Wykład 6
Transkrypt
Wykład 6
Wykład 6 3 Prawa ruchu 3.1 I zasada dynamiki Newtona 3.2 II zasada dynamiki Newtona 04-10-22 Reinhard Kulessa 1 3 Prawa ruchu Ruch ciała możemy zmienić, jeśli poddamy ciało oddziaływaniu. Będziemy chcieli zastanowić się nad tym w jaki sposób dochodzi do ruchu ciała. Będziemy chcieli zrozumieć, dlaczego ciało drga na sprężynie, dlaczego zatrzymuje się po pewnym czasie, dlaczego w pewnych przypadkach wprawiamy ciało w ruch nawet wtedy, gdy na na to ciało bezpośrednio nie oddziałujemy. 3.1 I zasada dynamiki Newtona Już Galileusz zauważył, że każde ciało, jeśli na nie nie działa żadne zewnętrzne zaburzenie spoczywa, lub porusza się ze stałą prędkością. Aby wprawić ciało w ruch, musimy pokonać pewną jego własność zwaną bezwładnością. 04-10-22 Reinhard Kulessa 2 Newton przyjął obserwacje Galileusza i sformułował I Zasadę Dynamiki zwaną też Zasadą Bezwładności. Ciało odosobnione zawsze pozostaje w spoczynku, lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. 04-10-22 Reinhard Kulessa 3 04-10-22 Reinhard Kulessa 4 Opis odosobnionej cząstki, o której mówimy w I zasadzie dynamiki Newtona zależy również od układu odniesienia. Taki układ odniesienia względem którego cząstka nie podlega oddziaływaniu, spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej, nazywamy układem inercjalnym. Chcielibyśmy jakościowo sformułować własność ciała zwaną bezwładnością. Z obserwacji wiemy, że aby zmienić stan ciała poruszającego się np. ruchem jednostajnym, musimy ciało „popchnąć” lub „pociągnąć”. Musimy na to ciało zadziałać pewną siłą. Możemy więc powiedzieć, że ze względu na bezwładność materii konieczna jest siła aby zmienić stan ruchu ciała. Zapytamy się jaka siła będzie potrzebna aby nadać ciału określone przyśpieszenie. 04-10-22 Reinhard Kulessa 5 3.1.1 Statyczny pomiar siły Zastanówmy się w jaki sposób dochodzimy do pojęcia siły. Co jest wspólnego w naszych poczynaniach co prowadzi do pojęcia siły? Podstawową własnością siły jest to, że możemy ją zmierzyć, tzn. w pewien sposób porównać ją z inną siłą. Jako miernik siły weźmy sobie sprężynę. 04-10-22 Reinhard Kulessa 6 Dynamometr Dochodzimy do wniosku, że sile musimy przyporządkować punkt zaczepienia, oraz kierunek. Oznacza to, że możemy ją opisać przez jakiś wektor F. Wielkość siły możemy określić z wydłużenia sprężyny. 04-10-22 Reinhard Kulessa 7 Ponieważ wielkość wydłużenia zależy od materiału, musimy sprężynę wycechować, tzn. porównać z siłą, która zawsze i wszędzie jest zdefiniowana w ten sam sposób, np. z siłą wynikającą z prawa powszechnego ciążenia. Jeśli sprężynę obciążymy masą, to sprężyna wydłuży się o ∆l. Dlaczego? – bo masa jest przyciągana przez siłę grawitacji. Gdy sprężyna znajdzie się w spoczynku, siła grawitacji jest równoważona przez siłę sprężystości. 04-10-22 Reinhard Kulessa 8 ∆l m1 ∆z Jeśli obciążymy sprężynę następną kulką o masie m1 sprężyna wydłuży się ponownie o ∆l., itd.. Możemy więc wyciągnąć wniosek, że wydłużenie sprężyny ∆z zwiększa się liniowo w stosunku do przyłożonej siły. Możemy to zapisać jako: F = −c ∆l . ms 04-10-22 (3.1) Znak siły jest ujemny, gdyż siła sprężystości sprężyny sprzeciwia się wydłużaniu. Reinhard Kulessa 9 Wyrażenie podane we wzorze (3.1) jest znane jako Prawo Hooke’a. Prawo to jest ważne dla wszystkich materiałów i rodzajów deformacji, o ile deformacja jest mała. Bardzo często zamiast sprężyny stosujemy pręt z danego materiału. Dla przypadku podanego na rysunku, Prawo Hooke’a można napisać następująco; l ∆l . (3.2) Zakładamy przy tym, że ∆l jest małe. S F 04-10-22 F ∆l = −E S l Zgodnie z równaniem (3.1), możemy mierzyć siłę przez wydłużenie ciała. Reinhard Kulessa 10 F = −c (l − l0 ) . Pomiar ten odbywa się w jednostkach względnych. W dalszym ciągu zastanowimy się nad dynamicznymi skutkami działania siły, czyli m.in. jej wpływem na ruch. 3.2 II zasada dynamiki Newtona Zbadajmy na ławie powietrznej wpływ siły Fg na ruch wózka o masie mC mogącego poruszać się bez tarcia. Wyznaczmy pokonaną drogę, a z niej prędkość i przyśpieszenie w funkcji czasu wykonując eksperyment przedstawiony na następnej stronie. 04-10-22 Reinhard Kulessa 11 v 1 blok = mC Przyśpieszenie = a 1 ciężar =Fg t v 1 blok Przyśpieszenie = 2a 2 ciężary t v 2 bloki Przyśpieszenie = 1/2a 1 ciężar 04-10-22 t Reinhard Kulessa 12 F 1 m 1 t 4.275 a 0.219 2 2 1 1 2 2 3.125 4.125 5.9 0.32 0.235 0.169 Widzimy, że oraz a ∼ Fg Masa m pokonywała w każdym przypadku drogę 2 m. Aby uzyskać dobre wyniki, należy doświadczenie wielokrotnie powtórzyć dla różnych wartości masy, siły i drogi. a ∼ 1 . mC Wyniki doświadczenia, da się zapisać jako: a= 04-10-22 Fg mC lub F = mC a Reinhard Kulessa (3.3) 13 Siła działająca na cząstkę jest równa iloczynowi masy bezwładnej razy przyśpieszenie cząstki, które to przyśpieszenie cząstka uzyskała pod wpływem działania siły w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc: Jeżeli cząstka porusza się z przyśpieszeniem a w układzie inercjalnym, to działa na nią siła równa iloczynowi masy bezwładnej cząstki i jej przyśpieszenia. Jest to II zasada dynamiki Newtona. Jednostką siły w układzie SI jest jeden niuton [1N]. 1m 1 N = 1kg ⋅ 2 . s 04-10-22 Reinhard Kulessa 14 Jeśli na dwie różne masy podziałamy tą samą siłą, to możemy napisać: F = m1 a1 F = m2 a2 stąd wynika, że m1 a2 = m2 a1 . Widzimy więc, że pod wpływem tej samej siły większa masa ulega mniejszemu przyśpieszeniu, a mniejsza większemu. Masa bezwładna jest miarą oporu jaki cząstka stawia przyśpieszeniom. (demonstracje bezwładność) Siłą jaka działa na cząstkę najczęściej zależy od położenia cząstki, czyli od wektora r definiującego to położenie. Siła ta dr może jednak zależeć również od prędkości cząstki, v = , dt 15 04-10-22 Reinhard Kulessa oraz od czasu. Możemy więc napisać, że dr F = F (r , , t ) . dt Ruch cząstki znajdujemy rozwiązując równanie: d 2 r (t ) dr m = F (r , , t ) 2 dt dt . (3.4) Równanie (3.4) nazywamy równaniem ruchu Newtona. Jest ono równoważne trzem równaniom dla poszczególnych składowych. d 2 x (t ) dx dy dz m 2 = Fx ( x , y , z , , , , t) dt dt dt dt d 2 y (t ) dx dy dz = Fy ( x , y , z , , , , t ) m 2 dt dt dt dt d 2 z (t ) dx dy dz m = Fz ( x , y , z , , , , t ) 2 dt dt dt dt 04-10-22 Reinhard Kulessa . 16 Znając warunki początkowe, czyli wartości r0 , v 0 , t 0 , możemy równanie to rozwiązać jednoznacznie,czyli podać funkcję położenia cząstki r (t ) dla dowolnej chwili t > t0 . 04-10-22 Reinhard Kulessa 17