ = 180°
b
`Odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i
x
wyraŜa się wzorem
x=
a+b
2
a
a
Wzór na pole trapezu :
P=
1
(a + b ) ⋅ h
2
h
b
Trapez równoramienny
b
β
β
c
α
e
c
α
e
a
- kąty wewnętrzne trapezu równoramiennego przy tej samej
podstawie są równe,
- przekątne trapezu równoramiennego są równe i dzielą się
samym stosunku,
- wzór na e w trapezie równoramiennym: e
Trapez prostokątny
- wzór na e w trapezie prostokątnym : e
b
h
h
c
·
e
a
=
a −b
2
= a−b
Przykład 9.5.1. Ramiona trapezu mają długości 4 i 8 , a obwód trapezu jest równy 30.
Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
c=8
Szukane:
x
d =4
Ob = 30
Wzory:
a+b
x=
2
Ob = a + b + c + d
Ob = a + b + c + d
30 = a + b + 8 + 4
30 = a + b + 12
Wykorzystując obwód,
obliczamy sumę podstaw.
a + b = 18
a + b 18
x=
=
=9
2
2
Obliczamy x ze wzoru:
x=
a+b
2
Przykład 9.5.2. DłuŜsza podstawa trapezu równoramiennego ma 16, ramię 6,
a kąt ostry 60° . Oblicz pole trapezu.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
a = 16
c=6
α = 60°
Szukane:
P
Wzory:
1
P = (a + b ) ⋅ h
2
Obliczmy h korzystając ze wzoru:
sin α =
sin α =
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
h
c
sin 60° =
h
6
3 h
=
2
6
2h = 6 3 / : 2
h=3 3
cos α =
Obliczmy e korzystając ze wzoru:
e
c
cos 60° =
cosα =
e
6
przyprostokatna_ przy_α
przeciwprostokatna
1 e
=
2 6
2e = 6 / : 2
e=3
16 − b
3=
/⋅ 2
2
6 = 16 − b
b = 16 − 6
b = 10
1
1
P = (a + b ) ⋅ h = (16 + 10 ) ⋅ 3 3 = 39 3
2
2
Obliczamy b wykorzystując wzór:
Obliczamy pole trapezu.
e=
a −b
2
Równoległobok
a
β
- w równoległoboku przeciwległe boki są równe
i równoległe,
- w równoległoboku przeciwległe kąty są równe,
- w równoległoboku α + β = 180°
- w równoległoboku przekątne przecinają się w połowie
α
b
b
α
β
a
Wzory na pole równoległoboku:
P = a⋅h
h
a
b
P = a ⋅ b ⋅ sin α
α
a
Przykład 9.5.3. Krótsza przekątna równoległoboku wynosi 2 7 i tworzy z krótszym bokiem
kąt prosty. Stosunek długości boków równoległoboku jest równy 3 : 4 .
Oblicz pole i obwód równoległoboku.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
d =2 7
Szukane:
P, Ob
b 3
=
a 4
α = 90°
b2 + d 2 = a2
b 2 + 28 = a 2
Wzory:
1
P = 2⋅ b⋅d
2
Ob = 2a + 2b
Pole równoległoboku moŜemy obliczyć
wykorzystując fakt, Ŝe jest on zbudowany z
dwóch przystających trójkątów
prostokątnych.
Wykorzystując twierdzenia Pitagorasa
układamy równanie z niewiadomymi a i b.
Budujemy układ równań z niewiadomymi a
i b, .który rozwiązujemy metodą
podstawiania.
b 3
a = 4

b 2 + 28 = a 2

3

b = 4 a


2
 3 a  + 28 = a 2
 4 
9 2
a − a 2 = −28
16
7
 7
− a 2 = −28 / :  − 
16
 16 
a 2 = 64
a=8
3
⋅8 = 6
4
1
P = 2 ⋅ b ⋅ d = 6 ⋅ 8 = 48
2
Ob = 2a + 2b = 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 = 28
b=
Obliczamy pole równoległoboku.
Obliczamy obwód równoległoboku.
Romb
a
β
α
a
a
α
- w rombie wszystkie boki są równe,
- w rombie przeciwległe kąty są równe,
- w rombie α + β = 180°
β
a
Przekątne w rombie:
- dzielą się na połowę,
- przecina ją się pod kątem prostym,
··
1
d2
2
1
d1
2
1
β
2
1
α
2
r
- dzielą kąty wewnętrzne na połowę
Okrąg wpisany w romb:
- środek okręgu wpisanego w romb jest punktem przecięcia
przekątnych rombu
- wzór na promień okręgu wpisanego w romb
r=
1
h
2
Wzory na pole rombu
P = a⋅h
h
a
P = a 2 ⋅ sin α
a
α
a
P=
d1
1
d1 ⋅ d 2
2
d2
Przykład 9.5.4. Jedna z przekątnych rombu jest dwa razy dłuŜsza od drugiej.
Wyznacz stosunek obwodu rombu do sumy jego przekątnych.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
d 2 = 2d1
2
Szukane:
Ob
d1 + d 2
2
1 
1 
2
 d1  +  d 2  = a
2
2




2
1 2 1

d1 +  ⋅ 2 d1  = a 2
4
2

1 2
d1 + d1 2 = a 2
4
Wzory:
Ob = 4a
Przekątne w rombie są prostopadłe, zatem
α = 90°
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa i
wykonując odpowiednie podstawienie
układamy równanie z niewiadomą d1 .
5 2
d1 = a 2
4
5
a=
d1
2
Ob
4a
=
=
d1 + d 2 d1 + 2 d1
4⋅
5
d1
2 5
2
=
3d1
3
Obliczamy stosunek obwodu rombu do
sumy jego przekątnych.
Przykład 9.5.5. Oblicz pole rombu wiedząc, Ŝe krótsza przekątna ma długość 6
i kąt ostry rombu ma miarę 60°
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
Szukane:
d1 = 6
P
α = 60°
Wzory:
1
P = d1 ⋅ d 2
2
Przekątne w rombie są prostopadłe, zatem
trójkąt ABF jest prostokątny.
Z własności rombu wynika równieŜ:
1
2
β = α = 30°
1
d1
2
1
AF = d 2
2
BF =
1
d1
tgβ = 2
1
d2
2
d
tg 30° = 1
d2
d 2 wykorzystując wzór:
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
tgα =
przyprostokatna _ przy _ α
Obliczamy
3
6
=
3
d2
3d 2 = 18 /⋅ 3
3d 2 = 18 3 / : 3
d2 = 6 3
1
1
P = d1 ⋅ d 2 = ⋅ 6 ⋅ 6 3 = 18 3
2
2
Obliczamy pole rombu.
Prostokąt
b
a
- przekątne w prostokącie są równe i dzielą się na połowy
- wzór na pole prostokąta:
P = a ⋅b
a
b
Okrąg opisany na prostokącie:
- środkiem okręgu opisanego na prostokącie jest punkt
przecięcia przekątnych prostokąta
- wzór na promień okręgu opisanego na prostokącie
R
R=
1
d
2
d – przekątna prostokąta
Przykład 9.5.6. Prostokąt wpisany jest w okrąg o promieniu 20, stosunek długości jego boków
jest równy 3 : 4 . Oblicz pole tego prostokąta.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
R = 20
b 3
=
a 4
Szukane:
P
Wzory:
P = a ⋅b
a 2 + b 2 = (2 R )2
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa dla
tego trójkąta zapisujemy równanie z
niewiadomymi a i b
Zapisujemy układ równań z niewiadomymi
a i b, który rozwiązujemy metodą
podstawiania.
a 2 + b 2 = 1600
3
b
 =
4
a
 a 2 + b 2 = 1600

3

b = a
4

2
a + b 2 = 1600

2
3 
a 2 +  a  = 1600
4 
9
a 2 + a 2 = 1600
16
25 2
a = 1600
16
a 2 = 1024
a = 32
3
3
a = ⋅ 32 = 24
4
4
P = a ⋅ b = 32 ⋅ 24 = 768
b=
Obliczmy pole prostokąta.
Kwadrat
a
-
przekątne kwadratu są równe, przecinają się pod kątem prostym i
dzielą się na połowy
a
d
- wzór na przekątną kwadratu:
-
d =a 2
wzór na pole kwadratu:
P = a2
Okrąg wpisany w kwadrat i okrąg opisany na kwadracie
- punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest środkiem okręgu
wpisanego w kwadrat i środkiem okręgu opisanego na
kwadracie.
- wzór na promień okręgu wpisanego w kwadrat :
R
r
r=
-
1
a
2
wzór na promień okręgu opisanego na kwadracie:
R=
1
d
2
Przykład 9.5.7. RóŜnica między długością przekątnej i długością boku kwadratu wynosi 2 cm
Oblicz pole i obwód kwadratu
Rozwiązanie
Szukane:
Wzory:
Dane :
d −a =2
Analiza zadania.
P = a2
Ob = 4a
P, Ob
d =a 2
d −a =2
a 2−a =2
(
Komentarz
Układamy i rozwiązujemy równanie z
niewiadomą a.
)
(
)
a 2 −1 = 2 / : 2 −1
2
a=
2 − 1 /⋅ ( 2 +1)
a=
Usuwamy niewymierność z mianownika
2 2+2
=2 2+2
2 −1
(
P = a2 = 2 2 + 2
)2 = (2 2 )2 + 2 ⋅ 2
= 8 + 8 2 + 4 = 12 + 8 2
(
)
Ob = 4a = 4 2 2 + 2 = 8 2 + 8
2 ⋅ 2 + 22 =
Obliczamy pole kwadratu.
(
Przykład 9.5.8. Oblicz stosunek promienia okręgu opisanego na kwadracie do promienia
okręgu wpisanego w kwadrat.
Szukane:
R
r
Rozwiązanie
Wzory:
1
R= d
2
d =a 2
1
r= a
2
1
d
R 2
d a 2
=
= =
= 2
1
r
a
a
a
2
)
2
Do wykonania działania 2 2 + 2
wykorzystujemy wzór skróconego
2
2
2
mnoŜenia : (a + b ) = a + 2ab + b
Obliczamy obwód kwadratu.
Komentarz
Analiza zadania.
Obliczamy stosunek promienia okręgu
opisanego na kwadracie do promienia
okręgu wpisanego w kwadrat
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 9.5.1. (3pkt ) W trapezie prostokątnym wysokość h = 8cm ,a kąt ostry α = 45° .
Oblicz obwód trapezu wiedząc, Ŝe krótsza podstawa b = 10cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości ramienia nieprostopadłego do podstaw.
1
2
Podanie długości dłuŜszej podstawy trapezu.
1
3
Podanie obwodu trapezu.
1
Ćwiczenie 9.5.2. (3pkt ) Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego, w którym podstawy
mają długości 16cm i 6cm oraz ramię ma 5 2cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie wysokości trapezu.
1
2
Podanie pola trapezu
1
3
Podanie obwodu trapezu.
1
Ćwiczenie 9.5.3. (3pkt ) Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku o bokach 3 2cm
I 5cm , jeŜeli kąt ostry ma miarę 45° .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
3
Odpowiedź
Podanie wysokości równoległoboku opuszczonej na
dłuŜszy bok.
Podanie długości odcinków , na które wysokość dzieli
dłuŜszy bok.
Podanie długości krótszej przekątnej równoległoboku.
Liczba punktów
1
1
1
Ćwiczenie 9.5.4. (3pkt ) Oblicz pole i obwód rombu wiedząc, Ŝe promień okręgu wpisanego
w ten romb wynosi 4cm i kąt ostry tego rombu 30° .
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie wysokości rombu.
1
1
2
Podanie długości boku rombu.
1
3
Podanie pola rombu.
1
Ćwiczenie 9.5.5. (2pkt ) Oblicz długości przekątnych rombu o kącie ostrym 60° i boku
10 cm .
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie długości krótszej przekątnej.
1
1
2
Podanie długości dłuŜszej przekątnej.
1
Ćwiczenie 9.5.6. (3pkt ) Oblicz pole i obwód prostokąta wiedząc, Ŝe jego przekątna ma
długość 5 cm , a jeden z boków jest dwa razy większy od drugiego.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości boków prostokąta.
1
2
Podanie pola prostokąta.
1
3
Podanie obwodu prostokąta.
1
Ćwiczenie 9.5.7. (3pkt ) Oblicz pole i obwód kwadratu wiedząc, Ŝe promień okręgu
opisanego na tym kwadracie wynosi 4 2 cm
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości boku kwadratu.
1
2
Podanie pola kwadratu.
1
3
Podanie obwodu kwadratu.
1