wstep belki MS
Transkrypt
wstep belki MS
Wprowadzenie Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych jest niezbędne w procesie projektowania konstrukcji prętowych. Na ich podstawie określamy kształt i wymiary przekrojów poprzecznych prętów (warunek wytrzymałości). W układach statycznie niewyznaczalnych nie dysponujemy wystarczającą ilością równań równowagi do wyznaczenia sił przekrojowych, a w przypadku układów zewnętrznie statycznie niewyznaczalnych równieŜ reakcji podporowych. Jedną z metod rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych (układów o nadliczbowych więzach) jest metoda sił. W układach rozwiązywanych metodą sił niewiadomymi są siły uogólnione, a równania, z których są one wyznaczane, są związkami geometrycznymi. Sposób rozwiązywania układu statycznie niewyznaczalnego metodą sił jest następujący: • Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu n. W przypadku belki z przegubami korzystamy ze wzoru n=r−p−3 gdzie: r - liczba składowych reakcji podpór p - liczba połączeń między podukładami (przegubów, teleskopów i tulei). W przypadku belki ze skratowaniem korzystamy ze wzoru n = r + 3·z − p − 3 gdzie: r - liczba składowych reakcji podpór z - liczba zamkniętych części układu p - liczba przegubów (z uwzględnieniem ich krotności). • Utworzenie układu podstawowego. W rozwiązywanym układzie usuwamy n nadliczbowych więzów, tworząc w ten sposób układ podstawowy (statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny). • ObciąŜenie układu podstawowego. Układ podstawowy będzie pod względem statycznym równowaŜny rozpatrywanemu układowi statycznie niewyznaczalnemu, jeŜeli poza obciąŜeniem zewnętrznym działającym na układ, w miejscach usuniętych więzów wprowadzimy nadliczbowe X 1 , X 2 , ..., X i ,..., X n - reakcje usuniętych więzów (siłę w miejscu, w którym więz blokował przesunięcie, natomiast moment w miejscu, w którym więz blokował obrót). • Wyznaczenie współczynników przy niewiadomych (nadliczbowych) i wyrazów wolnych układu równań kanonicznych metody sił. Układ podstawowy będzie pod względem kinematycznym równowaŜny rozpatrywanemu układowi statycznie niewyznaczalnemu, jeŜeli pod wpływem obciąŜenia zewnętrznego oraz niewiadomych nadliczbowych X 1 , X 2 , ..., X i ,..., X n przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym w miejscach usuniętych n więzów będą równe zeru. Przyjmijmy załoŜenie, Ŝe rozpatrywana konstrukcja wykonana jest z materiału liniowo-spręŜystego. Korzystając z zasady superpozycji otrzymamy następujący układ n równań z n niewiadomymi: δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + ... + δ 1i ⋅ X i + ... + δ 1n ⋅ X n + δ 10 = 0 δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + ... + δ 2i ⋅ X i + ... + δ 2 n ⋅ X n + δ 20 = 0 ........................................................................................ δ i1 ⋅ X 1 + δ i 2 ⋅ X 2 + ... + δ ii ⋅ X i + ... + δ in ⋅ X n + δ i 0 = 0 ........................................................................................ δ n1 ⋅ X 1 + δ n 2 ⋅ X 2 + ... + δ ni ⋅ X i + ... + δ nn ⋅ X n + δ n 0 = 0 gdzie: δ jk - przemieszczenie uogólnione odpowiadające nadliczbowej X j wywołane działaniem nadliczbowej X k = 1 δ j 0 - przemieszczenie uogólnione odpowiadające nadliczbowej X j wywołane działaniem obciąŜenia zewnętrznego. ZałóŜmy, Ŝe rozpatrywana konstrukcja jest układem belkowym złoŜonym z prętów h 1 smukłych (stosunek wysokości przekroju poprzecznego pręta do jego długości ≤ ). l 10 MoŜemy wówczas pominąć wpływ sił poprzecznych na wielkość przemieszczeń. Wpływ sił podłuŜnych działających w prętach zginanych na wielkość przemieszczeń jako mały teŜ moŜna pominąć. Przyjmijmy równieŜ, Ŝe podpory są niepodatne oraz, Ŝe na układ nie działa obciąŜenie termiczne ani nie występują w konstrukcji błędy montaŜowe. Korzystając ze wzoru Maxwella-Mohra otrzymujemy li M jMk δ jk = ∑ ∫ ds Ei I i i 0 li M jM0 δ j0 = ∑ ∫ i Ei I i 0 ds gdzie: M j - moment zginający wywołany działaniem nadliczbowej X j = 1 M k - moment zginający wywołany działaniem nadliczbowej X k = 1 M 0 - moment zginający wywołany działaniem obciąŜenia zewnętrznego E i I i - sztywność zginania i-tego pręta. JeŜeli konstrukcja składa się z prętów zginanych oraz z prętów dwuprzegubowych, w których nie działają momenty gnące i siły poprzeczne (belka ze skratowaniem), to wpływ sił podłuŜnych na wielkość przemieszczeń uwzględniamy jedynie w prętach dwuprzegubowych, natomiast w prętach zginanych wpływ ten jako mały moŜna pominąć. Wówczas wzór Maxwella-Mohra ma postać li δ jk = ∑ ∫ i 0 li δ j0 = ∑ ∫ i 0 M jMk Ei I i M jM0 Ei I i li ds + ∑ ∫ i 0 li ds + ∑ ∫ i gdzie: 2 0 N j Nk Ei Ai N j N0 Ei Ai ds ds Nj - siła podłuŜna wywołana działaniem nadliczbowej X j = 1 Nk - siła podłuŜna wywołana działaniem nadliczbowej X k = 1 N0 - siła podłuŜna wywołana działaniem obciąŜenia zewnętrznego E i Ai - sztywność ściskania i-tego pręta. Z twierdzenia o wzajemności przemieszczeń wynika, Ŝe δ jk = δ kj Wartość całek moŜemy wyznaczyć korzystając ze wzoru Wereszczagina. W tym celu naleŜy sporządzić wykresy sił przekrojowych w układzie podstawowym obciąŜonym kolejno siłami X 1 = 1, X 2 = 1, ..., X i = 1,..., X n = 1 oraz obciąŜeniem zewnętrznym. • Wyznaczenie sił przekrojowych w układzie statycznie niewyznaczalnym. Po rozwiązaniu układu równań metody sił moŜemy wyznaczyć siły przekrojowe N = N 1 ⋅ X 1 + N 2 ⋅ X 2 + ... + N i ⋅ X i + ... + N n ⋅ X n + N 0 T = T1 ⋅ X 1 + T2 ⋅ X 2 + ... + Ti ⋅ X i + ... + Tn ⋅ X n + T0 M = M 1 ⋅ X 1 + M 2 ⋅ X 2 + ... + M i ⋅ X i + ... + M n ⋅ X n + M 0 gdzie: N, T, M - siły przekrojowe w układzie statycznie niewyznaczalnym N i ,Ti , M i - siły przekrojowe w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym od obciąŜenia nadliczbową Xi = 1 N 0 ,T0 , M 0 - siły przekrojowe w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym od obciąŜenia zewnętrznego X 1 , X 2 , ..., X i ,..., X n - wartości nadliczbowych otrzymane z rozwiązania układu równań metody sił. Konstrukcja pod wpływem obciąŜenia odkształca się, a jej punkty doznają przemieszczeń liniowych i kątowych. Umiejętność wyznaczania tych przemieszczeń jest konieczna przy sprawdzaniu warunku sztywności (przemieszczenia nie mogą przekraczać wartości dopuszczalnych, określonych w normie stosownej do rodzaju konstrukcji). W celu wyznaczenia przemieszczenia moŜemy skorzystać ze wzoru Maxwella-Mohra. W przypadku belek wzór ma postać li M M δ = ∑∫ ds i 0 Ei I i W przypadku belek ze skratowaniem uwzględniamy wpływ sił podłuŜnych w prętach dwuprzegubowych, w których nie działają momenty gnące i siły poprzeczne. Wpływ sił podłuŜnych działających w prętach zginanych na wielkość przemieszczeń jako mały moŜna pominąć. Wzór ma postać li li MM NN δ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds i 0 Ei I i i 0 E i Ai W powyŜszych wzorach przyjęto oznaczenia: M, N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem obciąŜenia rzeczywistego w układzie statycznie niewyznaczalnym 3 M , N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem obciąŜenia wirtualnego w postaci jednostkowej siły uogólnionej w układzie statycznie niewyznaczalnym E i I i - sztywność zginania i-tego pręta E i Ai - sztywność ściskania i-tego pręta. Wyznaczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych moŜemy znacznie uprościć wykorzystując twierdzenia redukcyjne. W myśl pierwszego twierdzenia redukcyjnego siły przekrojowe od obciąŜenia wirtualnego moŜemy wyznaczyć w układzie statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez usunięcie nadliczbowych więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym. Wzór na przemieszczenie ma postać dla belek li M (0 ) M δ = ∑∫ ds Ei I i i 0 dla belek ze skratowaniem li li M (0 ) M N (0 ) N δ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds Ei I i Ei Ai i 0 i 0 gdzie M, N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem obciąŜenia rzeczywistego (czynnego) w układzie statycznie niewyznaczalnym M (0 ) , N (0 ) - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem obciąŜenia wirtualnego w postaci jednostkowej siły uogólnionej w układzie statycznie wyznaczalnym W myśl drugiego twierdzenia redukcyjnego siły przekrojowe od obciąŜenia czynnego moŜemy wyznaczyć w układzie statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez likwidację nadliczbowych więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym. Wzór na przemieszczenie ma postać dla belek li M M (0 ) δ = ∑∫ ds Ei I i i 0 dla belek ze skratowaniem li δ = ∑∫ i 0 i M M (0 ) N N (0 ) ds + ∑ ∫ ds Ei I i Ei Ai i 0 l gdzie M (0 ) , N (0 ) - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem obciąŜenia rzeczywistego (czynnego) w układzie statycznie wyznaczalnym M , N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem obciąŜenia wirtualnego w postaci jednostkowej siły uogólnionej w układzie statycznie niewyznaczalnym PowyŜsze zapisy pierwszego i drugiego twierdzenia redukcyjnego są słuszne przy załoŜeniu, Ŝe podpory są niepodatne oraz, Ŝe na układ nie działa obciąŜenie termiczne ani nie występują w konstrukcji błędy montaŜowe. 4