Ruch na płaszczyźnie - Open AGH e

Ruch na płaszczyźnie
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y . Na przykład y - wysokość, x - odległość w kierunku
poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.
Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r(t) ; prędkość wektor v(t) , przyspieszenie wektor a(t) . Wektory
r(t), v(t), a(t) są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów i oraz j czyli wektorów
jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio wzdłuż osi x i y.
r= ix+j y
v=
a=
dr
= i dx
dt
dt
dvx
dv
=
i
dt
dt
+j
+j
dy
dt
dvy
dt
(1)
= i vx + j vy
(2)
= i ax + j ay
(3)
Położenie punktu określić można podając wektor r lub, dla wybranego układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego
wektora np. x, y. Oczywiście wektor r i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc trzeba podać zależności czasowe r(t), x(t),
y(t) tak jak na Rys. 1.
Rysunek 1: Zmiany wektora położenia z czasem
Warto w tym miejscu również zapamiętać, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się punktu}. Punkty,
przez które przechodzi poruszający się punkt tworzą krzywą, którą nazywamy torem ruchu.
Jako przykład rozpatrzmy ruchu jednostajnie zmienny na płaszczyźnie. Ponieważ ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem tzn.
nie zmieniają się ani kierunek ani wartość przyspieszenia to nie zmieniają się też składowe przyspieszenia. Spróbujmy najpierw
napisać równania wektorowe dla tego ruchu. Mają one następującą postać
a = const.
v = v0 + at
2
r = r0 + v0 t + at2
(4)
(5)
(6)
Przypuśćmy, że chcemy znaleźć położenie ciała (wektor r) po czasie t. W tym celu, jak widać z równań ( 4 )( 5 ) i ( 6 ) trzeba
wyznaczyć (znaleźć wartość, kierunek i zwrot) i dodać do siebie geometrycznie trzy wektory: r0 , v0 t oraz 1/2at2 . Zadanie
możemy jednak znacznie uprościć korzystając z tego, że równania wektorowe ( 4 )( 5 ) i ( 6 ) są równoważne równaniom w postaci
skalarnej (zestawionym w tabeli 1 poniżej) i zamiast dodawania geometrycznego wektorów możemy poprostu dodawać liczby.
Znalezienie wektora r prowadza się teraz do znalezienia jego składowych.
Równania skalarne opisujące ruch wzdłuż osi x Równania skalarne opisujące ruch wzdłuż osi y
ax = const.
vx = vx0 + ax t
x = x0 + vx0 t +
ax t2
2
(7)
ay = const.
vy = vy0 + ay t
y = y0 + vy0 t +
Tabela 1: Ruch jednostajnie zmienny na płaszczyźnie
ay t2
2
(8)
Na przykładzie modułu Rzut ukośny opisano ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem.
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1139
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1165
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1131
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-09-24 07:16:32
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=514037ffbc706e2c946a1cb8ec523bda
Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński