7 Czym jest RTG (Relatywistyczna Teoria Grawitacji

RTG.nb
2
Relatywistyczna Teoria Grawitacji
1.Problemy z OTW
1.1 Problemy z określeniem energii i pędu
Już Hilbert zauważył, że w OTW nie można skonstruować tensora energii-pędu pola, a co za tym idzie, nie można
poprawnie (z matematycznego punktu widzenia ) sformułować prawa zachowania energii
i pędu pola i materii
razem wziętych. Z czego to się bierze? Otóż OTW jest jest po pierwsze, teorią niezmienniczą ze względu na dowolne
transformacje współrzędnych, a po drugie, polem jest sam tensor metryczny.Z tego zaś wynika, że tradycyjnie skonstruowany tensor energii-pędu pola jest tożsamościowo =0 na zewnątrz źródła. Dlatego w OTW używa się tzw.
pseudotensora e-p. Ale taki obiekt może być w dowolnym punkcie wyzerowany za pomocą zmiany zmiennych, co dla
wielu daje asumpt do twierdzenia o "zdelokalizowanej" energii pola grawitacyjnego.Wszystko byłoby dobrze, gdyby
nie to, że również wielkości całkowe "dziwacznie" się transformują.Najprostszym przykładem jest tu masa ważka i
bezwładna pola ciała sferycznie symetrycznego. Z jednej strony mamy masę ważką M(w),określoną przez
2 GMHwL
asymptotykę g00 ö(1) (g - tensor metryczny) - jest ona, jak przykazał, niezmiennicza względem
c2 r
transformacji przestrzennych. Z drugiej strony, jeżeli policzymy E = MHbL c2 dokonując całkowania pseudotensora,
to wynik będzie zależał od zmiennych przestrzennych - w standardowej metryce Schwarzchilda M(w)=M(b), ale już
po dokonaniu zwykłego przecechowania zmiennej radialnej r --> f(r),masa M(b) zmieni się.Jest to ciekawy przyczynek do tego, jak założenie równości masy bezwładnej i ważkiej, które doprowadziło do sformułowania OTW, samo
jest przez OTW łamane. Biorąc to pod uwagę jedynym miernikiem istnienia pola jest tensor krzywizny i to jest
logiczne, ale wtedy pseudotensor energii-pędu traci jakikolwiek sens fizyczny, ponieważ istnieje wiele przykładów
rozwiązań, dla ktorych krzywizna jest różna od 0, a pseudotensor=0 , i na odwrót.
1.2 Za dużo zmiennych?
Jeżeli popatrzymy na równania Einsteina, to formalnie jest to 10 równań. Natomiast zmiennych mamy 14 - 10 w
tensorze metrycznym i 4 zmienne materii. Dlatego najogólniejsze rozwiązanie może być zależne od 4 dowolnych
funkcji. Warto się nad tym głębiej zastanowić, ponieważ w wielu książkach tłumaczy się to błędnie (ja w każdym
razie nie widziałem książki na temat OTW, w której byłoby to poprawnie wyjaśnione). Nie obyło się bez błędu
rownież w znakomitej książce Landaua i Lifszyca (1), cytuję :
"Cztery współrzędne xa można poddać dowolnemu przekształceniu. Za pomocą takiego przekształcenia można czterem z pośród 10 składowych tensora gab nadać
dowolnie
wybrane
wartości.Dlatego
tylko
6
spośród
wielkości
gab
będzie
niezależnymi funkcjami niewiadomymi. etc etc... Tymczasem mamy,dokładnie tak
jak powinno być, dziesięć równań pola na 10 niewiadomych: 6 spośród gab ,3
spośród składowych
ciśnienie)"
ua
(czteroprędkości)
oraz
gęstość
materii
(ewentualnie
Na pierwszy rzut oka wydaje się to słuszne, jest jednak fałszywe.Po pierwsze, równania Einsteina też są
kowariantne,czyli jakby modulo 4 niezależne funkcje zmiany zmiennych - tak więc z 10 zostaje ich 6 , jeżeli
równocześnie będziemy uwzględniać zmienność gab . Po drugie, w praktyce rozwiązawania równań Einsteina, zazwyczaj postuluje się jakąś postać metryki, która z reguły wykorzystuje tą "swobodę" , kolejne zadanie warunków wyprowadza nas z geometrii zadanej przez klasę metryk gab (powiązanych transformacją zmiennych). Aby zobaczyć jak to
pracuje rozważę metrykę na zewnątrz ciała sferycznie symetrycznego:
Na pierwszy rzut oka wydaje się to słuszne, jest jednak
fałszywe.Po pierwsze, równania Einsteina też są
RTG.nb
kowariantne,czyli jakby modulo 4 niezależne funkcje zmiany zmiennych - tak więc z 10 zostaje ich 6 , jeżeli3
równocześnie będziemy uwzględniać zmienność gab . Po drugie, w praktyce rozwiązawania równań Einsteina, zazwyczaj postuluje się jakąś postać metryki, która z reguły wykorzystuje tą "swobodę" , kolejne zadanie warunków wyprowadza nas z geometrii zadanej przez klasę metryk gab (powiązanych transformacją zmiennych). Aby zobaczyć jak to
pracuje rozważę metrykę na zewnątrz ciała sferycznie symetrycznego:
1.1
ds2 = g00 dt2 - 2 g10 dtdr + g11 dr2 + g22 Idq2 + sin2 HqL dj2 M
Taką formę metryki przyjmuje się przy rozwiązywaniu równań dla pola sferycznie symetrycznego.Zauważmy,że
wykorzystaliśmy tu pełną swobodę: 10 składowych metryki - 4 związane ze zmianą zmiennych - 2 związane z
dodatkową symetrią sferyczną.Założenie sferycznej symetrii powoduje również zmniejszenie do 2, ilości zmiennych
dla materii.I znowu,w podręczniku Landaua zakłada się dodatkowo, że g10 =0 i g22 = -r2 , argumentując to zmianą
zmiennych. Ale to nie tak - jest to założenie spoza OTW , mające wpływ na geometrię.Wracając do tematu: okazuje
się,że w tym przypadku,po dokładnym policzeniu zostają nam 4 niezależne równania i 6 niewiadomych, dlatego
metryka nie jest jednoznacznie określona.
2. Aksjomaty i równania RTG
2.1 Zasada względności
Zadaniem RTG jest przedstawienie grawitacji jako pola fizycznego, zatem rozsądne jest,że RTG musi spełniać zasadę
względności STW, ale w ogólniejszej formie,uwzględniającej dowolne układy (nie tylko inercjalne).W przestrzeni
Minkowskiego (płaskiej) mamy metrykę w dowolnych współrzędnych : ds2 = gab dxa dx b . Jako, że przestrzeń jest
płaska istnieje 10 wektorów Killinga ,dla których metryka gab jest niezmiennicza. Zasadę względności można
sformułować w ten sposób: Jakiekolwiek wybralibyśmy zmienne (inercjalne lub nie), zawsze istnieje
nieskońcona klasa układów, zależna od 10 parametrów,w których to układach zjawiska fizyczne wyglądają tak
samo jak w układzie wyjściowym.
2.2 Aksjomaty RTG
I. Przestrzeń Minkowskiego (xa ) jest fundamentalną przestrzenią dla wszystkich pól , także grawitacyjnego.(Komentarz) Ten aksjomat zapewnia nam istnienie poprawnie zdefiniowanych pojęć energii,pędu,momentu pędu i praw
ich zachowania.Pragnących zapoznać się bliżej ze związkiem geometrii i praw zachowania zapraszam na stronę
http://marjozef.republika.pl/PZ/index.html .
II. Pole grawitacyjne jest symetrycznym tensorem 2 rzędu fab , mającym energię,pęd,masę=0 oraz spin 2 i 0.
(Komentarz) Ten asjomat ewidentnie odróżnia RTG od OTW. Pole jest fizyczne i ma 6 składowych - w OTW jest 10
ponieważ są tam również siły inercjalne.Ogólnie każdy lorentzowski tensor symetryczny możemy rozłożyć na sumę
nieredukowalnych reprezentacji o spinie 2⊕ 1⊕ 0⊕ 0' . W sumie 10 składowych, "pozbywamy" się spinu 1 i 0' ,czyli
4 składowe.Dlaczego akurat te, przecież teoretycznie moglibyśmy wybrać dowolne? Po pierwsze możemy to zrobić
niezmienniczo, ponieważ operatory rzutowe dla spinu 2 i 0 spełniają: ∂a PH2L mn Hx - yL = ∂a PH0L mn Hx - yL = 0.
ab
ab
Natomiast spiny 1.0' nie. Dlatego żądanie ∂a yab = 0, automatycznie eliminuje nam spiny 1 i 0'.Po drugie jedynym
operatorem różniczkowym 2 rzędu, który jest lokalny, i jest zachowany to · (2P(0)-P(2)) .
III. Zasada geometryzacji.Oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią jest opisywane jak "podłączenie" pola
é
é
é
grawitacyjnego do tensora metrycznego g przestrzeni Minkowskiego :LM (g,...) ô LM (g,...) , gab
=
-g gab =
é
gab +
é ab
f .(Komentarz) To co powyżej oznacza po prostu, że ruch materii w przestrzeni
Minkowskiego pod wpływem pola f jest równoważny swobodnemu ruchowi w tzw efektywnej przestrzeni
é
Riemanna,z gęstością tensorową gab .
IV. Gęstość skalarna lagranżjanu pola grawitacyjnego Lg jest fotmą kwadratową pochodnych kowariantnych
Natomiast spiny 1.0' nie. Dlatego żądanie ∂a yab = 0, automatycznie eliminuje nam spiny 1 i 0'.Po drugie jedynym
operatorem różniczkowym 2 rzędu, który jest lokalny, i jest zachowany to · (2P(0)-P(2)) .
RTG.nb
4
III. Zasada geometryzacji.Oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią jest opisywane jak "podłączenie" pola
é
é
é
grawitacyjnego do tensora metrycznego g przestrzeni Minkowskiego :LM (g,...) ô LM (g,...) , gab
-g gab =
=
é
gab +
é ab
f .(Komentarz) To co powyżej oznacza po prostu, że ruch materii w przestrzeni
Minkowskiego pod wpływem pola f jest równoważny swobodnemu ruchowi w tzw efektywnej przestrzeni
é
Riemanna,z gęstością tensorową gab .
IV. Gęstość skalarna lagranżjanu pola grawitacyjnego Lg jest fotmą kwadratową pochodnych kowariantnych
é mn
é
ze względu na tensor metryczny przestrzeni Minkowskiego Da f = Da g mn .(Komentarz) W OTW nie da się tego
zrobić, i nie można wyrazić lagranżjanu poprzez tylko pochodne kowariantne —a względem metryki g , jako, że
—a g bg ≡ 0.
2.3 Równania RTG
Na podstawie powyższych aksjomatów,można wyprowadzić równania pola:
2.1
è
gab Da Db gmn = 16 p tmn
è
Da gab = 0
Równania te przypominają równania elektrodynamiki w krzywoliniowym układzie,w tym wypadku źródlem pola jest
tensor energii, ale zarówno materii jak i pola grawitacyjnego,tak więc równania są mocno nieliniowe :
dLg
mn
mn
tmn = tmn
g + tM , gdzie tg = -2 d gè . Do rozwiązywania nadają się słabo,dlatego zapiszmy je w jawnej
mn
postaci:
2.2
-g Rab = 8 p Tab è
Da gab = 0
1
2
gab T
Pierwsze równanie jest formalnie takie samo jak równanie Hilberta-Einsteina, ale jest różnica - występują tam
współrzędne przestrzeni Minkowskiego.Drugie równanie jest tym co odróżnia RTG od OTW - eliminuje nam spiny 1
i 0' z pola fizycznego, powodując rozróżnienie sił inercji i grawitacji. Bez tego równania wprowadzanie przestrzeni
Minkowskiego byłoby pustym frazesem - wtedy RTG byłaby dokładnie równoważna OTW.
3. Niektóre przewidywania RTG
3.1 Statyczne pole ciała sferycznie symetrycznego.
RTG.nb
5
Rozwiązując równania RTG można wykorzystać formalne rozwiązania OTW - wtedy dodatkowe równania pola,
eliminujące spin 1 i 0' wyznaczają nam jednoznacznie pewne rozwiązanie,i co najważniejsze, pewien obszar ich
"fizyczności".Jeżeli mamy rozwiązania OTW w zmiennych x, fizyczne w obszarze W , to dodatkowe równania pola
wyznaczają nam zależność tych zmiennych od zmiennych przestrzeni Minkowskiego x(x) , jednocześnie powodując
zazwyczaj, że fizyczna efektywna przestrzeń Riemanna zawęża się do W'Õ W. Zewnętrzne pole grawitacyjne w RTG
ma postać: (c=G=1)
3.1
ds2 =
r-M
r+M
dt2 -
r+M
r-M
dr2 - Hr + ML2 IdQ2 + sin2 HqL dj2 M
Z tej formuły wynika, że w RTG nie mogą istnieć statyczne obiekty z r § M.Wydawałoby się,że to coś zasadniczo
odmiennego od OTW (OTW przewiduje,że nie istnieją obiekty statyczne z r § 2M), ale nie, ponieważ w OTW nie ma
przestrzeni Minkowskiego - tylko Riemanna. Jeżeli zidentyfikujemy promień obiektu w efektywnej przestrzeni
Riemanna jako W=r+M, to mamy ten sam wniosek.
3.2 Kolaps grawitacyjny.
Postępując podobnie ze znanym rozwiązaniem Tolmana, dostajemy już całkiem inne przewidywania. Okazuje się, że
również dla niestatycznego ciała istnieje ograniczenie r > M (a dla efektywnej przestrzeni Riemanna W > 2M ).
Oznacza to, że zgodnie z RTG nie mogą istnieć również niestatyczne ciała z W § 2M, inaczej mówiąc nie ma tzw
czarnych dziur.
3.3 Jednorodny i izotropowy wszechświat.
W OTW model jednorodnego i izotropowego Wszechświata przewiduje generalnie 3 różne możliwości metryki :
ds2 = dt2 - RHtL2 {dr2 ë I1 - kr2 M + r2 (dq2 + sin2 HqL dj2 )}, dla k=+1 , 0 lub -1. Rozwiązanie RTG określa
jednoznacznie k=0 , ale to tylko formalna różnica - znacznie ważniejsze jest to , że topologia efektywnej przestrzeni
Riemanna "jest prosta" - jedno-mapowa. Znaczy to, że istnieje globalny układ w przestrzeni Minkowskiego. Daje to
ciekawy wniosek, że w tym modelu istnieje globalny układ inercjalny w którym prędkości przestrzenne materii są =0.
Ale to nie wszystko, drugie równania 2.2 , dają nam więcej przewidywań. Aby to zobaczyć napiszmy rozwiązanie
"częściowe" i pozostałe ciągle do rozwiązania :
3.2
ds2 = dt2 - R HtL2 9dr2 + r2 Idq2 + sin2 HqL dj2 M=
1 dR
R dt
1 d2 R
R dt2
2
=
8p
= -
3
4p
3
r HtL
H3 p + rL
W tych formułach zawarte jest również drugie równanie: 2.2 , właściwe tylko RTG. Do tego, oczywiście trzeba dodać
równanie stanu, łączące ciśnienie p(t) z gęstością r(t). Ale również bez tego możemy wiele wywnioskować. W tym
celu zróżniczkuję równanie drugie i wykorzystam trzecie. Oznaczmy stałą Hubbla H(t) :=
jednocześnie:
1 dR
R dt
, wtedy mamy
RTG.nb
6
3.3
H HtL = -
1
dr
3 Hp + rL dt
H HtL =
8p
3
r HtL
Jeżeli założymy r > 0 , co jest rozsądne, to H > 0 dla danego t . Zatem R(t) monotonicznie rośnie, ponieważ
drugiej strony mamy (p+r) > 0 co z pierwszego równania oznacza, że
Jeżeli p ¥ 0 i r≠0, to z trzeciego równania wynika
d2 R
dt2
dr
dt
dR
>0.
dt
Z
< 0. Zatem gęstość maleje przy rosnącym t.
< 0. Zatem funkcja R(t) jest wypukła "do góry" , wobec
tego istnieje R(max) do którego dąży R. Z tego wynika także , że istnieje t(min) dla którego R(tmin) = 0 Ø jest to
osobliwość Wielkiego Wybuchu. Warto też wspomnieć, że jeżeli zmodyfikujemy teorię wprowadzając niezerową
masę grawitonu,
to osobliwość znika i R(min) < R < R(max).
3.4 Red shift w RTG.
Z powodu istnienia globalnego układu inercjalnego we Friedmanowskim modelu Wszechświata, oraz, że w tym
układzie prędkości materii =0 (można policzyć wstawiając rozwiązanie na powrót do 2.2 i zobaczyć, że rzeczywiście
V(x)=0), przesunięcie ku czerwieni nie da się już (w tym modelu!) tłumaczyć oddalaniem galaktyk. Niech obserwator
znajduje się w r = 0 . Sygnał świetlny zostaje wysłany z r =r0 w czasie t i t+dt. Do obserwatora w r=0 dotrą w t0 i
t0 + dt0 . Z racji tego, że mamy globalny układ w przestrzeni Minkowskiego oba sygnały przebędą ten samą różnicę
współrzędnych r. Dla światła ds=0, dlatego z 3.2 wynika:
3.4
dr
dt
=
1
R HtL
ö ‡
t
t 0
„s
R HsL
= r0 oraz
‡
t0 +dt0
t+dt
„s
R HsL
= r0
Przyrównując oba równania, dla dt --> 0 dostajemy dt /R(t) = dt0 ê RHt0 L. Przepisując to dla częstotliwości dostajemy :
w0
w
=
w0
R HtL
. Mamy t0 >t , R(t0 ) > R(t) , zatem
R Ht0 L
w
< 1.
Marek Józefowski.
Referencje : (1) Landau&Lifszyc "Teoria pola" ; (2) Logunow&Mestwirishwili "Relatiwitskaja tieorija grawitacji"